4. Soit f un endomorphisme symétrique positif.

(MA210 - ESISAR 2010-2011)
TD : Espaces vectoriels euclidiens (2)
1. Soit f un endomorphisme symétrique et orthogonal. Montrer (en utilisant les adjoints) que
f est une symétrie orthogonale.
2. A est une matrice de Sn (  ). On suppose que A3 = In prouver que A = In.
3. Une matrice M est dite symétrique positive si et seulement si  X n on a tXMX 0.
Montrer que toutes les valeurs propres de M sont positives ou nulles.
4. Soit f un endomorphisme symétrique positif.
Montrer qu’il existe un unique endomorphisme g symétrique positif tel que : g² = f.
1
5. On note E = C  ([0;1], R ) , muni du produit scalaire défini par <f,g>=  f ( t )g( t )dt
0
Soit u  E telle que u(0)=u(1)=0. On note T l’application de E dans E définie par
f  E , T(f)= u’f ’+u f ’’= (u f’)’
a) Montrer que T est un endomorphisme symétrique de E. (on pourra montrer que
1
<T(f),g>= -  u( t )f ' ( t )g' (t ) dt )
0
b) Montrer que si on suppose de plus u(t)  0 , alors T est un endomorphisme symétrique
positif
6. Soit A  Mn (R ) , et S la matrice définie par S = t AA
a) Montrer que S est une matrice symétrique positive.
b) Montrer l’équivalence suivante : (S est définie positive  A  GL n (R ) )
7. Soit E un espace euclidien de dimension n et u un endomorphisme de E tel que
x  E , u(x) x   0 .
a) Montrer que u est antisymétrique.
b) Montrer que Ker u et Imu sont supplémentaires orthogonaux
8. (13 pts) Soit (E,<.,.>) un espace préhilbertien réel.
a) (5 pts) Soit f : E  E une application. Montrer que les deux propriétés suivantes sont
équivalentes : (i) (x, y)  E 2  f(x), y  -  x, f(y) 
(ii) f est linéaire, et x  E,  f(x), x  0
Indication : pour le sens direct, on pourra calculer (pour tout z de E, et aR)
<f(ax+y)-af(x)-f(y),z>. Pour l’autre sens, calculer <f(x+y),x+y> de deux façons.
On dit que f est antisymétrique si et seulement si f vérifie (i) ou (ii)
b) (3 pts) Soit f un endomorphisme antisymétrique de E
Montrer que Ker(f)  Imf et donc Ker(f)  Im(f) = {0}
c) (5 pts) On note s = fof (avec f antisymétrique) Montrer que s est symétrique et à
valeurs propres toutes réelles négatives, Ker(s)=Ker(f) et Im(s)  Im(f)