1 PRODUIT SCLALAIRE DANS L`ESPACE I. Produit scalaire de

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PRODUIT SCLALAIRE
DANS L'ESPACE
I. Produit scalaire de deux vecteurs
1) Définition
Soit
et deux vecteurs de l'espace. A, B et C trois points tels que
.
Il existe un plan P contenant les points A, B et C.
Définition :
On appelle produit scalaire de l'espace de
scalaire
et
le produit
égal au produit
dans le plan P.
H
On a ainsi :
si ou
et
est un vecteur nul,
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk
ABCDEFGH est un cube d'arête a.
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2) Propriétés
Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace.
Propriétés : Soit
,
et
trois vecteurs de l'espace.
, k λ .
-
et
sont orthogonaux.
Démonstration :
Il existe un plan P tel que les vecteurs et admettent des représentants dans P.
Dans le plan, les règles de géométrie plane sur les produits scalaires s'appliquent.
3) Expression analytique du produit scalaire
Propriété : Soit
et
deux vecteurs de l'espace muni d'un repère
orthonormé
. Alors
.
Et en particulier :
.
Démonstration :
En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple
,
et
:
.
On a en particulier :
.
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E
On considère le repère de l'espace
.
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Alors :
et
soit
Alors
.
.
Les vecteurs
et
ne sont pas orthogonaux.
II. Vecteur normal à un plan
1) Définition et propriétés
Définition : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est
orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P.
Théorème : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P s'il est
orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.
Démonstration :
Elle est incluse dans la démonstration du corollaire qui suit.
Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀ .
Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, Hermann
Günther Grassmann (1809 ; 1877).
Corollaire : Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle
est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Démonstration (exigible BAC) :
- Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P alors elle est en particulier
orthogonale à deux droites sécantes de P.
- Démontrons la réciproque :
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( )
Soit une droite d de vecteur directeur
( ) ( )
orthogonale à deux droites d1 et d2 de
P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et .
Alors et sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur .
Soit une droite quelconque ( D ) de P de vecteur directeur .
Démontrons que ( D ) est orthogonale à d .
( )
peut se décomposer en fonction de
colinéaires).
Il existe donc deux réels x et y tels que
Donc
, car
et
qui constituent une base de P (car non
.
est orthogonal avec
et
.
Donc est orthogonal au vecteur .
Et donc d est orthogonale à ( D ).
( )
Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un plan
Vidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4
ABCDEFGH est un cube.
Démontrer que le vecteur
(ABG).
est normal au plan
On considère le repère
.
æ 1 ö æ 0ö æ 0 ö
æ 0 ö æ 0ö
Dans ce repère : A ç 0÷ , B ç 0÷ , C ç 1 ÷ , F ç 0÷ , G ç 1 ÷ .
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
çè 0÷ø çè 0÷ø çè 0÷ø
çè 1 ÷ø çè 1 ÷ø
On a ainsi :
,
et
, donc :
Donc
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG), il est donc
normal à (ABG).
Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan
Vidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU
æ 1 ö æ -1ö
æ2 ö
ç
÷
ç
÷
Dans un repère orthonormé, soit A 2 , B 3 et C ç 0 ÷ .
ç ÷ ç ÷
ç ÷
çè -2÷ø çè 1 ÷ø
çè -2÷ø
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Déterminer un vecteur normal au plan (ABC).
On a :
et
.
Soit un vecteur
orthogonal au plan (ABC). Il est tel que :
ì-2a + b + 3c = 0
soit í
î a - 2b = 0
ì-2 ´ 2b + b + 3c = 0
Ûí
î a = 2b
ì-3b + 3c = 0
Ûí
î a = 2b
ìc = b
Ûí
î a = 2b
Prenons par exemple, b = 1 alors c = 1 et a = 2 .
Le vecteur
est donc normal au plan (ABC).
2) Equation cartésienne d'un plan
Théorème : L'espace est muni d'un repère orthonormé
Un plan P de vecteur normal
.
non nul admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0 , avec d λ .
æ xö
Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l'ensemble des points M ç y ÷ tels
ç ÷
çè z ÷ø
que ax + by + cz + d = 0 , avec d λ , est un plan.
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Démonstration (exigible BAC) :
æ xA ö
- Soit un point A ç y A ÷ de P.
ç ÷
çè z ÷ø
A
æ xö
M ç y ÷ ÎP Û
ç ÷
çè z ÷ø
et
sont orthogonaux
Û a ( x - x A ) + b( y - y A ) + c ( z - z A ) = 0
Û ax + by + cz - ax A - by A - cz A = 0
Û ax + by + cz + d = 0 avec d = -ax A - by A - cz A .
- Réciproquement, supposons par exemple que a ¹ 0 (a, b et c sont non tous nuls).
æ xö
On note E l'ensemble des points M ç y ÷ vérifiant l'équation ax + by + cz + d = 0
ç ÷
çè z ÷ø
æ d
ö
Alors le point A ç - ;0;0÷ vérifie l'équation ax + by + cz + d = 0 .
è a
ø
Et donc A ÎE.
æ xö
Soit un vecteur
. Pour tout point M ç y ÷ , on a :
ç ÷
çè z ÷ø
.
æ xö
E est donc l'ensemble des points M ç y ÷ tels que
ç ÷
çè z ÷ø
.
Donc l'ensemble E est le plan passant par A et de vecteur normal
.
Exemple :
Le plan d'équation cartésienne x - y + 5z +1= 0 a pour vecteur normal
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.
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Méthode : Déterminer une équation cartésienne de plan
Vidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY
Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan P passant
æ -1ö
par le point A ç 2 ÷ et de vecteur normal
.
ç ÷
çè 1 ÷ø
Une équation cartésienne de P est de la forme 3x - 3y + z + d = 0 .
Le point A appartient à P donc ses coordonnées vérifient l'équation :
3´ -1 - 3´ 2 +1+ d = 0 donc d = 8 .
( )
Une équation cartésienne de P est donc 3x - 3y + z + 8 = 0 .
3) Positions relatives d’une droite et d’un plan
Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan
Vidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE
Dans un repère orthonormé, le plan P a pour équation 2x - y + 3z - 2 = 0 .
æ1 ö
æ -1ö
Soit A ç 2 ÷ et B ç 2 ÷ .
ç ÷
ç ÷
çè -3÷ø
çè 0 ÷ø
1) Démontrer que la droite (AB) et le plan P sont sécants.
2) Déterminer leur point d'intersection.
1) Un vecteur normal de P est
(AB) et P sont sécants si
et
.
ne sont pas orthogonaux.
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On a
Comme
parallèles et donc sécants.
, on conclut que (AB) et le plan P ne sont pas
2) Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
ì x = 1- 2t
ï
avec t réel.
íy = 2
ï z = -3+ 3t
î
æ xö
Le point M ç y ÷ intersection de (AB) et de P vérifie donc le système suivant :
ç ÷
çè z ÷ø
ì x = 1- 2t
ï
ïy = 2
í
ï z = -3+ 3t
ïî2x - y + 3z - 2 = 0
On a donc 2 1- 2t - 2 + 3 -3+ 3t - 2 = 0
(
)
(
5t -11= 0 soit t =
)
11
.
5
ì
11
17
ï x = 1- 2 ´ 5 = - 5
ï
D'où í y = 2
ï
11 18
ï z = -3+ 3´ =
5
5
î
æ 17 18 ö
Ainsi la droite (AB) et le plan P sont sécants en M ç - ;2; ÷ .
5ø
è 5
4) Positions relatives de deux plans
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Méthode : Déterminer l'intersection de deux plans
Vidéo https://youtu.be/4dkZ0OQQwaQ
Dans un repère orthonormé, les plans P et P' ont pour équations respectives
-x + 2y + z - 5 = 0 et 2x - y + 3z -1= 0 .
1) Démontrer que les plans P et P' sont sécants.
2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d.
1) P et P' sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
Un vecteur normal de P est
et un vecteur normal de P' est
.
Les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles donc leurs
vecteurs ne sont pas colinéaires.
æ xö
2) Le point M ç y ÷ de d, intersection de P et de P', vérifie donc le système suivant :
ç ÷
çè z ÷ø
ì-x + 2 y + z - 5 = 0
í
î2x - y + 3z -1 = 0
On choisit par exemple x comme paramètre et on pose x = t . On a alors :
ìx = t
ìx = t
ìx = t
ï
ï
ï
í-t + 2 y + z - 5 = 0 Û í z = -2 y + t + 5 Û í z = -2 y + t + 5
ï2t - y + 3z - 1 = 0
ï- y + 3z = 1- 2t
ï- y + 3 -2 y + t + 5 = 1- 2t
î
î
î
(
)
ì
ïx = t
ï
ìx = t
ìx = t
5
ï
ï
ï
Û í z = -2 y + t + 5
Û í z = -2 y + t + 5 Û í y = 2 + t
7
ï
ï- y - 6 y + 3t + 15 = 1- 2t
ï-7 y = -14 - 5t
î
î
æ
ï
5 ö
ï z = -2 çè 2 + 7 t ÷ø + t + 5
î
ì
ïx = t
ï
5
ï
Û íy = 2+ t
7
ï
3
ï
ïî z = 1- 7 t
Ce dernier système est une représentation paramétrique de d, avec t λ .
Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est
orthogonal à un vecteur normal de l'autre.
- Admis -
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Méthode : Démontrer que deux plans sont perpendiculaires
Vidéo https://youtu.be/okvo1SUtHUc
Dans un repère orthonormé, les plans P et P' ont pour équations respectives
2x + 4y + 4z - 3 = 0 et 2x - 5y + 4z -1= 0.
Démontrer que les plans P et P' sont perpendiculaires.
Les plans P et P' sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un
est orthogonal à un vecteur normal de l'autre.
Un vecteur normal de P est
Les vecteurs
et
et un vecteur normal de P' est
.
sont orthogonaux donc les plans P et P' sont perpendiculaires.
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