1 Chapitre 1 ‐ Trigonométrie Généralités et rappels Notations Pour un triangle quelconque, on utilisera souvent les notations suivantes. Triangle ABC a = longueur du côté [BC]. b = longueur du côté [CA]. c = longueur du côté [AB]. α = amplitude de l'angle en A. β = amplitude de l'angle en B. γ = amplitude de l'angle en C. Pour chaque sommet, on utilise une majuscule, ici A, B ou C. Pour un côté, on utilise la minuscule correspondant à la majuscule qui désigne le sommet opposé, ici a en face de A, b en face de B et c en face de C. Pour un angle, on utilise la lettre grecque minuscule correspondant à la majuscule qui désigne le sommet en lequel se trouve l'angle, ici α en A, β en B, γ en C. Et si, au lieu d'utiliser A, B et C, on utilisait L, M et N, qu'est-ce que cela donnerait ? Triangle LMN. = longueur du côté [ = longueur du côté [ = longueur du côté [ ]. ]. ]. = amplitude de l'angle en = amplitude de l'angle en = amplitude de l'angle en Les notations ne seront pas toujours nécessairement conformes à ce qui est indiqué ici. Ce qui est important c'est que, dans toute situation, les notations soient clairement introduites. Pour un triangle rectangle, on pourra avoir ou 2 et on peut en imaginer autant que l'on veut : Exercices 1) 2) 3) On a planté dans le sol un mât de 6 m. Entre le sommet de ce mât et le sol, on a tendu un câble de 10 m. On mesure une distance de 8,54 m entre la base du mât et le point de fixation du câble sur le sol. a) Le mât est-il planté bien droit ? b) Qu'observerait-on s'il l'était ? On souhaite déterminer la hauteur d'un arbre mais on ne peut pas en atteindre le sommet, ni par soi-même, ni avec un instrument. a) Comment peut-on faire ? b) Donner un ensemble cohérant de grandeurs qui illustrent cette méthode. Il est question, dans un catalogue, d'un écran de télévision de 42'' au format 16:9. Déterminer analytiquement, en cm et au mm près, la largeur et la hauteur de cet écran. Faire un dessin bien proportionné. Quelques précisions utiles. Quand on parle de format 16:9, cela signifie que la hauteur vaut 9/16 de la largeur. Quand on parle d'un écran de 42'', cela signifie que la diagonale de l'écran mesure 42 pouces. 1'' = 1 pouce = 2,54 cm exactement. 3 Triangles rectangles Soit un triangle ABC rectangle en A. Théorème de Pythagore a 2 = b2 + c 2 € "Le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés". Sinus sin γ = € c a "Le sinus d'un angle non droit d'un triangle rectangle est le rapport de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse". Cosinus cos γ = € b a "Le cosinus d'un angle non droit d'un triangle rectangle est le rapport de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse". Tangente tan γ = € c b "La tangente d'un angle non droit d'un triangle rectangle est le rapport de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent " Question Que deviennent ces quatre formules dans le cas d'un triangle ABC rectangle en B ? 4 Corrigé des exercices 1) Notations : A = base du mât, B = sommet du mât, C = point de fixation du câble sur le sol. On utilisera aussi les notations habituelles pour un triangle ABC : a, b, c pour les longueurs des côtés et α, β et γ pour les amplitudes des angles. Données a = longueur du câble = 10 m b = distance entre la base du mât et le point de fixation du câble sur le sol = 8,54 m c = longueur du mât = 6 m Inconnue Le mât est-il planté bien droit ? Cela revient à se poser la question suivante : l'angle, d’amplitude α, entre le sol et le mât, est-il un angle droit ? Résolution a) Si le mât est planté bien droit, le triangle ABC est rectangle en A. Le théorème de Pythagore doit dans ce cas s'appliquer et on doit avoir a2 = b2 + c2. 2 Or, nous avons a 2 = (10 m) = 100 m2 et b 2 + c 2 = (8,54 m) + (6 m) ≈ 108,93 m2 donc 2 € 2 a2 ≠ b2 + c2 donc le mât € n'est pas planté bien droit. Si le mât était planté bien droit, on aurait a2 = b2 + c2 b) donc 2 2 b 2 = a 2 − c 2 = (10 m) − (6 m) = 100 m2 − 36 m2 = 64 m2 b = 64 m2 = 8 m € € Si le mât était planté bien droit, on mesurerait 8 m entre la base du mât et le point de fixation du câble sur le sol. Ce que l'on a : mât Ce que l'on aurait dû avoir : câble sol mât câble sol Nous n'avons pas encore les outils pour déterminer la valeur d'α. Avant Pâques, nous les aurons et nous pourrons calculer que α ≈ 85°. 5 2) a) Choisissons un point A du sol, appelons B la base de l'arbre et C son sommet. ABC est un triangle rectangle en B. Utilisons les notations habituelles a, b, c pour les longueurs des côtés et α, β et γ pour les amplitudes des angles. Effectuons deux mesures : c = distance du point A à la base B de l'arbre. α = amplitude l'angle par rapport au sol sous lequel, placé en A, on voit le sommet C de l'arbre. L'inconnue est : a = hauteur de l'arbre. Résolution : tanα = b) a donc a = ctanα . c Si l'on mesure c = 10 m et α = 50°, € € a = ctanα = 10 m • tan50° ≈ 11,92 m € donc l'arbre est haut€de 11,92 m. € d= = Notations : h = f= α = 3) longueur de la diagonale de l'écran largeur de l'écran = longueur du grand côté, horizontal, de l'écran hauteur de l'écran = longueur du petit côté, vertical, de l'écran format de l'écran = /h angle entre l'horizontale et la diagonale d = 42'' Données : 16 f = 9 € d h α Inconnues : h € € 1re méthode : nombres trigonométriques. € cosα = ; d h sinα = ; d h tanα = . De la formule de tan α et de la donnée du format (16:9), on tire € € €9 h α = arctan = arctan ≈ 29,36° 16 Des formules de cos α et de sin α, on tire € 9 = dcosα = 42''cosarctan ≈ 42 . 2,54 cm . cos29,36° ≈ 93,0 cm 16 9 h = dsinα = 42''sin arctan ≈ 42 . 2,54 cm . sin29,36° ≈ 52,3 cm 16 € 6 2e méthode : théorème de Pythagore et triangles semblables. Considérons un triangle rectangle dont les petits côtés ont comme longueurs a = 9 et b = 16. Son hypoténuse vaudra c = 337 , car c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 16 2 = 81+ 256 = 337 € € c= 337 a=9 € b = 16 N.B. : dans ce triangle, les longueurs s'expriment sans unité car ce triangle est considéré comme un objet purement mathématique, une figure dans un plan où chaque point est repéré par un couple de nombres, sans unité. En revanche, l'écran est un objet du monde physique et ses longueurs s'expriment indispensablement avec des unités. Ce triangle de côtés a, b et c est semblable au triangle formé par la hauteur, la largeur et la diagonale de l'écran de télévision. Donc h d = = ; a b c a 9 9 9 d= 42''= 42 . 2,54 cm ≈ 52,3 cm; h = c d = 337 337 337 = b d = 16 d = 16 42''= 16 42 . 2,54 cm ≈ 93,0 cm. c 337 337 337 € e € 3 méthode : théorème de Pythagore et système d'équations. f=h Système de deux équations à deux inconnues, et h. d2 = 2 + h2 € on tire De l'éq. (1), (1) (2) = hf (3) En remplaçant par€cette expression dans l'éq. (2); on obtient € d 2 = (hf) 2 + h 2 = h 2f 2 + h 2 = h 2 f 2 + 1 ( € ) d2 h = 2 f +1 2 € h= € = d2 d d d d d 9d = = = = = = 2 f +1 f2 +1 16 2 16 2 + 9 2 16 2 + 9 2 16 2 + 9 2 16 2 + 1 + 1 9 92 92 9 9d 9 . 42'' 9 . 42 . 2,54 cm = = ≈ 52,3 cm. 337 337 337 En utilisant de nouveau l'éq. (3), on obtient € € = fh = 16 9 d 16 d 16 . 42'' 16 . 42 . 2,54 cm = = = ≈ 93,0 cm . 9 337 337 337 337 7 Les fonctions arcsin, arccos et arctan Soit ABC un triangle rectangle en C. Comment déterminer l'amplitude α d'un angle non droit si l'on connaît la longueur de deux côtés du triangle ? 1er cas : on connaît a et b On sait que tanα = a b Pour obtenir α, on calcule l'expression suivante € a b α = arctan Cela se lit "alpha égale arc tangente de a sur b". -1 Sur les € calculatrices, cette fonction est souvent représentée par une touche atan ou tan . Sur le papier, la seule notation admise restera "arctan". 2e cas : on connaît a et c € € On sait que sinα = a c Pour obtenir α, on calcule l'expression suivante € α = arcsin a c Cela se lit "alpha égale arc sinus de a sur c" -1 Sur les € calculatrices, cette fonction est souvent représentée par une touche asin ou sin . Sur le papier, la seule notation admise restera "arcsin". 3e cas : on connaît b et c € € On sait que cosα = b c Pour obtenir α, on calcule l'expression suivante € α = arccos b c Cela se lit "alpha égale arc cosinus de b sur c" -1 Sur les € calculatrices, cette fonction est souvent représentée par une touche acos ou cos . Sur le papier, la seule notation admise restera "arccos". € € 8 Exercices 4) 5) 6) 7) 8) a) Résoudre le triangle dans lequel α = 90°, β = 40°, a = 5. b) Construire ce triangle en utilisant uniquement les données. a) Résoudre le triangle dans lequel α = 90°, γ = 30°, c = 6. b) Construire ce triangle en utilisant uniquement les données. a) Résoudre le triangle dans lequel α = 90°, b = 4, c = 2. b) Construire ce triangle en utilisant uniquement les données. a) Résoudre le triangle dans lequel α = 90°, a = 5, b =3. b) Construire ce triangle en utilisant uniquement les données. L'ombre d'un arbre (vertical) se dessine sur le sol (horizontal). En utilisant les données du schéma, déterminer analytiquement la hauteur de cet arbre. image à coller 9) L'ombre d'un pylône a une longueur de 35 m. Le rayon solaire passant par le sommet du pylône forme avec le sol (supposé horizontal) un angle de 40°. Quelle est la hauteur du pylône ? 10) L'ombre d'un arbre s'allonge de 20 m lorsque l'angle que fait un rayon de soleil, passant par le sommet de l'arbre, avec le sol, passe de 31° à 12°. Quelle est la hauteur de l'arbre ? 11) Deux arbres A et B sont vus d'un bateau P comme sur le dessin ci-contre. On sait que 2 km séparent les arbres. On dit que la droite PA est perpendiculaire à la droite AB et que l'amplitude de l'angle de PA à PB est de 35°. Calculer la distance, au mètre près, entre le bateau et chacun des arbres. 12) image à coller Un touriste est en haut de l'Empire State Building, à 381 m au-dessus du niveau du sol. Il remarque, en bas, un taxi jaune. L'axe joignant le touriste au taxi fait un angle de 20° par rapport à la verticale. A quelle distance le taxi est-il du pied de l'Empire State Building ? Merci à Mme Matagne pour les énoncés de 4) à 11) et pour les deux schémas. 9 Corrigé des exercices Schéma de principe pour les questions de 4) à 9) : 4) Données α = 90°, β = 40°, a = 5. Inconnues γ, b, c. Résolution γ = 90° − β = 90° − 40° = 50°. cos γ = b a donc b = a • cos γ = 5 • cos50° = 3,21. sin γ = c a donc € c = a • sin γ = 5 • sin50° = 3,83. € € 5) € Données α = 90°, γ = 30°, c = 6. Inconnues β, a, b. Résolution β = 90° − γ = 90° − 30° = 60°. sin γ = c a a 2 = b2 + c 2 € € c 6 = = 12 . sin γ sin 30° donc a= donc b2 = a 2 − c 2 donc € b = a 2 − c 2 = 12 2 − 6 2 = 6 2 2 2 −1 € = 6 2 2 −1 = 6 4 −1 = 6 3 ≈ 10,39. ( ) Autre méthode pour trouver b : € tan γ = € c b donc € b= c 6 = ≈ 10,39. tan γ tan 30° 10 6) Données α = 90°, b = 4, c = 2. Inconnues a, β, γ. Résolution a 2 = b2 + c 2 ( ) a = b 2 + c 2 = 4 2 + 2 2 = 2 2 2 2 + 1 = 2 2 2 + 1 = 2 5 ≈ 4,47 . donc c 2 1 1 donc = = γ = arctan ≈ 26,57° . b 4 2 2 € β = 90° − γ ≈ 90° − 26,57° ≈ 63,43°. tan γ = € € € 7) Données α = 90°, a = 5, b =3 Inconnues c, β, γ. Résolution sinβ = b 3 = a 5 donc 3 β = arcsin ≈ 36,87°. 5 cos γ = b 3 = a 5 donc € 3 γ = arccos ≈ 53,13° . 5 € a 2 = b2 + c 2 € € 8) donc c 2 = a 2 − b 2 = 5 2 − 32 = 25 − 9 = 16 donc € € de l'arbre, B son sommet et C l'extrémité de € Appelons A la base l'ombre. Données α = 90°, γ = 32°, b = 30 m. Inconnue c = hauteur de l'arbre. Résolution tan γ = c b donc c = b • tan γ = 30 m • tan 32° ≈ 18,75 m . L'arbre est haut de 18,75 m. € c = 16 = 4 . 11 9) Appelons A la base du pylône, B son sommet et C l'extrémité de l'ombre et utilisons les notations habituelles pour les côtés et les angles d'un triangle ABC. Données α = 90°, γ = 40°, b = 35 m. Inconnue c = hauteur du pylône. Résolution tan γ = c b c = b • tan γ = 35 m • tan 40° ≈ 29,37 m . Le pylône est haut de 29,37 m. € € 10) Notations Inconnue A = base de l'arbre; B = sommet de l'arbre; c = hauteur de l'arbre; t1 = premier instant considéré; t2 = second instant considéré; C1 = extrémité de l'ombre en t1; C2 = extrémité de l'ombre en t2; b1 = longueur de l'ombre en t1; b2 = longueur de l'ombre en t2; γ1 = amplitude de l'angle entre le sol et les rayons solaires en t1; γ2 = amplitude de l'angle entre le sol et les rayons solaires en t2; α = amplitude de l'angle (droit) entre le sol et l'arbre. c. Données α = 90°; γ1 = 31°; γ2 = 12°; b2 − b1 = 20 m. Résolution Considérons les triangles BAC1 et BAC2, rectangles en A : b1 = c= € c tan γ1 et b2 = c ; tan γ 2 b 2 − b1 = b 2 − b1 20 m = = 6,58 m. 1 1 1 1 −€ −€ tan γ 2 tan γ1 tan12° tan 31° c c − ; tan γ 2 tan γ1 € tan γ1 = c b1 et c ; b2 1 1 b 2 − b1 = c − ; tan γ 2 tan γ1 € L'arbre est haut de 6,58 m. € tan γ 2 = 11) Notations 12 A et B sont les arbres, P est le bateau. Dans le triangle ABP, a = longueur du côté [BP] b = longueur du côté [PA] p = longueur du côté [AB] α = amplitude de l'angle en A β = amplitude de l'angle en B ϕ = amplitude de l'angle en P Données α = 90°; ϕ = 35°; p = 2 km. Inconnues b = distance du bateau à l'arbre A; a = distance du bateau à l'arbre B. Résolution p tanϕ = ; b b= p 2 km = = 2,856 km. tanϕ tan35° p sinϕ = ; a € a= p 2 km = = 3,487 km. sinϕ sin35° € Le bateau est à 2,856 km de l'arbre A et à 3,487 km de l'arbre B. € € 12) Notations A = pied de l'Empire State Building; B = sommet de l'Empire State Building; C = taxi + notations habituelles pour un triangle ABC. Données c = 381 m; Inconnue b = distance du taxi au pied du building. Résolution tanβ = α = 90°; β = 20°. b c b = c • tanβ = 381 m • tan20° = 138,67 m. € Le taxi est à 138,67 m du pied de l'Empire State Building. € 13 Angles, amplitudes, arcs et secteurs Qu'est-ce qu'un angle ? Un angle est la partie du plan délimitée par deux demi-droites de même origine, appelées les côtés de l'angle, leur origine étant appelée sommet de l'angle. Angle saillant et angle rentrant La définition ci-dessus est ambigüe car deux demi-droites de même origine délimitent deux parties distinctes du plan et donc deux angles distincts : l'angle saillant... et l'angle rentrant. Amplitude d'un angle 1 € 3 2 € € Interceptons un angle de sommet O par 3 cercles centrés en O et de rayons r1, r2 et r3. Nous définissons ainsi l'arc A1B1 de longueur 1, l'arc A2B2 de longueur 2 et l'arc A3B3 de longueur 3 . Nous définissons aussi les secteurs circulaires OA1B1, OA2B2 et OA3B3. Ces 3 secteurs sont des figures semblables et il en résulte que 1 2 €3 € € = = r1 r2 r3 Autrement dit, la quantité est une constante pour un angle donné. Elle caractérise cet angle. r € 14 Si nous interceptons un même cercle de rayon r par 2 angles différents, nous obtenons 2 arcs de longueurs différentes, 1 et 2 . Plus l'angle est ouvert, plus la longueur d'arc est grande. € € € 2 1 € € Autrement dit, plus l'angle est ouvert, plus la quantité En résumé, la quantité est grande. r est caractéristique de l'angle; r est d'autant plus grande que l'angle est plus ouvert. € Ces deux propriétés nous amènent à adopter cette définition € de € l'amplitude α d'un angle : α= r Le radian, unité naturelle d'amplitude d'angle € Cette définition d'α implique une unité naturelle pour l'amplitude d'un angle : unité d'amplitude d'angle = unité de longueur = 1. unité de longueur Cette unité est le nombre 1. On a pourtant décidé de lui donner un nom et une abréviation : € unité d'amplitude d'angle = 1 radian = 1 rad. Mais comme ce n'est quand même que le nombre 1, cette notation est facultative : € 1 rad = 1. L'angle d'un radian € Comme α = , quand α = 1 alors = 1 ou = r . r r On peut donc dire que € € € € est un angle qui un angle d'un radian intercepte dans un cercle centré en son sommet un arc dont la longueur est égale au rayon de ce cercle. € 15 Conversions d'unités d'amplitudes d'angles Nous venons de définir le radian mais nous connaissions déjà le degré. Afin d'établir une relation entre ces deux unités, considérons un angle plein. = 2πr D'une part, pour un angle plein r α = 360° . D'autre part, un angle plein intercepte dans un cercle de € rayon r un arc dont la longueur est celle de la circonférence € : du cercle = 2πr En appliquant la définition de l'amplitude, cela donne € α= 2πr = = 2π = 2π rad r r Bref, pour un angle plein, on a à la fois α = 360° α = 2π rad € donc 2π rad = 360° ou π rad = 180° € € ou encore 1 rad = 180° ≈ 57,30° € π et 1° = π rad ≈ 0,01745 rad . 180 Nous avons vu que la notation "rad" peut être omise car la définition du radian implique que 1 rad = 1 mais la notation "°" est par contre indispensable car 1° est égal au nombre π /180.. € € Exercices 13) Convertir les amplitudes d'angles suivantes de radians en degrés. a) 1 b) π 3 c) 3π 5 d) 3π 2 e) € 2π 14) Convertir les amplitudes d'angles suivantes de degrés en radians. € € € € a) 45° b) 18° c) 60° d) 90° e) 135° 15) Donner la valeur numérique, avec deux décimales, des nombres trigonométriques suivants. a) cos 1 b) cos 1° c) tan 30° e) cos π 5 f) sin 54° g) cos π 3 d) tan 30 h) cot 60° N. B. 16) cot α = 1/tanα α est l'amplitude d'un angle non droit de triangle rectangle. Déterminer sa valeur € en degrés avec 2 décimales et sa valeur en€radians avec 3 décimales, sachant que € a) tanα = 3 b) cosα = 0,8 c) sinα = 0,7. 16 Longueur d'arc et aire de secteur Un cercle de rayon r intercepte un arc de longueur dans un angle d'amplitude α. Le centre du cercle coïncide avec le sommet de l'angle. € Par définition de l'amplitude, α = . r en déduit la formule de la longueur On d'arc : A α = αr € Pour établir une formule de l'aire du secteur, considérons de nouveau le cas € de l'angle plein. Dans ce cas, on a d'une part α = 2π et d'autre part A = πr 2 puisque, quand l'angle est plein, le secteur occupe tout le disque. € € La règle générale se déduit de ce cas particulier en considérant que, à rayon donné, l'aire du secteur est directement proportionnelle à l'amplitude de l'angle qui le définit. Il suffit donc d'appliquer€ une règle de trois. 1 2 A = αr 2 Exercices € 17) 18) ÷ 2π € ×α € Donc € r Amplitude d'angle Aire de secteur 2π πr 2 1 € α € 1 2 r2 1 € 2 € αr 2 Calculer la longueur d'arc . b) Calculer l'aire de secteur A . c) € en taille réelle. Dessiner le secteur × α 1 2 A = r . € Un cercle de rayon r = 10 cm intercepte un arc dans un angle d'amplitude α = a) ÷ 2π € € ou encore, puisque αr = , € 1 rad 2 € Un cercle de rayon r = 8 cm intercepte un arc dans un angle d'amplitude α = 20° a) Calculer la longueur d'arc . b) Calculer l'aire de secteur A . c) € en taille réelle. Dessiner le secteur € L'intérêt de ces deux exercices est, outre d'appliquer les formules de longueur d'arc et d'aire de secteur, d'illustrer la nécessité de pouvoir utiliser à la fois les radians et les degrés. Si l'une des unités facilite le calcul et les considérations théoriques, l'autre facilite le dessin et les mesures. 17 Corrigé des exercices 13) 1= c) 3π 3 • 180° = = 3 • 36° = 108° 5 5 € 14) € 180° ≈ 57,30° π a) a) 45° = 45π π = 180 4 b) €18π π 18° = = 180 10 d) 90° = 90π π = 180 2 e) 135° = a) cos1 ≈ 0,54 c) tan 30° ≈ 0,58 € € sin54° ≈ 0,81 € 17) 135π 3π = 180 4 c) 60° = b) cos1° ≈ 0,9998 ≈ 1,00 d) tan 30 ≈ −6,41 e) cos g) cos π = 0,5 3 h) cot 60° = € tanα = 3; α = arctan 3 ≈ 71,57° ≈ 1,249 . b) cosα = 0,8; € α = arccos0,8 ≈ 36,87° ≈ 0,644 . € c) sinα € = 0,7; α = arcsin0,7 ≈ 44,43° ≈ 0,775 a) € 1 = αr = 10 cm = 5 cm 2 € c) α= b) 1 2 1 2 • 1 1 180° 90° = = ≈ 28,65° 2 2 π π € = 5 cm α= a) b) 1 rad 2 r = 10 cm € 20π 8π = αr = 20° • 8 cm = 8 cm = cm ≈ 2,79 cm € 180 9 1 1 8π 32π cm • 8 cm = cm2 ≈ 11,17 cm2 2 2 9 9 A = r = € c) € = α = 20° 1 ≈ 0,58 tan60° A = r = 5 cm 10 cm = 25 cm2 € 18) π ≈ 0,81 5 € a) € 60π π = 180 3 € € f) € 3π 3 • 180° = = 3 • 90° = 270° 2 2 € (c'était notre point de départ pour établir la règle de conversion). € 16) d) 2π = 360° € € π 180° = = 60° 3 3 e) € 15) b) r = 8 cm € 8π cm 9 18 Angles orientés On convient de définir comme sens positif de rotation le sens inverse des aiguilles d'une montre. On distingue le premier côté ou demi-droite origine de l'angle et le second côté ou demi-droite extrémité. Cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré en l'origine O(0; 0) du plan R 2 muni d'un repère orthonormé et dans lequel on a choisi comme sens positif de rotation le sens inverse des aiguilles d'une montre. Représentation d'un angle orienté dans le cercle trigonométrique Soit O(0; 0) l'origine des coordonnées et E(1; 0) l'intersection du cercle trigonométrique avec l'axe des x, du côté des x positifs. Pour représenter un angle orienté dans le cercle trigonométrique, on place son sommet en O et son premier côté en la demi-droite [OE. De cette manière, son second côté est fixé. Il coupe le cercle en un point M(xM; yM). Moyennant ces conventions, pour déterminer un angle orienté, il suffit de connaître le point M. 19 Les quatre quadrants € Premier quadrant Deuxième quadrant Troisième quadrant Quatrième quadrant α ∈ ]0°, 90°[ α ∈ ]90°, 180°[ α ∈ ]180°, 270°[ α ∈ ]270°, 360°[ € Quelques angles particuliers € € On peut représenter les valeurs des amplitudes par des graduations le long du cercle trigonométrique. Voici les amplitudes de quelques angles particuliers. Il est bon de pouvoir rapidement convertir ces amplitudes de degrés en radians et inversement et de pouvoir rapidement représenter les angles correspondants sur le cercle. 20 Redéfinition des nombres trigonométriques Le sinus, le cosinus et la tangente ont été définis pour un angle non droit de triangle rectangle et ces définitions sont rappelées en page 3. Nous voudrions trouver des définitions qui puissent s'appliquer à tous les angles. Un angle non droit de triangle rectangle a son amplitude strictement comprise entre 0° et 90°. C'est donc un angle du premier quadrant. Considérons un tel angle. Si P est la projection orthogonale de M sur l'axe des x, OPM est un triangle rectangle en P. On peut donc appliquer les formules de la page 3 (en adaptant les notations, bien entendu). cosα = € d(O, P) xM = = xM ; d(O, M) 1 sinα = d(P, M) yM = = yM ; d(O, M) 1 tanα = d(P, M) yM sinα = = . d(O, P) xM cosα Ces résultats sont équivalents aux définitions de la page 3 dans le cas d'un angle du premier quadrant. Nous décidons que, désormais, ils feront office de définitions du cosinus, du sinus et de la tangente. € € cosα = xM sinα = yM tanα = sinα cosα Nous décidons aussi que ces nouvelles définitions s'appliqueront telles quelles à tous les angles. € € Les relations de la page 3 sont désormais considérées comme des € propriétés, valables uniquement pour les angles non droits de triangles rectangles. 21 Signe des nombres trigonométriques cos α, étant l'abscisse de M, sera positif quand M sera à droite de l'axe des y, ce qui correspond aux premier et quatrième quadrants. sin α, étant l'ordonnée de M, sera positif quand M sera au-dessus de l'axe des x, ce qui correspond aux premier et deuxième quadrants. tan α, étant le rapport de sin α sur cos α, sera positive quand sin α et cos α auront le même signe, ce qui correspond aux premier et troisième quadrants. − + + + − + − + − − + − Détermination graphique des nombres trigonométriques Soit T l'intersection de la droite OM avec la tangente au cercle passant par le point E. Propriété : tanα = y T Prouvons-le dans le cas du premier quadrant. OET est un triangle rectangle en E. En utilisant les relations de la page 3, on a tan α = d(E, T)/d(O, E) = yT/1 = yT, CQFD. Nous admettrons que la propriété est€vraie aussi pour les autres quadrants. Pour déterminer graphiquement les nombres trigonométriques, nous avons maintenant 3 formules les liant à des coordonnées de points : cosα = xM ; sinα = yM ; tanα = y T . 22 La relation fondamentale de la trigonométrie cos2 α + sin 2 α = 1 Preuve € Quel que soit le quadrant, si P est la projection de M sur l'axe des x, OPM est un triangle rectangle en P donc le théorème de Pythagore s'applique : [d(O, P)] 2 Or, quel que€soit le quadrant, 2 Donc 2 + [d(P, M)] = [d(O, M)] 2 d(O, P) = xM = cosα d(P, M) = yM = sinα d(O, M) = r = 1 2 cosα + sinα = 1 € de la valeur absolue d'un nombre est égal au carré de ce nombre. D'où la thèse, puisque le carré € Formules dérivées de la relation fondamentale. Si on divise membre à membre la relation fondamentale par cos2 α, on obtient cos2 α sin 2 α 1 + = 2 2 cos α cos α cos2 α 1+ tan 2 α = donc 1 cos2 α Si on divise membre à membre la relation fondamentale par sin2 α, on obtient € cos2 α sin 2 α 1 + 2 = 2 2 sin α sin α sin α € 1 1 +1= 2 2 tan α sin α donc Autres nombres trigonométriques € € On définit aussi la sécante, la cosécante et la cotangente. Ils sont d'un emploi moins courant. secα = 1 cosα cosec α = 1 sinα cot α = 1 tanα Exercices 19) Voir page suivante. € € € 20) On demande de déterminer analytiquement des nombres trigonométriques d'un angle sans déterminer l'amplitude de cet angle. 12 et α ∈ ]90°; 180°[ , déterminer cosα et tanα. 13 a) Si sinα = b) € 3π 4 Si cosβ = − et β ∈ π; , déterminer sinβ et tanβ. 2 5 € c) € 1 Si sinθ = et θ ∈ ]270°; 360°[ , déterminer cosθ et tanθ. 13 € 23 d) e) € f) € g) € Si sin λ = 3 et cos λ < 0 , déterminer cos λ et tan λ . 5 3π Si cosµ sinµ et tanµ. € = 0,2 et µ ∈ 2 ; 2π € , déterminer € Si tanα = 3 et α ∈ ]0°; 90°[ , déterminer cosα et sinα. € π Si tanα = −2 et α ∈ ; 2 € π , déterminer cosα et sinα. Les cas de a) à e) viennent de l'exercice 8. page 25 du livre "Des situations pour apprendre". € 21) € Trouver le quadrant qui contient l'angle orienté d'amplitude θ vérifiant les conditions suivantes : a) cos θ > 0 et sin θ > 0 b) cot θ > 0 et sin θ < 0 c) sin θ > 0 et cos θ < 0 d) cos θ < 0 et tan θ > 0 Ces cas viennent de l'exercice 9. page 25 du livre "Des situations pour apprendre". 19) Déterminer graphiquement, avec 2 décimales, cosα, sinα et tanα, sans déterminer α. 24 Corrigé des exercices 19) tan(α) T M sin(α) cos(α) ≈ 0,77 sin(α) ≈ 0,64 tan(α) ≈ 0,84 α 20) a) cos2 α + sin 2 α = 1; cos(α) 12 2 144 169 −144 25 2 2 cos α = 1− sin α = 1− = 1− = = ; 13 169 169 169 25 5 signe "−" car α est du 2e quadrant. =− 169 13 sinα €12 /13 12 tanα = = =− . cosα −5 /13 5 cosα = − € € b) € cos2 β + sin 2 β = 1; −4 2 16 25 −16 9 sin 2 β = 1− cos 2 β = 1− = 1− = = ; 5 25 25 25 9 3 =− 25 5 sinβ € −3/5 3 tanβ = = = . cosβ −4 /5 4 sinβ = − € € € c) Les données sont incohérentes car, θ étant du 4e quadrant, sin θ devrait être négatif. d) cos2 λ + sin 2 λ = 1; 32 9 25 − 9 16 cos2 λ = 1− sin 2 λ = 1− = 1− = = ; 5 25 25 25 16 4 =− 25 5 sin λ€ 3/5 3 tan λ = = =− . cos λ −4 /5 4 cos λ = − € € e) € 2 € 2 cos µ + sin µ = 1; signe "−" car cos λ < 0 . € 1 2 1 25 −1 24 sin µ = 1− cos µ = 1− = 1− = = 5 25 25 25 2 24 2 6 =− 25 5 sinµ€ −2 6 5 tanµ = = = −2 6 . cosµ 15 sinµ = − € signe "−" car β est du 3e quadrant. 2 signe "−" car µ est du 4e quadrant. 25 f) 1 ; 1+ tan 2 α = cos2 α cos2 α = € tanα = € g) 1 ; 4 € € tanα = € 1 2 1 ; cos2 α € 1 2 = 1+ tan 2 α = 1+ (−2) = 1+ 4 = 5 ; 2 cos α signe "−" car α est du 2e quadrant. sinα = cosα tanα = − 5 2 5 . (−2) = 5 5 1er quadrant. a) cosθ > 0 et € b) cot θ > 0 € et € c) € cosθ cosθ = cot θsinθ Comme cot θ = , donc sinθ € cosθ < 0 sinθ < 0 et 3e quadrant. € € € sinθ > 0 cosθ < 0 et 2e quadrant. d) cosθ < 0 € € € = 1+ 3 = 4 ; 1 3 3= . 2 2 1 5 cosα = − =− 5 5 € sinα ; cosα € ( 3) 2 signe "+" car α est du 1er quadrant. sinα = cosα tanα = 1 cos2 α = ; 5 € 21) cosα = sinα ; cosα€ 1+ tan 2 α = 1 = 1+ tan 2 α = 1+ cos2 α sinθ > 0 sinθ < 0 . et cosθ < 0 . tanθ > 0 . € € sinθ sinθ = tanθcosθ Comme tanθ = , donc cosθ € € cosθ < 0 sinθ < 0 et 3e quadrant. € € € Annexe au chapitre 1 - quelques rappels utiles € € 1) Solution de l'équation x2 = a2 sinθ < 0 . Soit a un réel quelconque. On cherche toutes les valeurs de x qui vérifient cette équation. x2 = a 2 x2 − a 2 = 0 (x − a)( x + a) = 0 (produit remarquable) € x−a =0 ou x+a =0 (règle du produit nul) x=a ou x = −a € € € x = ±a € Ensemble des solutions : € = {−a; a} Sol. € € Le signe "±" se lit "plus ou moins". Il a, en mathématiques, le sens très précis de "soit +, soit −". € 26 2) Coordonnées d'un point Dans le plan R 2 muni d'un repère orthonormé, un point est déterminé par ses coordonnées cartésiennes : son abscisse et son ordonnée. Les coordonnées d'un point P sont notées (xP, yP) ou (xP; yP). L'abscisse de P est xP et son ordonnée est yP. Prenons l'exemple du point A du graphique ci-dessus. En tout généralité, on note A(xA, yA). Pour trouver la valeur de son abscisse xA, on trace à partir de A une ligne de rappel parallèle à l'axe des y. Cette ligne de rappel coupe l'axe des x en la graduation 2. On en conclut que xA = 2. Pour trouver la valeur de son ordonnée yA, on trace à partir de A une ligne de rappel parallèle à l'axe des x. Cette ligne de rappel coupe l'axe des y en la graduation 4. On en conclut que yA = 4. On signifie que les coordonnées de A sont 2 et 4 en écrivant A(2, 4). 3) Notations pour une droite, une demi-droite, un segment et une distance AB = droite passant par A et B. [AB = demi-droite d'origine A passant par B. [AB] = segment de A à B. d(A, B) = distance du point A au point B.