MECANIQUE 2

MECANIQUE 6
MOUVEMENT DES SATELLITES ET DES PLANETES
Position du problème :
On étudie le mouvement d’une planète autour du Soleil, ou d’un satellite naturel ou artificiel autour d’une
planète.
I. Lois de Kepler
1ère loi de Kepler :
Les trajectoires des planètes autour du soleil sont des ellipses dont l’un des foyers est le Soleil.
remarque :
Lorsque les foyers de l’ellipse sont très proches ou confondus, la trajectoire est quasi circulaire.
2ème loi de Kepler :
L’aire balayée par le rayon Soleil/Planète pendant des durées égales est une constante au cours du
mouvement.
3ème loi de Kepler :
T2
 cste
a3
T : période de l’orbite
a : demi grand axe de l’ellipse
remarque :
- La constante est indépendante de la planète considérée, elle ne dépend que de la masse de l’astre
(astre attraction).
- Les lois de Kepler se généralisent à tous les système de planètes ou de satellites (naturels/artificiels) en
orbites autour d’un corps.
- Très souvent les trajectoires elliptiques se réduisent à des trajectoires circulaires (cas particulier
d’ellipse)
application de la 2ème loi de Kepler :
Dans le cas d’un mouvement circulaire le rayon planète/satellite est constant et donc d’après la loi des
aires le mouvement est uniforme.
II. Etude théorique
1.Rappel, définition, généralité ou petit 1
Un référentiel est Galiléen : si on peut appliquer le principe d’inertie dans ce référentiel
Le référentiel terrestre : il peut être considéré comme Galiléen sur des durées négligeable devant la
période propre de la Terre
Pour l’étude du mouvement d’un satellite autour de la Terre on utilise le référentiel géocentrique qui peut
être alors considéré Galiléen
Lorsqu’on étudie le mouvement des planètes du système solaire, on étudie le référentiel héliocentrique
qui peut être considéré Galiléen
La période de révolution : c’est la durée nécessaire pour qu’une planète parcourt un tour complet autour
du Soleil
La période propre : c’est la durée nécessaire pour qu’une planète effectue un tour sur elle même
1
2. Repère de Frenet



a  aT .T  a N .N
dv
dt
v²
aN 
R
aT 
R : rayon de la trajectoire

Cas d’un mouvement circulaire et uniforme v = cste et aT = 0 : a 
v² 
N
R
2
3. Etude du mouvement circulaire
On applique la deuxième loi de Newton dans le référentiel géocentrique (supposé Galiléen) au système
Lune soumise à l’attraction gravitationnelle due à la Terre.
 
mL .a  FT
L

m .m 
mL .a  G. T 2 L .N
R
m .m
FT  G. T 2 L
L
R
 
On projette sur le repère de Frenet ( N ; T )
mT .mL

mL .a N  G.
R2


mL .aT  0
mT
 v²
  G.
 R
R²

aT  0
v ².R  G.mT

  dv
0

 dt

G.mT
v 

R
v  cst

remarque :
- Si la trajectoire est circulaire, alors le mouvement est uniforme
- La vitesse diminue lorsque le rayon de la trajectoire augmente
4. Lois de Kepler
aR
v est une cst donc :
v
2R
T
2R
2 R .R 2 R 3
R3


 2
G.mT
G.mT
G.mT
G.mT
R
2
2
3
T
4 .R
4 2


R 3 G.mT .R 3 G.mT
T
2R

v
On retrouve la 3ème loi de Kepler
3