Anneau quotient Exemple : On sait que les sous groupes de (ℤ,+)

Anneau quotient
S.Remmal
Exemple :
On sait que les sous groupes de (ℤ,+) sont de la forme ℤ où
D’autre part,
ℤ
ℤ
ℤ
.
ℤ
ℤ
ℤ.
.
On a donc une partition de ℤ par les sous ensembles :
ℤ
c.à.d.si n est un entier fixé, alors tout entier m va se trouver dans un
seul ensemble de la forme et ℤ=
.
La relation binaireℛ définie dans ℤ par :
ℛ
ℤ
est une relation d’équivalence dont les classes d’équivalences sont les
ensembles :
ℤ
L’ensemble ℤ ℛ des classes d’équivalences est noté ℤ ℤ.
Si on veut définir une opération sur l’ensemble ℤ ℤ
à
partir de l’addition de ℤ, cette opération doit tenir compte du faite qu’une
classe peut avoir plusieurs représentants. On doit donc avoir la
propriété suivante :
.
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Cette propriété est vérifiée si on choisit l’opération suivante :
ℤ
En effet,
ℤ
ℤ
Donc :
.
On peut interpréter la propriété précédente, en disant que la relation
binaire ℛ est compatible avec l’addition c.à.d.
ℛ
ℛ
ℛ
)
On note habituellement l’opération par + et on vérifie sans difficulté,
que l’ensemble ℤ ℤ muni de cette opération est un groupe abélien dont
ℤ est l’élément neutre.
D’autre part, l’application
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ est un
homomorphisme de groupes puisque :
En plus, comme l’application
égal à ℤ, on a :

ℤ
ℤ
est naturellement surjective et son noyau
.

ℤ
ℛ
.
De même, si on veut définir une multiplication sur l’ensemble ℤ ℤ
à partir de la multiplication de ℤ, cette opération doit tenir
compte du faite qu’une classe peut avoir plusieurs représentants. On
doit donc avoir la propriété suivante :
.
Cette propriété est vérifiée si on choisit l’opération suivante :
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ℤ
En effet,
ℤ
ℤ
Donc :
.
La relation binaire ℛ est alors compatible avec la multiplication de ℤ
puisque :
ℛ
ℛ
Le groupe ℤ ℤ
ℛ
)
muni de la multiplication :
devient alors un anneau commutatif unitaire
ℤ
D’autre part, l’application
ℤ
ℤ
ℤ devient un
homomorphisme surjectif entre les anneaux ℤ et ℤ ℤ puisque :
Cas général
On s’inspire du model de l’anneau quotient ℤ ℤ.
Soit un anneau commutatif. Si on veut construire une structure
algébrique d’anneau quotient à partir des éléments et des opérations de
l’anneau on doit avoir une relation d’équivalence sur compatible
avec les opérations de .
Ainsi si ℛ est une relation d’équivalence compatible avec l’addition et la
multiplication de l’anneau c.à.d.
ℛ
L’ensemble
vérifie :
ℛ
ℛ
ℛ
ℛ
ℛ
) et
ℛ
est alors un sous groupe de
ℛ.
),
qui
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On dit dans ce cas que
Inversement, si
sur par :
ℛ
est un idéal de l’anneau .
est un idéal de l’anneau , la relation binaire ℛ définie
ℛ
est une relation d’équivalence compatible avec les opérations de .
La donnée d’une relation d’équivalence sur l’anneau compatible avec
les opérations de est équivalente à la donnée d’un idéal de A.
L’ensemble quotient
ℛ
ou
ℛ
ℛ
sera noté
.
Les opérations :
permettent d’avoir une structure algébrique d’anneau commutatif sur
l’ensemble quotient
L’application
entre les anneaux
.
est un homomorphisme surjectif
telle que :
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