Lycée :Habib Thamer Prof : Regaieg Farhat Classe : 3ème Math + Sc Série d’exercices N°6 (Trigonométrique) Exercice 1 : Exercice 8 : Exprimer en fonction de cos x ou sin x les nombres suivants : 3 a) cos(3 + x) ; b) sin(– x – ) ; ; c) sin x ; 2 9 7 d) cos x e) sin (11 – x) ; f) cos x 6 2 g) cos ( – x) + cos(x – 3) ; h) sin (– x) – sin ( + x) ; i) sin (– x) – cos (– x) ; j) sin ( + x) + cos ( – x) ; k) cos (– – x) + sin(x –) + sin(4 – x) Résoudre dans]- ; ] les équations données et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique. 1 a) cos 2x = 1 ; b) sin 2x = 0 ; c) sin 2x = – 1 ; d) cos 2x = 2 Exercice 9 : Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes dans l’intervalle I.Représenter les points aux solutions sur le cercle trigonométrique. Résoudre dans [0 ; 2[ les équations suivantes : a) cos 2x = sin x ; b) cos 2x – cos x + 1 = 0 Exercice 10 : 3 . 5 Calculer cos t dans chacun des cas suivantes : a) t 0; ; b) t ; 2 2 1 2) t est un réel tel que cos t = . 3 Calculer sin t dans chacun des cas suivants : a) t [0 ; ] ; b) t ] - ; 0]. Donner une valeur approchée de t à 10 – 2 près dans chaque cas. 1) Soit t un réel tel que sin t = 1 3 ; I = ] - ; 2] b) sin x = ; I = ] - ; ] 2 2 2 2 c) cos x = ; I = [0 ; 2[ d) sin x = ; I = [0 ; 2[ 2 2 3 e) sin x = sin ; I = [-2 ; 0[ f) cos x = - cos ; I ; 6 4 2 2 g) sin x = 1 ; I = [0 ; 2] h) cos x = - 1 ; I = [- ; ]. a) cos x = Exercice 11 : x désigne un réel quelconque. Simplifier les expressions : 2 4 1) a) A = cos x + cos x + cos x 3 3 2 4 b) B = sin x + sin x + sin x 3 3 2 2) a) A’ = cos²x + cos² x + cos² x 3 3 2 b) B’ = sin²x + sin² x + sin² x 3 3 3) On considère les points M,N et P du cercle trigonométrique 2 4 repérés par les réels x, x + ,x+ . 3 3 Quelle est la nature du triangle MNP ? quel est son centre de Exercice 3 : 2 2 . Calculer sin et tan . 2 8 8 3 5 7 9 En déduire les lignes trigonométriques de : ; ; ; 8 8 8 8 On donne cos 8 Exercice 4 : Résoudre dans]- ; ] les équations suivantes : 1 a) 4cos²x – 3 = 0 ; b) sin²x – = 0 ; c) tan²x = 3 2 Exercice 5 : A l’aide du cercle trigonométrique sur lequel on représentera les solutions, résoudre les inéquations suivantes : 1) Dans]- ; ] : a) sin x 0 ; b) cos x < 0 ; c) cos x 0. 2) dans [0 ; 2[ : a) sin x < 0 ; b) cos x < 0 ; c) cos x 0. gravité ? en déduire la valeur de OM ON OP et retrouver le résultat de la question 1). Exercice 6 : Exercice 12 : Egalité diverses : Résoudre dans]- ; [ les inéquations suivantes : Etablir les égalités suivantes : a) cos4x – sin4x = cos 2x. 1 b) cos4x + sin4x + sin2 2x = 1. 2 2 tan x k c) tan 2x = ; (x différent de + k et , k Z). 2 4 2 1 tan ² x 1 d) (cos x + sin x) 1 sin 2 x = cos3x + sin3x. 2 1 cos 4 x e) cos2x sin2x = 8 1 2 2 2 a) cos x ;b) sin x ;c) cos x > ; d) sin x > 2 2 2 2 Même question en donnant les solutions dans [0 ; 2[. a) cos x - 1 ; b) Exercice 7 : 2 1 1 3 c) cos x sin x 2 2 2 2 3 cos x sin x dans [0 ; 2[. 1 a) Démontrer que x est aussi solution de cos²x = 4 1 b) Résoudre l’équation cos²x = dans [0 ; 2[. 4 c) En déduire les solutions de l’équation (on remarquera que cos x et sin x doivent avoir le même signe). On veut résoudre l’équation Exercice 13 : 1) Exprimer sin2 2x et cos2 2x en fonction de cos 4x. 3 1 2) Démontrer que cos4x + sin4x = + cos4x. 4 4 -1- Exercice 14 : Exercice 19 : k On suppose que x est différent de avec k élément de Z. 2 sin 2 x cos 2 x 1 a) Démontrer que sin x cos x cos x sin 3x cos 3x b) Démontrer que est une constante. sin x cos x 3 sin x = 2 cos x 3 2) Résoudre dans [0 ; 2[ les équations : 1) Démontrer que cos x – a) cos x – 3 sin x = - 1 ; b) cos x – Exercice 20 : On considère un point A de coordonnées polaires (R, ) dans O; i . Soit B tel que OAB est un triangle équilatéral direct. a) Déterminer les coordonnées polaires de B dans O; i . b) En déduire que les coordonnées cartésiennes de B sont : 1 1 3 3 xB R cos sin ; y B R sin cos 2 2 2 2 Application Déterminer les coordonnées cartésiennes de B, connaissant celle de A dans O, i , j ; a) A(2 ; 3) ; b) A(1 ; -1) Exercice 15 : Soit P = cos x cos 2x cos 4x, où x désigne un réel. 1 a) Démontrer que : P sin x = (sin 2x)(cos 2x)(cos 4x) 2 1 = sin 8x. 8 2 b) En remplaçant x par , démontrer que : cos cos 7 7 7 4 1 cos = 8 7 Exercice 16 : 1) Démontrer que : 3 5 7 a) cos + cos + cos + cos = 0. 8 8 8 8 3 5 7 b) cos² + cos² + cos² + cos² = 2. 8 8 8 8 5 3 7 2) Déterminer: cos4 + cos4 + cos4 + cos4 8 8 8 8 Exercice 21 : 12 et sin 12 . Dans le repère orthonormal direct O, i , j , on considère le point M de coordonnées (2 3 ; 2) 1) Déterminer des coordonnées polaires de M dans O, i . 3 2) On considère le point N tel que : OM , ON 2 et 4 1 ON = OM 2 Déterminer des coordonnées polaires de N dans le repère O, i Soit f : IR IR; x 1 cos2x sin2x π 1) a) Montrer que f(x) = 2 2 cosx cos x 4 b) Résoudre dans [0, ] : f (x) = 0 et f (x) > 0 sin2x 1 2) g : 0, π IR; x 1 cos2x sin2x a) Déterminer le domaine de définition de g b) Résoudre dans [0, ] : g (x) 0 1 3) a) Montrer que pour tout x Dg : g (x) = (tanx – 1) 2 π b) En déduire que tan 2 1 8 11 3) En utilisant les formules d’addition, calculer : cos et 12 11 sin 12 En déduire les coordonnées cartésiennes de N dans O, i , j 4) Déterminer la distance MN et une valeur approchée à 10 – 2 Exercice 18 : Soit l’application f : 0, IR 3 2cos x En déduire les valeurs exactes de cos Exercice 17 : x 2 sin ² x 3 sin x = 0. près par défaut de MO, MN Exercice 22 : 32 Une pièce métallique est entaillée selon l’angle EAˆ C . On place un cylindre de rayon 30 mm comme ci-dessous : 2 1) Calculer f et f 2 3 2) Soit l’élément de [0,] tel que tan = 2 . Calculer cos ; tan puis f(). 3) Montrer que pour tout x [0,] ; f(x) = 2cos²x – ( 3 + 2) cos x + 3 4) Résoudre dans [0,] l’équation f(x) = 0 puis l’équation 2cos²x – ( 3 + 2) |cos x| + 3 = 0 5) Résoudre dans [0,] l’inéquation f(x) > 0 1) Calculer la tangente de l’angle KAˆ C 2) Calculer, à 10 – 2 près par défaut, la cote x. 3) Calculer OH, puis en déduire la cote y à 10 – 2 près par défaut. 6) Dans cette question x désigne un élément de 0, 2 a) Montrer que (cosx – sinx) ² + (cosx + sinx) ² = 2 b) Exprimer f x f x à l’aide de cosx et sinx. 2 c) Résoudre l’équation f x f x 3 2 -2-