Document réponse n°1

Physique Appliquée
Durée : 4 h
Réglage de la puissance réactive
Asservissement de vitesse
BTS 1999
Calculatrice autorisée
Puissances Redresseur Capteur Asservissement
Coefficient : 3
Nouméa
Correction
PROBLEME A : Dispositif de réglage de la puissance réactive
I) PONT REDRESSEUR
Le redresseur utilisé est un pont tout thyristors type PD3 (voir figure 2).
-vR, vS, vT représentent les tensions simples d'un réseau triphasé de pulsation  = 100 rad.s-1 et de valeur
efficace V = 220 V.
-la charge est constituée d’une résistance R = 10 et d’une inductance L rendant le courant Io parfaitement
lissé.
-les semi-conducteurs sont supposés parfaits et , exprimé en degrés, est le retard à l'amorçage des thyristors.
I.1) Représentation des signaux fondamentaux
Pour  = 60°
I.1.1) Représenter sur le document-réponse n° 1 , les tensions à la sortie du pont vAN(t) et vBN(t), considérées
par rapport au neutre N
I.1.2) Préciser les éléments conducteurs sur le document-réponse n° 1.
I.1.3) En déduire la forme d'onde de la tension uAB(t).
I.1.4) Représenter les intensités i1(t), i2(t) et iR(t).
I.2) Variation de la puissance active
I.2.1) On rappelle que Umoy (valeur moyenne de u(t)) est de la forme
Umoy = U0.cos
Exprimer U0 en fonction de V, sachant que pour un pont de diodes PD3, la valeur moyenne de la tension
redressée est
3 6
V
p
Application numérique : calculer UO
I.2.2) Exprimer l'intensité I0 dans la charge R, L en fonction de U0 , R et .
I.2.3) Montrer que la puissance P absorbée par la charge a pour expression
P = P0. (cos) 2
Exprimer P0 . Application numérique : R = 10 , calculer P0
I.3) Soit iRf(t) le fondamental de iR(t) et IRf sa valeur efficace
I.3.1) Donner l'allure de iRf(t) sur le document-réponse n°1. (On donne la valeur efficace IRf = 0,78 I0).
I.3.2) Quel est le déphasage  de iRf(t) par rapport à vR(t) ?
I.4) Variation de la puissance réactive.
I.4.1) Exprimer les puissances active P et réactive Q absorbées par le pont en fonction de V, I Rf et .
I.4.2) En utilisant le résultat de la question I-2-3, déterminer l'expression de IRf en fonction de U0, V, R et
.
I.4.3) En déduire que Q peut s'exprimer sous la forme suivante : Q = Qo.sin(2 ).
Exprimer et calculer QO .
1
On rappelle que sin(2) = 2 sin cos.
II) COMPENSATEUR STATIQUE
Il est constitué du redresseur étudié précédemment associé à une batterie de 3 condensateurs montés en
triangle (voir figure 1)
Les puissances active et réactive absorbées par le redresseur sont réglables par l'intermédiaire du retard
à l'amorçage  des thyristors sous la forme
P = P0.(cos )2
Q = Q0 sin(2)
avec P0 = 26 kW, Q0 = 13 kVAr.
II.1) Choix des condensateurs.
II.1.1) Quelle est la valeur Q1 de la puissance réactive Q pour
 = 70° ?
II.1.2) On désire que la puissance réactive fournie par les 3 condensateurs soit égale à Q 1. Calculer C.
Cette valeur de C sera conservée pour la suite.
II.1.3) Exprimer la puissance réactive totale QT absorbée par l'ensemble du compensateur constitué des
condensateurs et du redresseur commandé, pour une valeur de  quelconque.
II.1.4) Pour quel intervalle de  le compensateur fournit-il de la puissance réactive ?
III) CAPTEUR DE PUISSANCE RÉACTIVE
Le capteur de puissance réactive est représenté sur la figure 3. Il est constitué:
- d' un capteur de courant L1 tel que
is
4
= (ip et is, sont les intensités instantanées des

i p 1000
courants primaire et secondaire).
- d'un capteur de courant L2 utilisé en capteur de tension, tel que
is 2500

i p 1000
Les courants d'entrée du multiplieur sont négligeables, ainsi que les impédances d'entrée des
capteurs de courant L1 et L2.
III.1) Capteur de courant
III.1.1) La résistance Ra , placée en parallèle sur la sortie du capteur de courant L1, permet d'obtenir en
sortie v1 = 10 V lorsque l'intensité iR au primaire vaut 10 A. Calculer Ra.
III.1.2) Calculer le coefficient Ka, du capteur tel que v1 = Ka.iR
III.2) Capteur de tension
III.2.1) Calculer les résistances R 1 et RV, du capteur de tension pour obtenir en sortie v2 = 10 V avec i’p= 10
mA, lorsque uST = 600V.
III.2.2) Le coefficient KV du capteur est tel que v2 = KV.uST. Vérifier que KV = 1,7 10 -2 .
III.3) Le multiplieur
vR , vS , et vT sont les tensions simples du réseau triphasé de pulsation  = 100 rad.s-1 et de valeur efficace V =
220 V.


vR(t) = V. 2 .cos( t) et iR(t) = I
2 cos( t - ),
le multiplieur réalise : v3(t) = km x v1(t) x v2(t) avec km = 0,10 V-1
2
III.3.1) Représenter les vecteurs de Fresnel représentatifs de v R(t), vS(t) et vT(t). En déduire que


uST (t )  vs (t )  vT (t )  V  6 cos  t   .
2

III.3.2) Exprimer littéralement la sortie v3(t) du multiplieur en fonction de iR(t) et uTS(t) t de Ka, KV, et km.
III.3.3) Montrer que v3(t) s'exprime sous la forme
v3(t) = V0 + v(t)
où V0 est une tension proportionnelle à la puissance réactive Q absorbée par la charge, et v(t) une tension
sinusoïdale de pulsation 2
1
 .(cos(a + b) + cos(a – b)).
2
On rappelle que cosa.cosb = 
III.4) Filtrage : on veut obtenir une tension vu, proportionnelle à la puissance réactive Q.
III.4.1) Quel type de filtre proposeriez vous ?
III.4.2) Donnez un ordre de grandeur de la fréquence de coupure de ce filtre ?
3
P = 26,48 (cos )² kW
4
5
PROBLEME B : Asservissement de vitesse
I Modélisation dynamique de la Machine à courant continu
I.1 .
La loi d’ohm aux bornes de l’induit s’écrit :
L
u(t)
u (t )  e(t )  r  i (t )  L
Et
r
e(t) = k(t)
e(t )  k   t 
Donc
di (t )
dt
u (t )  k  (t )  r  i (t )  L
di(t )
dt
En transformant en laplace :
U ( p)  k  ( p)  r  I ( p)  Lp  I ( p)
(I)
I.2 .
La relation entre couple et courant est donnée par
Cem  k  i(t )
La relation fondamentale de la dynamique donne
C  J
d (t )
dt
Cem  C pertes  Crésist  J
d (t )
dt
d (t )
 Cem  k  i (t )
dt
Jp  ( p)  k  I ( p) (II)
J
I.3.
On souhaite obtenir
H ( p) 
( p)
U ( p)
Pour cela on prend l’équation (II) que l’on peut mettre sous la forme I ( p ) 
Jp
 ( p ) pour pouvoir remplacer
k
I(p) dans l’équation (I)
Jp
Jp
 ( p)  Lp   ( p )
k
k
On factorise par  ( p ) que l’on notera 
rJ
LJ 2 

U ( p )  ( p )  k 
p
p 
k
k


( p )
1
On obtient donc H ( p ) 

U ( p ) k  rJ p  LJ p 2
k
k
H0
Que l’on veut mettre sous la forme H ( p ) 
1   m p   m e p 2
U ( p )  k  ( p )  r 
Donc on divise par k pour faire apparaitre le 1 au dénominateur
1
k
H ( p) 
rJ
LJ 2  1

p
p 
k 
k
k

 k
1
6
Donc
1
k
H ( p) 
1
rJ
LJ
p  2 p2
2
k
k
Par identification



1
k
rJ
m  2
k
H0 
LJ LJ
2
2
L
LJ
L
 m e  2 donc  e  k  k  donc  e 
rJ
r
k
m
r
2
k
II- Choix du correcteur
H ( p) 
H0
H0
( p )

est simplifié en H ( p ) 
2
1   m p   m e p
U ( p) (1   m . p)(1   e . p)
Ve(p)
E(p)
+_
C(p)
correcteur
VC(p)
a
U(p)
circuit de commande
et actionneur
H(p)
moteur
(p)
figure 5
capteur et adaptateur
b
K(p)
II-1 Correcteur intégral
II-1-1 L’erreur e(t) sera nulle car on voit la présence d’un correcteur intégral qui annule l’erreur statique.
Pour être plus rigoureux il faut analyser la classe de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO)
et montrer que l’on est de classe 1.
signal retour
ve ( p)  b  ( p)  E ( p)
Et comme en régime permanent l’erreur statique E ( p ) est nulle donc Ve1  b  1
Ve1 10

 200 rad / s
Donc 1 
1
b
20
II-1-2 Au niveau du comparateur on a
II-2 On choisit Ti =m
La fonction de transfert
H d ( p) 

H0
H0
( p)
1 
 C  p   a  H d ( p)  C  p   a 
 A 1 
 a 
E ( p)
(1   m . p)(1   e . p)
(1   m . p)(1   e . p)
 Ti p 
Comme Ti=m la fonction de transfert devient
  m p 1 
H0
H d ( p)  A 
 a
 m p 
(1   m . p) (1   e . p)


AaH 0
1

Soit H d ( p ) 
m
p  (1   e . p)
7
Où l’on peut identifier H d 0 
AaH 0
m
II-3 Fonction de transfert en boucle fermée
Hd 0
H d ( p)
p  (1   e . p )
En boucle fermée cela devient H f ( p ) 

Hd 0
1  b  H d ( p) 1  b 
p  (1   e . p)
Hd 0
Ce qui donne H f ( p) 


Hd 0
p  (1   e . p) 1  b 

p  (1   e . p) 

Hd 0
après avoir simplifié par p  (1   e . p)
p  (1   e . p)  b  H d 0
H0 f
Que l’on met sous la forme H f ( p) 
2
p  p
1  2m   
0  0 
Hd 0
En divisant par H f ( p ) 
par b  H d 0
2
 e. p  p  b  Hd 0
Soit H f ( p ) 
H f ( p) 
Ce qui donne
1
1
b
e
b  Hd 0
. p2 
1
p
b  Hd 0
Donc par identification



H0 f  1
e
b  Hd 0
2m
0

b

1

2
0
 0 
b  Hd 0
e
1
1
 m
b  Hd 0
2 b  H d 0  e
Donc m0 
1
2 e
II-4 Abaques
II-4-1- L’abaque des dépassements correspond au taux de dépassement en fonction de m pour les divers
dépassements. On s’intéresse à la courbe n=1 (valeurs du premier dépassement). D1=10% pour m=0,6
II-4-2- m0 
1
1
1
 5,55 rad/s
 0 
donc 0 
2  0, 6  0,15
2 e
2m e
II-4-3- L’abaque des temps de réponses donne
tr 
0 tr en fonction de m . Pour m=0,6 , 0 tr  5
donc
5
 0,9s
5,55
b  Hd 0
 e02
0,15  5,552

 92, 4
II-4-4- Grâce à 0 
on déduit H d 0 
1
b
e
20
 m H 0 1,5  92, 4
AaH 0

 7, 7
II-4-5- On déduit de H d 0 
la valeur de A : A 
aH d 0
20  0,9
m
8
I0
A
R
S
T
iR
T1
i1
T2
R
T3
i2
L
T4
T5
T6
B
Figure 2
A
T1
I0
9
v1
v2
v3
multiplieur
L2
R
v4
Figure 3
Ra
iR
filtre
R1
L1
vers la
charge
S
UST(t)
T

u(t)
r
e(t) =
k(t)
figure 4
10
Document réponse n°1
uRT
uRS
vR
0
uSR
uST
vS
vT
 = t
T1 T2 T3
 = t
T4 T5 T6
 = t
i1, i2
I0
 = t
-I0
iRF
I0
 = t
-I0
11
12