Leçon 04

Leçon 4
Solide en rotation autour d'un axe fixe. Applications (PCSI)
------------------Bibliographie : Attention : bien, qu’il s’agisse de méca du solide, c’est une leçon de première année !
 Ellipses : attention ! dans le volume Méca 2 (MP-PT : chapitre 5). Rappel sur les liaisons. Très axé
sur l’équilibrage des machines tournantes, bien mais hors programme. Dans le volume de première
année, on trouvera au chapitre 2 la dérivation vectorielle dans le cas de la leçon, dans le chapitre 5
le théorème du moment cinétique. Trop dispersé.
 Hachette : attention ! dans le volume Méca du solide de 2ème année, chapitre 6.Rappel sur les liaisons. Il n’y a pratiquement que des applications.
 Tec & Doc : Mécanique 1ère année, chapitre 15. Bien pour le début de la leçon.Pour les applications,
se limite aux analogies électro-mécaniques : c’est bien, mais çà ne suffit pas.
 Dunod : Mécanique I, chapitre 17 (pour les théorèmes généraux) & surtout chapitre 18. Bien..

I. MOMENTS. DEFINITIONS : on appellera  l'axe de rotation de vecteur unitaire u .



1. Moment d'une force F : si O est un point de , il est défini vectoriellement par MO  OM  F
 
& est donc indépendant du point O de l'axe. Sous forme scalaire, il s'écrit : M  MO .u . Se traduit par
r.F en coordonnées cylindriques, & interpréter (théorème des moments, manip).
2. Moment cinétique : pour un point matériel, c'est le moment de la quantité de mouve

ment (appelée aussi résultante cinétique) : O  OM  mv . Pour un solide de masse volumique µ :




 
O   r  v .d 3 , d'où la forme scalaire :    O .u . Avec r  OG  GM , on obtient le premier





théorème de Koenig : O  G  OG  P , où P   v . d 3 . Alors on définit le torseur cinétique en
 
O par : P  P, O .





3. Torseur dynamique : il est défini de la façon suivante : D   .a.d 3   M .aG est la résul

tante dynamique, & O   OM  .a.d 3  est le moment dynamique au point O.



4. Vitesses : vitesse d'un point M du solide : VM  VO  MO   , en introduisant le vecteur rota
 

tion   .u . On définit alors le pseudo - torseur des vitesses par V   ,VO .


5. Moment d'inertie : pour des points matériels, il est défini par : J    mi ri2 , le moment cinéi
d
 mi ri2  . Pour un solide, on aura donc J    r 2dm & donc
dt i
i


  J   & vectoriellement    J   .
tique valant alors     mi ri2
II. LES THEOREMES GENERAUX :


 
1. Théorème du moment cinétique : on définit le torseur dynamique F   F , M comme étant la
d
dérivée du torseur cinétique  F    P  , ce qui fournit la relation fondamentale de la dynamique & le
dt

 d
théorème du moment cinétique M   traduisant la conservation du moment cinétique pour un sysdt

tème isolé (citer le patineur & le pulsar). Dans l'expression du moment résultant M , les couples moteurs seront comptés positivement ( croit) & les couples résistants ou de rappel négativement ( dimi

d
d
d 2
 M  J 
 J
nue). Pour un solide, on aura donc : M  J 
.
dt
dt
dt 2
2. Théorème d'Huyghens : J   J G  ma 2 , où J représente le moment d'inertie par rapport à un
axe passant par G parallèle à , distant de a.
3. Energie cinétique de rotation. Théorème de Koenig : l'énergie cinétique du solide est définie
par le demi-produit scalaire des torseurs des vitesses & cinétique, soit :
1
1
1
EC  P 
. V   mVG2  J G ² , le second terme correspondant à l'énergie cinétique de rotation.
2
2
2
4. Puissance : produit scalaire des torseurs dynamique & des vitesses :
 
 
dW
P 
 F 
. V   F .V  M  . Le second terme est la puissance associée à la rotation : dans le théodt
rème du moment cinétique, les termes sont homogènes à des moments, on obtiendra donc des puissances
en multipliant scalairement par le vecteur rotation.
III. APPLICATIONS :
1. Le pendule pesant : pour des petits mouvements (sin   ), sous l'action du poids, on a l'équation différentielle d'oscillateur harmonique
J
d 2
dt
2
 Mga.  0  T  2
J
d'où mesure de J à
Mga
partir de la période.
2. Le volant d'inertie : machine tournante de moment d'inertie J, soumise à un couple moteur o &

à un couple résistant - k.. En régime permanent, o  o . Si le couple moteur est modulé suivant :
k

donc réduite si  est grand,
  o (1  . cos t ) , le régime forcé conduit à une amplitude :
1  ()²
donc le moment d'inertie aussi. En d'autres termes, la machine est un filtre mécanique passe-bas, &
comme les perturbations sont essentiellement basse fréquence, on a intérêt à diminuer la fréquence de
k
coupure c  .
J