Chapitre 1 Résolution d’équations et d’inéquations puis étude de celles du deuxième degré I Résolution d’équations et d’inéquations A] Vocabulaire Définition : Une égalité est toujours vraie pour toutes les valeurs données aux lettres. Exemples : Les identités remarquables : ( a + b ) 2 = ……………. ( a – b ) 2 = ……………. ( a – b ) ( a + b ) = ……... Définition : Une équation est vérifiée pour certaines valeurs des lettres (les inconnues ). Exemples : 2x + 3 = 5 est une équation d’inconnue x qui est vérifiée pour x = 1. Définition : Une solution est une valeur telle que l’équation soit vérifiée. Exemple : Pour l’équation 2x + 7 = 1 ; –3 est la solution de cette équation. Définition : Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs qui la vérifient et donner l’ensemble des solutions. Exemple : Résoudre l’équation suivante 5x + 4 = 7. 5x + 4 = 7 D’où 5x = 7 – 4 = 3 Ainsi x = Error! Donc S = {Error!} Exercice 1. Faire de la factorisation. B] Résolution d’équations 1) Théorème Théorème : Un produit de facteurs est nul, si et seulement si (SSI) , l’un des facteurs est nul : (A) (B) = 0 SSI A = 0 ou B = 0 Un quotient est nul SSI le numérateur est nul et le dénominateur ne l’est pas : -1- Chapitre 1 : 1ère E.S. Error! = 0 SSI N = 0 et D 0 2) Méthode On cherche les valeurs interdites. On réduit au même dénominateur. On résout le numérateur égal à 0. On vérifie que les valeurs trouvées ne sont pas interdites. On donne l’ensemble des solutions. 3) Exemple Résoudre les équations suivantes : a) – 2x ( 2x + 3 ) = 0 b) Error! = 0 Exercice 2. S= S= C] Résolution d’inéquations Faire un exemple avec 2x +5 et -3x + 4. 1) signe de ax + b avec a 0 Propriété : x – Error! ax + b Signe de –a + Signe de a 2) Règle des signes Propriété : Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif. Le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif. Exemple : Etudier le signe de P(x) – x ( x + 1 ) ( 3 – x ) à l’aide d’un tableau de signes . 3) Méthodes Propriété : Pour résoudre une inéquation on peut toujours se ramener à une comparaison à zéro. A(x) B(x) SSI A(x) – B(x) 0 Méthode : On utilise la propriété. On factorise. On cherche les valeurs qui annulent. On fait un tableau de signes. Exemple : Résoudre – x2 ( 3 – x ) 3x – x2 Exercice 8 puis 3. II Equations et inéquations du 2ème degré A] Equation du 2ème degré -2- Chapitre 1 : 1ère E.S. 1) Définition Définition : Soient a, b et c trois réels tel que a 0. Une équation du 2ème degré, d’inconnue x, est une équation de la forme : ax2 + bx + c = 0. Exemples : x2 + x + 1 = 0 x2 – 4 = 0 2 2 x + 5x +2 =0 x + 4x + 4 = 0 2) La forme canonique de ax2 + bx + c = 0 (avec a 0) Définitions : * Le réel b2 – 4ac, noté , est le discriminant de ax2+ bx + c. * a[(x + Error!)2 + ( – Error! ) ] est la forme canonique de ax2+ bx + c. Exercice 4 et 5. 3) Théorème : Résolution de ax2+ bx + c = 0 (avec a 0) 0 Solution de ax2+ bx + c = 0 2 solutions distinctes x1 et x2 Factorisation de ax2+ bx + c a ( x – x1 ) ( x – x2 ) =0 0 Une solution unique Pas de solution réelle a ( x – x0 )2 Pas de factorisation possible Démonstration : ADMISE. Faire les exemples des élèves. Méthode : Si b ou c est nul, on factorise directement car cela va plus vite. Sinon on calcule , puis on cherche les solutions si elles existent à l’aide des formules du théorème. Exemples : Chercher les solutions des équations suivantes si elles existent : x2 + x +1 = 0 5x2 – 13x = 0 x2 + 4x + 4 = 0 x2 + 5x +2 = 0 Exercice : Résoudre les équations suivantes : 4x2 + 12x + 9 = 0 – 7x2 + 4x – 1 = 0 2 3x – x + 1 = 0 Exercices 6 et 7. B] Inéquation du 2ème degré 1) Définition Définition : Soient a, b et c trois réels tel que a 0. Une inéquation du 2ème degré ayant pour inconnue x est une inéquation qui peut s’écrire sous l’une des formes suivantes : ax2+ bx + c 0 ax2+ bx + c 0 -3- Chapitre 1 : 1ère E.S. ax2+ bx + c 0 Exemples : x2 + 8x +16 0 x2 + 5x +2 0 ax2+ bx + c 0 x² + x + 1 < 0 (x+4)²0 2) Signe de ax2+ bx + c avec a 0 Préambule : 1er cas : 0 ax2+ bx + c = a ( x – x1 ) ( x – x2) avec x1 = Error! et x2 = Error! On a alors : x x – x1 x – x2 a ( x – x1) ( x – x2 ) 2ème cas : = 0 La solution unique est alors x0 = – Error! et ax2+ bx + c = a (x – x0 )2 Donc ax2+ bx + c est du signe de a sauf en x0 ou c’est nul. 3ème cas : 0 ax2 + bx + c = a[(x + Error!)2 + ( – Error! ) ] Donc c’est du signe de a. Le faire avec beaucoup d’étapes. Théorème : Si 0, alors x1 et x2 sont les deux solution distinctes de ax2+ bx + c = 0 et on a aussi x ax2+ bx + c – Signe de a + Signe de – a Signe de a Si = 0, alors il y a une unique solution pour l’équation ax2+ bx + c = 0 qui est x0 = – Error!. Et on a aussi : x ax2+ bx + c Si 0, alors il n’y a pas de solutions et ax2+ bx + c est toujours du signe de a. Méthode : Si b ou c est nul, alors on factorise directement. Sinon on calcule et on en déduit suivant le signe de le nombre de solution(s) puis le signe de ax2+ bx + c en fonction des valeurs de x et de a. Exercice : Résoudre les inéquations suivantes : 5x2 + 14x – 3 0 – 3y2 + y – 2 0 -4- Chapitre 1 : 1ère E.S. t2 – 14t + 49 0 Exercice 9. Utiliser leurs exemples sur transparents. -5- Chapitre 1 : 1ère E.S.