Série d`exercices n° 5

Série d’exercices n° 5
4ème Sc
Proposée par :
Salim HASSINE
(2012-2013)
Exercice 1:
On pose U = 3cos  - 5 i sin 
1)
2)
3)
et V = 5cos  - 3 i sin 
où
  -  ,  
a- Ecrire U + V et U – V sous leurs formes exponentielles
b- Calculer alors U ² - V ² .
Soit l'équation ( E ) : 2 z² - Uz - 2 = 0
a- Sans calculer les solutions z' et z'' de ( E ), comparer leurs modules et leurs arguments .
b- Résoudre dans C l'équation ( E )
On considère dans le plan complexe les points M ' et M '' d'affixes respectives -Error!ei  et 2e-i  .
a-
Déterminer l'ensemble F des points M ' quand
b-
Déterminer

pour que le triangle OM ' M''

varie dans  - 
,  
soit rectangle en O .
Exercice 2:
Soit a un nombre complexe non nul et E l'équation z2-2z+1+a2=0.
1) Résoudre dans l'ensemble Ê des nombres complexes l'équation E.
2) Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé (O,Å;u,Å;v), on considère les points A et B d'affixes
respectives 1+ia et 1-ia. On pose a=a1+ia2 ; a1 et a2 réels.
a- Montrer que les points O, A et B sont alignés si et seulement si a1=0.
b- Montrer que les vecteurs Ä;OA et Ä;OB sont orthogonaux si et seulement si |a|=1.
3) On suppose que a=ei où   ]-Error!,Error![.
i
x
1+eix=2 cos(Error!) e 2
a- Vérifier que pour tout réel x, on a :
et
b- En déduire l'écriture sous forme exponentielle de chacun des nombres complexes 1+ia et 1-ia.
c- Déterminer a pour que les points O, A et B forment un triangle isocèle rectangle en O.
Exercice 3:
Justifier les égalités suivantes : 1+e2i = 2 cos ei
et e2i-1=2i sin ei.
2
i
2i
2) Soit l’équation E : z - 2cos e z +e =0.
a) Vérifier que =e2i est solution de E.
b) En déduire l’autre solution.
3) Soit l’équation E’ : z4 - 2cos ei z2 +e2i =0.
Résoudre E’ et montrer que les images des solutions forment un parallélogramme.
4) Soit A le point d’affixe , B d’affixe 1 et C d’affixe –1.
a) Prouver que Error!est imaginaire pur.
b) En déduire la nature du triangle ABC.
1)
Exercice 4:
1) On considère dans Ê , l'équation (E) : z² – 2z + Error! – iError! = 0
a) Vérifier que
i

(2e 3 )2 = – 2 + 2i 3 .
b) Résoudre dans Ê l'équation (E) .
2) Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (O,u,v) . On désigne par A , B et C les points
i

i

1  e 3 et zC = 1  e 3 .
 i
i
a) Montrer que pour tout réel  on a : 1  e  2 cos( )e 2
2
d'affixes respectives zA = 2 ; zB =
et
 i
1  ei  2i.sin( )e 2 .
2
b) Ecrire zB et zC sous forme exponentielle .
c) Calculer
zB
en déduire que le triangle OBC est rectangle en O .
zC
d) Montrer que OBAC est un rectangle .
Exercice 5:
i
x
1-eix=-2i sin(Error!) e 2 .
Exercice 6:
Exercice 7:
1) a) Calculer (1+i 3)2
b) Résoudre dans Ê, l'équation (E) : 2z²  4z + 3  i 3 = 0
c) Ecrire les solutions sous la forme exponentielle
2) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O,Å;u,Å;v), on considère les points A et
B du plan d’affixes respectives : a=Error! et b=Error!
a) Montrer que OAB est un triangle rectangle
b) Déterminer l’affixe du point C tel que OACB est un rectangle
3) Soit   ]0,[. On considère l’équation (E’): z²  2z  2isin ei = 0
a) Vérifier que z’=1 ei est solution de l’équation (E’)
b) Déterminer l’autre solution z’’ de (E’)
c) Déterminer  pour que l’on ait z’=a et z’’=b