IBN SINA

DEVOIR DE SYNTHESE DE
LYCEE SECONDAIRE
MATHEMATIQUES
IBN SINA
N° 2
MENZEL BOURGUIBA
4
Exercice 1 : (
Date :
5
Mars
2014
Proposé par : M.
Zemzemi
ème
Jamel Bettaher
Durée :
3 h
T2
4 points )
Pour chaque question une seule réponse est exacte.
Barème : Une réponse exacte avec justification rapporte 1 point, une réponse
exacte sans justification rapporte 0,5 point , une réponse inexacte enlève 0,5
point et l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif la
note est ramenée à 0.
1) L’ensemble de définition de la fonction : f(x) =
Error!
a)
est :
0 ,+ 
b)
 1 
ln 

 e
2) Le nombre réel
c)

 0 , e
c)
est égale à :
1 , e
a) 1
b)
1
2
1
2
3) A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que :
p(A) = 0,4 , p(B) = 0,5


et p A  B = 0,35 .
La valeur de p  A  B  est égale à :
c) Les données sont insuffisantes
a) 0,1
b)
0,25
pour répondre
4) A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que :
p  A B  =
1
6
1
et p  B / A  = .
4
La valeur de p  A  est égale à :
Exercice 2 : (
a)
2
3
b)
1
24
c)
1
12
5 points )
Un enfant joue avec 20 billes , 13 rouges et 7 vertes , il met
10 rouges
et 3 vertes dans une
boîte
cubique
et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique.
1) Dans un premier jeu , il choisit simultanément trois billes au
0,5
hasard dans la boîte cubique
0,5
et il regarde combien de billes rouges il a choisies .
Calculer la probabilité des événements :
A « L’enfant obtient une boule rouge 
B « L’enfant obtient deux boules rouge 
2) Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant
choisisse d'abord au hasard une des
1
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0,7
5
0,7
deux boîtes , puis qu'il prenne alors une bille, toujours au
hasard, dans la boîte choisie.
On considère les événements suivants :
C1 « L'enfant choisit la boîte cubique »
C2
« L'enfant choisit la boîte cylindrique »
R « L'enfant prend une bille rouge » ;
V
« L'enfant prend une bille verte ».
a- Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant
à ce deuxième jeu.
b- Calculer la probabilité de l'événement R.
c- Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la
probabilité qu'elle provienne
de la boîte cubique ?
3) L'enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu , en
remettant à chaque fois la bille
tirée à sa place.
a- Exprimer, en fonction de n , la probabilité p n que l'enfant
ait pris au moins une bille
rouge au cours de ses n choix.
b- Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle p n à 0,99
.
Exercice 3 : (
4 points )
On considère dans l’espace muni d’un repère orthonormé
O , i , j , k  ,
l’ensemble S des
1
points M  x , y , z tels que : x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4 y + 4z + 5= 0 .
1) Montrer que (S) est une sphère dont-on déterminera le centre I
0,5le rayon R .
et
1
2) Soit P le plan dont une équation cartésienne est :
x - 2 y + 2z + 2= 0 .
a- Montrer que l’intersection de la sphère S et du plan P est
un cercle (C) .
1
b- Déterminer les coordonnées du centre H
et du rayon r du
0,5
cercle
(C) .
3) Soient M a , b , - 1 , un point de la sphère S , où
deux réels
a et b sont
et le plan Q dont
une équation cartésienne est :
a - 1 x +  b + 2 y +
.
a- Montrer que M
appartient au plan Q .
b- Montrer que (S) et (Q) sont tangents en M .
Exercice 4 : (
7 points )
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z - a + 2b + 3= 0
Soit f la fonction définie sur Ë par :
désigne par (C f) sa courbe
f  x  =  2x + 3 e- x + x - 1 .
représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé
On
O,i , j  .
1) Soit g la fonction définie sur Ë par : g  x  = e x - 2x - 1 .
a- Dresser le tableau de variation de g.
b- Montrer que l’équation g(x)=0 admet dans Ë , deux
solutions 0 et  .
0,2
Vérifier que 1<<2 .
5
c- En déduire le signe de g(x).
0,2
2) a- Déterminer la limite de f quand x tend vers -õ .
5
b- En écrivant f  x  = 2x e- x + 3e- x + x - 1 , déterminer la limite de f
0,5
quand x tend vers +õ .
0,7
5
c- Montrer que pour tout réel x ; on a : f '  x  = e- x g  x  .
0,5
d- Dresser le tableau de variation de f.
0,5
3) a- Montrer que la droite (D) : y = x – 1 est une asymptote
oblique
à la courbe (C f) .
0,5
b- Etudier la position relative de la courbe (C f) par rapport
à la droite D .
1
On précisera les coordonnées du point A intersection de (C
)
et
(D).
f
4) Tracer (D) et (C f) .
0,5
5) Soit h la fonction définie sur Ë par :
0,5
1
h  x  = -  2 x + 5  e- x + x 2 - x .
2
a- Déterminer la fonction dérivée de h.
b- En déduire la primitive de f qui prend la valeur (-3 ) en 0.
1
0,7
5
BON TRAVAIL
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