LectureNotes2016 L’équation de Schrödinger Le Hamiltonien - Rappel: * L’opérateur pour la position: x̂ = x * L’opérateur pour la quant. de mouvement: p̂ = i~ d dx Est-ce qu’il y a un opérateur pour l’énergie? Dans la mécanique classique, l’énergie totale est appelé “le Hamiltonien classique”: p2 H(x, p) = + V (x) 2m Avec p = p̂, nous pouvons formuler “le Hamiltonien quantique”: ~2 d 2 Ĥ = + V (x) 2m dx2 l’opérateur pour l’énergie Il existe certains état, appelés “états stationnaires” ou “états propres du Hamiltonien”, pour lesquels l’action du Hamiltonien donne l’énergie du système: H (x) = E (x) operateur valeur Cette dernière éq. est en fait un variant de l’éq de Schrödinger 1 LectureNotes2016 Valeur moyenne Z du Hamiltonien: ⇤ hHi = H dx et si est un état stationnaire Z Z ⇤ ⇤ hHi = H dx = E dx Z = E | |2 dx = E (si est normalisée) 2 LectureNotes2016 L’équation de Schrödinger, indépendant du temps Comment peut on trouver la fonction d’onde d’un système? - En résolvant l’equation de Schrödinger @ (x, t) i~ = @t ~2 @ 2 (x, t) + V (x) (x, t) 2m @x2 Note: ce sont des dérivés partielles, car (x, t) est une fonction, à la fois du temps et de la position Supposons que le potentiel est indépendant du temps: V = V (x) -> possibilité de séparer les variables x et t: (x, t) = (x) '(t) “une solution séparable” C’est une restriction forte, mais avec cela, les solutions générales peuvent être trouvées @ Alors: ) = @t d' i~ = dt 1 d' i~ = ' dt fonc. de t d' dt ; @2 d2 = ' @x2 dx2 ~2 d 2 ' + V (x) ' 2m dx2 ~2 1 d 2 + V (x) 2m dx2 fonc. de x 3 LectureNotes2016 Deux fonctions différentes, qui sont égales. -> il faut que les 2 soient constantes! La partie spatiale: ~2 1 d2 (x) + V (x) (x) = cst. (x) 2m dx2 ici, nous pouvons identifier le Hamiltonien, et alors la constante doit être ✓ ◆ égale à l’énergie ( H = E ) 2 2 ~ d + V (x) (x) = H (x) = E (x) 2m dx2 Voilà “l’équation de Schrödinger indépendant du temps” La partie temporelle: 1 d' i~ =E ' dt d' = dt iE ' ~ '(t) = e iE ~ t Note: cette simple évolution de temps est valide seulement si la fonction d’onde peut être séparée en parties temporelles et spatiales indépendantes 4 LectureNotes2016 Etats stationnaires La fonction d’onde total dépend du temps: iE (x, t) = (x) e ~ t (x, t) est une fonction séparable) (ici Considérons la probabilité de présence, ou la “densité de probabilité” pour une solution séparable: | (x, t)|2 = ⇤ = ⇤ iE e~t e iE ~ t = ⇤ = | (x)|2 Cela ne dépend pas du temps! -> Toujours la même probabilité de trouver le système dans une position particulière La valeur moyenne de la position: Z Z iE iE ⇤ ~ t ⇤ hxi = e x e ~ t dx = x dx ne dépend pas du temps alors: dhxi =0 dt ) hpi = 0 -> Un état qui correspond à une solution séparable ne bouge pas! On appelle un tel état: un “état stationnaire” 5 LectureNotes2016 Dispersion Imaginer un grand nombre de mesures de la position, x - valeur moyenne: hxi - résultat d’une mesure individuelle: probabiliste - -> dispersion des résultats autour hxi Cette dispersion n’apparaît pas à cause de limitation techniques, mais parce que la MQ est intrinsèquement probabiliste Définition de la dispersion (de la position): rD E p 2 x= (x hxi) = hx2 i hxi2 Pareil pour la quantité de mouvement: rD E p 2 p= (p hpi) = hp2 i hpi2 Quelle est la dispersion de l’énergie, si un système se trouve dans un état stationnaire? H2 = H (H ) = H (E ) = E 2 Z Z ⇤ 2 ) hH 2 i = H dx = E 2 | |2 dx = E 2 ( E)2 = hH 2 i hHi2 = E 2 E2 = 0 -> Pour un état stationnaire, le résultat d’une mesure de l’énergie est certain 6 LectureNotes2016 Principe d’incertitude Inégalité de Heisenberg Dans la MQ, les dispersions de certaines quantités sont fortement liées Un tel exemple est x et p Meilleure connaissance de x ( x petit) -> mauvais connaissance de p ( p grand) (et vice versa) x p ~ 2 L’inégalité de Heisenberg L’impossibilité de connaître x et p simultanément x et p sont des “quantités conjuguées” Un autre paire de quantités conjuguées sont le temps et l’énergie: E t 7 ~ 2 LectureNotes2016 Commutation: Considérons deux opérateurs: A et B AB (l’action de B suivie par l’action de A), n’est pas nécessairement la même chose que BA (l’action de A suivi par l’action de B) Définition: [A, B] ⌘ AB BA est “le commutateur” de A et B - si [A, B] = 0 , A et B commutent si [A, B] 6= 0 , A et B ne commutent pas Deux opérateurs qui ne commutent pas sont conjugués -> ils obéissent à une inégalité de Heisenberg Si [A, B] 6= 0 ) 8 A B>0 LectureNotes2016 Exemple ; incertitude position - quantité de mouvement: Les vitesses d’une balle (m = 0.050 g) et d’un électron (m = 9.1 × 10-31 kg) sont les mêmes; v = 300 m/s, avec une incertitude de 0.01%. Avec quelle précision peut-on mesurer la position des deux, si les positions sont mesurés en même temps que les vitesses? - l’électron: p = mv = 2.7 × 10-28 kg m/s Δp = mΔv = 2.7 × 10-32 kg m/s ~ = 0.2 cm ) x 2 p - la balle: p = mv = 15 kg m/s Δp = mΔv = 1.5 × 10-3 kg m/s ~ = 3 × 10-32 m ) x 2 p 9 LectureNotes2016 Exemple ; incertitude temps - énergie: Un atome peut rayonner à un instant quelconque après avoir été excité. Dans un cas typique, on trouve qu’un atome excité a en moyenne un temps de vie d’environ 10-8 s. C’est à dire, pendant cette période, l’atome émet un photon et sera désexcité. Quel est le minimum d’incertitude Δν pour la fréquence du photon? Δt ≈ 10-8 s ⌫= ⌫ E h ) ⌫= E h ~ 1 = = 8 ⇥ 106 s 2 th 4⇡ t -> largeur spectrale! 10 1