Weitere Files findest du auf www.semestra.ch/files DIE FILES DÜRFEN NUR FÜR DEN EIGENEN GEBRAUCH BENUTZT WERDEN. DAS COPYRIGHT LIEGT BEIM JEWEILIGEN AUTOR. Introduction à la théorie des nombres 1 Définition : Notion de base On étudie les propriétés des nombres entiers : −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 nombres naturels nombres entires Division : d ∈ est un diviseur de n ∈ s’il existe un k ∈ tel que : n = k ⋅d Notation : d |n Exemple : 2|6 −3 | 6 ou « | » veut dire « divise » (d divise n). parce que 6 = (−2 )⋅ (−3) 5| 6 Nombres premiers : Un nombre p > 1 est un nombre premier si seulement ±1 et ± p sont des diviseurs. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Y a-t-il une infinité de nombres premiers ? Euclide dit : OUI ! Raison : Supposons qu’il y ait seulement un nombre fini de nombre premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …, P (P plus grand nombre premier) On forme un nombre : N = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅11⋅13 ⋅ ... ⋅ P + 1 Fait : Exemple : Chaque nombre possède au moins un diviseur premier. 36 = 6 ⋅ 6 = 6 ⋅ 2 ⋅ 3 3|36 et 3 premier Soit Q un diviseur premier de N : : Q≠3 : Q≠5 : Q≠P : Q≠2 N impair 3 | N − 1 alors 3| N 4 | N − 1 alors 5 | N P | N − 1 alors P | N -1- Q | N = (2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ P ) + 1 Q premier contradiction !! Définition : Soit = nombre de nombres premiers Exemple : . Devoir : Programmer en MATLAB la fonction 2 en utilisant « isPrime() ». Théorème des nombres premiers (1896 par Hadamard et De la Vallée-Poussin) Définition : au sens Devoir : « Vérifier » à l’aide de MATLAB. Question : Combien de nombre premiers avec 100 décimales y a-t-il environ ? (chaque 200ème est un nombre premier) Densité : Donc la probabilité qu’un nombre avec 100 décimales est premier est de : Devoir : 1) Estimer la densité des nombres premiers avec 200 décimales : (chaque 460ème est un nombre premier) Densité : 2) Soit m un nombre naturel. Montrer : Il existe une suite de m nombres naturels consécutives n, n+1, n+2, … …, n+(m-1) qui ne contient aucun nombre premiers. p.ex. : distance entre 2 nombres premiers -2- 3 Problèmes ouverts 1) Conjecture de Goldbach a écrit dans une lettre à Gauss : « Tout nombre pair (>2) est la somme Goldbach de deux nombres premiers. » (pas unique) 2) Jumeaux premiers On dit que deux nombres premiers sont des jumeaux si leur différence est 2. Question ouverte : Y a-t-il une infinité ? On sait : (Leibniz) (Euler) « Le dernier Un problème enfin résolu : théorème de Fermat » polynôme : solutions entières : « triples de Pythagore » polynôme : Euler a montré que ce polynôme n’admet pas de solution entières positives. Conjecture de Fermat : Soit . Alors le polynôme solutions x,y,z entières positions. 1997 démonstration par A. Wiles -3- n’a pas de Euler a observé : La formule suivante retourne un nombre premier : Lucky number Soit de Euler : Quel est le m, tel que m = 79 est premier pour tout ? p est un « lucky number de Euler » si : est premier pour tout Remarque : Un exemple : Devoir : Trouver tous les « lucky numbers » Réponse : Nombre Mersenne : 1000. 3, 5, 11, 17, 41 de Un nombre premier de Mersenne est un nombre de la forme Le plus grand nombre connu aujourd’hui est : (nombre à 6'320'429 chiffres) Théorème : Si un nombre est premier. de la forme Exemple : donc pas premier p. q. pas premier p. q. est premier, alors pas premier Démonstration : | | soustraction des deux lignes -4- et Supposons que Si , N n’est pas premier Si N est premier, alors Supposons que . (p.ex. est divisible par ) n’est pas premier : Soit Si N est premier 3.1 Définition : premier Nombre parfait Un nombre n est parfait, si la somme de tous ses diviseurs est égale à 2n. 8 pas parfait Théorème : N n’est pas premier (Euler) a) Soit un nombre premier (Mersenne), alors est parfait. b) Si N est parfait et paire, alors N est de la forme où P est un nombre de Mersenne -5- 4 Théorème fondamental de l’arithmétique Introduction : Tout nombre naturel peut uniquement être factorisé comme produit de nombres premiers. Exemples : Application : est irrationnelle Supposons le contraire : On peut supposer que paires. est réduit, en particulier m et n ne sont pas tous les deux pair 2 divise pair pair Devoir : Montrer que n’est pas rationnel. -6- pair 5 Algorithme d’Euclide Définition : Soit a et b deux nombres naturels. Le plus grand nombre d qui divise a et b est appelé le plus grand diviseur commun : GGT(…) Exemple : factoriser : Algorithme : Pour calculer (a, b) on utilise l’algorithme d’Euclide qui évite la factorisation : Si a & b sont des nombres avec 100 décimales, quelle est le nombre maximale de récursions de cet algorithme : , Les nombres sen rouge représentent les nombres Fibonacci. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … on reconnaît la suite de Fibonacci. Théorème de Lamé : Soient et . Alors le nombre de récursions de l’algorithme d’Euclide pour calculer (a, b) est plus petit que . Formule de Binet : donc où (nombre d’or) -7- est le nombre d’or Supposons que Le nombre de récursion est plus petit où égale à Supposons que b est un nombre de 100 décimales. -8- . (101 décimales) 6 Congruence Définition : On dit que deux nombres a & b sont congruent modulo n si On écrit : Exemple : Si on a un nombre a, on trouve toujours un nombre Exemple : Propriétés : tel que : , 1. 2. Si Si et et , alors , alors Exemple : Anneau de contient : (Restklassenring) avec addition et multiplication mod n. -9- et Exemple : table d’addition de table de multiplication de table de multiplication de On constate les propriétés suivantes : Propriétés : (addition) 3. 4. 5. 6. (associativité) (commutativité) il existe un « élément neutre » 0 tel que Pour tout élément il existe (élément réciproque) tel que Un groupe qui suit ces 4 propriétés, on dit que ( abélien. Propriétés : (multiplication) , pour l’addition) est un groupe Considérons ( , pour la multiplication) 7. (associativité) 8. (commutativité) 9. il existe un « élément neutre » 1 tel que 10. Pour tout élément il existe (élément réciproque) tel que on écrit Un groupe qui suit ces 4 propriétés, on dit que ( , pour la multiplication) est un groupe abélien. Ceci est seulement vrai, si est un nombre premier. - 10 - Démonstration : ( , pour la multiplication) est un groupe abélien is et seulement si p est premier. Supposons que p n’est pas premier, alors Mais Application : (Neunerprobe) Devoir : . Considérons Quersumme der (Quersumme a mal Quersumme b) = Quersumme c !! Trouver un test similaire pour Un nombre est congruent mod 9 à sa « Quersumme ». Donc un nombre est divisible par 9 si et seulement si sa « Quersumme » est égale à 9. Décider sans calculatrice si : a) 11 | 49'016'437'701'679'311’612 b) 7 | 37'196’301 - 11 - 7 Résolution des équations Théorème : (Bézout) Exemple : Si Soient Soient , alors il existe , , tel que . , , pas de solution On aimerait résoudre l’équation . En général : ….. Question : Comment résoudre l’équation de Bézout Algorithme d’Euclide : , - 12 - ? 8 Algorithme de Euclide augmenté On veut résoudre l’équation de Bézout où 1) Algorithme d’Euclide : 2) autre variante : Exemple : Résoudre : Application : , Devoir : - 13 - (mettre la plus grande variable en 1ère posotion) Exemple : Résoudre L’inverse : est le nombre tel que Définition : L’inverse de a mod n est le nombre tel que Comment résoudre o Trouver o Ex. : Comment trouver combien vaux ? A l’aide de l’algo d’Euclide augmenté trouver x, y tel que : Reprenons . A l’aide d’Euclide on trouve (devoir) : - 14 - Comment calculer quand b est grand ? Calculer : Complexité : de cette algorithme : - nombre de multiplications : - 15 - 8.1 Théorème (petit) de Fermat Pierre Fermat (1601 - 1665) Soit a un nombre premier et alors : Exemple : , Si n’est pas premier, p. ex. Que faire si 8.2 un nombre qui n’est pas un multiple de , n’est pas premier ? Fonction d’Euler = nombre de nombres < n qui n’ont pas de diviseur commun avec Exemple : Si est premier Euler a trouvé la formule : Théorème : Exemple : Soit a et n deux nombres tel que , , , , alors : - 16 - ,