EM5.1. Action d`un champ électrique. Optique électronique.

¤ PCSI ¤
EM5. Exercices.
Mouvement d’une particule chargée
dans un champ électromagnétique.
Milieux conducteurs.
EM5.1. Action d'un champ électrique. Optique électronique.
Les électrons seront considérés comme des particules non relativistes de masse m se déplaçant dans le
vide.
Deux surfaces équipotentielles L1 et L2, représentées par deux électrodes planes et parallèles transparentes
aux électrons, portées respectivement aux potentiels V1 et V2, délimitent trois régions dans un espace
traversé par un fin pinceau d'électrons. Les surfaces équipotentielles ont des dimensions suffisamment
grandes pour que l'on puisse les considérer comme des plans infinis.
On désigne par Oz un axe perpendiculaire aux surfaces L1 et L2 situées respectivement en z = 0 et z = a.
On suppose que la région (1) (z  0) et la région (3) (z  a) forment respectivement deux domaines
équipotentiels respectifs V1 et V2. Le potentiel dans la région (2) (0  z  a) est variable entre V1 et V2.
1) Un électron émis sans vitesse initiale par une source éloignée maintenue au potentiel zéro
pénètre dans le domaine équipotentiel V1 . Quelle est sa vitesse v1 à l'intérieur de ce domaine?
2) Cet électron atteint la surface L 1 sous l'incidence i 1 et émerge de la surface L 2 sous l'incidence
i 2 avec une vitesse v2 . Exprimer le théorème de l'énergie cinétique entre L 1 et L2 .
3) On suppose V1 > V2 . Quelle est la direction du champ électrique E dans la région (2)? En
déduire une relation entre i 1 , i 2 , v1 et v2 .
4) A l'aide de la relation précédente et du théorème de l'énergie cinétique, établir une relation
entre V1 , sin i 1 , V2 et sin i 2 .
Dépend-elle de a? En supposant a > 0, le système et la relation précédente vous rappellent -ils
un système optique? Préciser les analogies.
Les surfaces équipotentielles L1 et L2 sont maintenant constituées de deux calottes sphériques
concentriques d'axe D, de rayons respectifs R1 et R2. Elles délimitent comme précédemment trois régions
dont deux domaines équipotentiels respectivement notés (1) et (3) et de potentiels V1 et V2. Le système est
étudié dans les mêmes conditions que précédemment.
5) Ecrire le théorème de l'énergie cinétique pour l'électron entre I et J.
6) Compte tenu de la symétrie du dispositif quelle est la direction du champ électrique?
7) On considère le vecteur moment cinétique L  OM  v , OM est le vecteur position de
l'électron et v son vecteur vitesse. Déterminer la relation liant la dérivée temporelle du
moment cinétique et le moment de la force électrique.
8) Compte tenu des questions 6 et 7, que peut-on dire du moment cinétique de l'électron sur la
trajectoire IJ ?
En déduire une relation entre V1 , R1 , sin i 1 d'une part, et V2 , R2 , sin i 2 d'autre part.
EM5.2. Action d'un champ magnétique. Déflexion magnétique. Mouvement hélicoïdal.
Des électrons non relativistes pénètrent dans une région W d'épaisseur Lo où règne un champ magnétique
uniforme Bo perpendiculaire à la vitesse incidente vo des électrons.
1) Donner l'expression de la force qui s'exerce sur un électron. Montrer que la trajectoire décrite
par un électron dans la région W est circulaire. Préciser en particulier le rayon de cette
trajectoire r o et la pulsation o du mouvement en fonction de m, e, v o et Bo .
Pour résoudre cette question, on considérera un repère orthonormal O, x, y, z. Les électrons
arrivent à t = 0 au point O avec une vitesse initiale vo colinéaire à l'axe Oz. Le champ Bo sera
dirigé selon Oy. La région W est comprise entre les plans z = 0 et z = L.
2) Quelle déviation  = (L) -  (0) a subi la trajectoire d'un électron à la sortie de la région W,
(z) étant l'angle que fait la vitesse de l'électron à l'abscisse z avec l'axe Oz.
3) La vitesse incidente des électrons à l'entrée de la région W fait maintenant un angle  avec la
direction du champ Bo (tout en étant perpendiculaire à Ox). Montrer que le mouvement de
l'électron est alors hélicoïdal, c'est-à-dire qu'il résulte de la composition d'un mouvement
circulaire uniforme (dont on précisera la pulsation  et le rayon r  en fonction de o et r o et
de l'angle ), et d'un mouvement rectiligne uniforme dont on précisera la vitesse v .
4) Déterminer le pas de l'hélice, c'est-à-dire la distance parcourue selon l'axe pendant une
période de rotation.
EM5.3. E et B orthogonaux. Cycloïde.
A l'instant pris pour origine des dates une particule de masse m et de charge q est immobile dans le vide
en un point représentant l'origine des espaces. On établit à cet instant un champ magnétique constant B et
un champ électrique E .
1) Ecrire les équations différentielles régissant le mouvement de la particul e. On posera
qB
.

m
E
2) Trouver les équations paramétriques de la trajectoire. On posera R 
.
B
3) Donner l'allure de la trajectoire.
4) Exprimer la valeur de la vitesse à l'instant t en fonction de E, B, t et . Calculer la valeur de

celle-ci pour t 

5) Retrouver le résultat précédent en utilisant le théorème de l'énergie cinétique.
EM5.4. Actions d'un champ magnétique et d'une force de frottement.
Une particule de masse m et de charge q > 0 est soumise à l'action d'un champ magnétique B  Be z
uniforme et constant. Elle se déplace dans un liquide et du fait des interactions avec ce liquide subit une
force de frottement F   v , où v est la vitesse de la particule par rapport au référentiel du laboratoire.
A l'instant t = 0, elle se trouve à l'origine du repère Oxyz avec une vitesse vo  vo e x .
1) Déterminer la position M de la particule lorsque t . On pose =m/ et c=qB/m.
2) On repère la particule dans le plan xOy grâce à des coordonnées polaires : la distance r = MM et


l'angle   M O,M  M . Déterminer l'équation polaire r() de la trajectoire de la particule.
Représenter cette trajectoire.
EM5.5. Focalisation électrique dans un condensateur cylindrique
Une source ponctuelle émet des électrons à l’intérieur d’un condensateur cylindrique. Pour une vitesse
d’émission vo appropriée, un électron décrit une trajectoire circulaire, de rayon ro, concentrique avec les
armatures et située à mi-distance entre elles. On se propose d’étudier le mouvement d’un électron émis
avec une vitesse voisine de vo et faisant un angle  petit avec vo.
1) Ecrire en coordonnées polaires (r,  ) les équations différentielles du mouvement dans un plan
de section du condensateur.
A quelle condition sur r o,  o et Eo, valeur du champ correspondant, la trajectoire est-elle
circulaire?
r
) ,  O étant la valeur de  , lorsque la
2) On pose r = r - r o. Etablir, à l’ordre un, que    o ( 1 
rO
trajectoire est circulaire,
3) Quelle est l’équation différentielle à laquelle satisfait r? Montrer que les trajectoires se
recoupent après avoir décrit un angle que l’on déterminera.