Leçon

Ch1 : PGCD
I.
Les différents types de nombres
Les nombres décimaux ont une écriture décimale qui s’arrête.
a
Les nombres rationnels peuvent s’écrire sous la forme b où a et b
sont des nombres entiers et b ≠ 0.
Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne sont pas rationnels.
Exemple 1 :
7
7=7,0= 1
63
6,3= 10
5,9 = 5,9 × 100
1,34
1,34 × 100
= 590
134
Exemple 2 :
2
3
16
9
0,0004
2
2,7
0
200
14
2
π
105
ENTIERS
6
5
10-3
DECIMAUX
19
12
4
2+ 7
RATIONNELS
IRRATIONNELS
II.
PGCD
reste
91
21
0
7
13
91
0
13
7
Le reste étant égal à zéro,
13 est un diviseur de 91.
on dit aussi que :
91 est un multiple de 13
ou que 91 est divisible par 13
ou que 13 divise 91.
97
9
11
8
Le reste n’étant pas égal à zéro,
11 n’est pas un diviseur de 97.
quotient
Le reste de la division euclidienne
de 91 par 7 étant égal à zéro,
7 est un diviseur de 91.
a et b sont deux nombres entiers strictement positifs.
Parmi les diviseurs communs à a et b ; l’un d’eux est plus grand que les
autres.
On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur de a et b.
On le note PGCD (a ; b).
Exemple :
Calculer le PGCD de 18 et 12.
18 : 1 =
18 : 2 =
18 : 3 =
18 : 4 =
18 : 5 =
18 : 6 =
Les diviseurs de 18 sont : 1; 2; 3; 6; 9; 18
Les diviseurs de 12 sont : 1; 2; 3; 4; 6; 12
Les diviseurs communs de 18 et 12 sont : 1; 2; 3; 6
On a donc PGCD (18 ; 12) = 6
18
9
6
X
X
3
12 : 1 =
12 : 2 =
12 : 3 =
12 : 4 =
12
6
4
3
2 nombres sont premiers entre eux si 1 est leur seul diviseur commun,
ce qui revient à dire que leur PGCD est égal à 1.
Il y a plusieurs méthodes pour calculer le PGCD de 2 nombres :
Faire la liste des diviseurs des 2 nombres
Utiliser l’algorithme des soustractions
Utiliser l’algorithme d’Euclide.
Exemple 2 :
Calculer le PGCD de 915 et 3172.
Avec l’algorithme d’Euclide on obtient :
Dividende
Diviseur
Reste
3172
915
427
915
427
61
427
61
0
Le dernier reste non nul est 61 donc PGCD (915 ; 3172) = 61.
III.
Fractions irréductibles
a
Une fraction b (avec b 0) est dite irréductible lorsque a et b sont des
nombres premiers entre eux.
Exemple :
120
3172
On donne A= 100 et B= 915 .
Ecrire A et B sous forme de fraction irréductible.
A= 120
100
= 120 : 10
100 : 10
= 12
10
= 12 : 2
10 : 2
6
=
5
Dans l’exemple précédent,
on a montré que PGCD (915 ; 3172) = 61
On a donc :
B= 3172
915
= 3172 : 61
915 : 61
=
52
15