∑ ∑ - MP Camille Vernet

XMP 2015-2016
DM N°2
On désigne par E l'espace vectoriel des suites réelles.
Si une suite u = (un ) est un élément de E, on dit que u est positive (et on note u ≥ 0 ) si ∀n ∈ N, un ≥ 0 .
Pour toute suite u = (un ) élément de E, on définit sa suite dérivée u′ par :
u ′ = (un +1 − un ) .
′′
On définit de même la suite dérivée seconde u par :
u ′′ = (u ′)′ = (un′ +1 − un′ ) = (un + 2 − un +1 − un +1 + un ) = (un + 2 − 2un +1 + un ) ,
et plus généralement par récurrence, pour tout entier k ≥ 2 , la suite dérivée d'ordre k, u (k) , par :
u ( k ) = (u ( k −1) )′ .
1. Généralités
a. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur sa suite dérivée pour qu'une suite u ∈ E soit croissante.
b. Quelles sont les suites de dérivée nulle ?
c. Quelles sont les suites dont la dérivée seconde est nulle ?
d. Étant donnée une suite v de E, existe-t-il une suite u de E vérifiant u′ = v ?
e. Étant donnée une suite u de E, calculer le terme d'ordre n de sa suite dérivée troisième u ′′′ .
Postuler, puis démontrer, l'expression du terme d'ordre n de sa suite dérivée d'ordre k .
2. Suites convexes
On dit d'une suite u = (un) élément de E qu'elle est convexe si sa suite dérivée seconde u ′′ est positive.
a. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur sa suite dérivée pour qu'une suite u ∈ E soit convexe.
b. En déduire qu'une suite convexe est soit monotone, soit décroissante puis croissante. Qu'en conclure quant au
comportement à l'infini d'une suite convexe ?
c. Soit u = (un) une suite convexe ayant une limite finie. Prouver que u est décroissante.
3. Liens entre le comportement d'une suite et celui de l'une de ses dérivées
a. Soit u = (un) une suite de E dont la suite dérivée u′ possède une limite finie l.
u 
Prouver que la suite  n  converge vers l. Que peut-on en déduire dans le cas particulier où l ≠ 0 ?
 n
b. Soit (xn) une suite de réels possédant une limite finie a. Prouver, en adaptant la preuve de Cesàro, que l'on a :
x1 + 2 x2 + … + nxn
=a.
1+ 2 +… + n
x + 2 x2 + … + nxn
Déterminer alors la valeur de lim 1
.
n
n2
c. On se donne maintenant une suite u = (un) de E dont la suite dérivée seconde u′′ possède une limite finie l.
lim
n
u 
Prouver grâce à la question précédente que la suite  n2  converge vers l .
2
n 
4. "Inégalité des accroissements finis"
Soient deux suites u et v de E telles que u′ ≤ v′ , c'est à dire que : ∀n ∈ N, un +1 − un ≤ vn +1 − vn .
Prouver que : ∀p, q ∈ N, p ≥ q ⇒ u p − uq ≤ v p − vq .
5. Transformation d'Abel
Soient (un) et (ε n) deux suites réelles. On pose ∀n ∈ N, S n =
n
∑ uk .
k =0
a. En écrivant, uk = S k − S k −1 pour k ≥ 1 , prouver que
n
n −1
k =1
k =1
∑ εk uk = εn Sn − ε1S0 + ∑ (εk − εk +1 )Sk .
b. À quel résultat très classique cette identité vous fait-elle penser ?
1
Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Vernet, Valence
6. Suites fortement croissantes
Une suite u de E est dite "fortement croissante" si u ainsi que toutes ses suites dérivées sont des suites positives.
a. Prouver que la suite (n2) est fortement croissante.
b. Soit ρ un réel strictement plus grand que 1. Prouver que la suite géométrique (ρn) est fortement croissante.
c. La suite (un) = (n3 / 2) est-elle fortement croissante ?
d. Soit P un polynôme à coefficients réels positifs. On envisage la suite u = ( P( n)n !) . Prouver que sa suite dérivée
est de la forme u ′ = (Q(n)n !) où Q un polynôme à coefficients réels positifs.
En déduire que la suite (n!) est fortement croissante.
e. On fixe dans cette question une fonction f de classe C ∞ de R + dans R supposée absolument monotone, c'est à
dire que f ainsi que toutes ses dérivées sont des fonctions positives sur R + . On considère alors la suite u = ( f (n)) . Prouver
que u est fortement croissante.
7. Suites dont une dérivée est nulle
a. Soit Q un polynôme à coefficients réels, de degré p, et u la suite définie par u = (Q(n)) .
Prouver que la suite u′ est de la forme u′ = (R(n) ) où R est un polynôme de degré inférieur ou égal à p − 1 .
b. Prouver alors par récurrence sur k la propriété H(k) suivante :
H(k) : pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à k, la suite u = ( P ( n)) vérifie u(k +1) = 0 .
c. Soit réciproquement une suite u = (un) de E telle qu'il existe un entier α telle que u(α +1) = 0 .
Prouver, par récurrence sur α, l'existence d'un polynôme P, de degré inférieur ou égal à α, tel que u = ( P ( n)) .
8. Discrétisation d'une équation différentielle
On se donne une fonction f0 , de classe C 2 de [0,1] dans R , et on envisage l'équation différentielle y′′ = −f0 , avec les
conditions aux limites y(0) = y(1) = 0 .
n
On fixe un entier N et on pose h = 1 et pour 0 ≤ n ≤ N , α n = f 0 ( ) .
N
N
a. Prouver l'existence d'une fonction f, unique, de classe C 2 sur [0,1], et vérifiant :
f ′′ = −f0 et f(0) = f(1) = 0 .
On pose désormais, pour 0 ≤ n ≤ N , un = f (
n
) , et on cherche une valeur approchée des un .
N
b. Justifier que f possède en tout point x0 de [0,1] un développement limité à l'ordre 4 que l'on écrira.
En déduire, pour 1 ≤ n ≤ N − 1 , que
un +1 − 2un + un −1
2
= f ′′(
n
) + O( h2 ) (un O (h 2 ) est une quantité en h2 ou
N
1/ N
négligeable devant h2 ).
c. Soit p un entier supérieur ou égal à 1. On considère la matrice carrée symétrique suivante, de taille p-p, dont les
éléments de la diagonale sont tous égaux à 2, et ceux des sur et sous-diagonales tous égaux à –1 :
. 0
 2 −1 0
− 1 2 − 1
.
.
Ap =  0 − 1
.
. 0 .
 .
.
.
. − 1
 0
. 0 − 1 2 
On note Dp le déterminant de Ap . Déterminer une relation de récurrence liant Dp , Dp +1 et Dp + 2 .
En déduire la valeur de Dp pour tout p. Que peut-on en conclure à propos de la matrice Ap ?
d. On envisage le système linéaire suivant, aux inconnues v1, … , vN −1 :
v0 = 0 , vN = 0 et pour n = 1, … , N − 1 : − vn −1 + 2vn − vn +1 = 12 αn .
N
Prouver que ce système possède une unique solution, et conclure.
2
Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Vernet, Valence