Petits problèmes au quotidien

Petits problèmes au quotidien
Jean-Pierre Marcoux, C.S. des Découvreurs
[email protected]
Traduction et adaptation de problèmes tirés des revues
provenant du NCTM (mai 2005 et janvier 2006)
1. Le carré d’un nombre est 8 de moins que la somme des 10 premiers nombres premiers. Quel est ce nombre?
2. Remplace chacun des * avec un chiffre pour rendre l’égalité vraie.
*** 4** • 7 = 6 743 *56
3. Sachant que k2 – 3k + 5 = 0, détermine la valeur de k4 – 6k3 + 9k2 –7.
4. Quelle est la valeur de x dans l’équation : 420 + 420 = 2x?
13
15
14
figure 6
5. La moyenne d’un ensemble de nombres est 20. Si un nombre est augmenté de 300
alors la moyenne augmente à 35. Combien y a-t-il de nombres dans l’ensemble?
6. Sans utiliser la formule de Héron, quelle est la mesure de la surface du triangle de
la figure no 6?
7. Une pyramide de 4 étages construite avec des allumettes, telle qu’à la figure no7,
requiert 24 allumettes. Combien d’allumettes sont nécessaires pour construire une
pyramide de 98 étages?
figure 7
Solutions à la page : 42
GRMS
ENVOL no 136 — juillet-août-septembre 2006
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Solutions des petits problèmes
Problèmes à la page 7
Jean-Pierre Marcoux, C.S. des Découvreurs
1. 11.
La somme des 10 premiers nombres premiers est : 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129.
Donc, x2 + 8 = 129, alors x2 = 121. Finalement, x = 121 = 11.
2. 963 408 * 7 = 6 743 856.
Pour démarrer le problème, il est plus simple d’écrire tous les multiples de 7. En observant la réponse qui se termine
par 6, il ne peut y avoir que 8 multiplié par 7 pour obtenir 56. Toutefois, il ne faut pas oublier l’ajout des dizaines.
Dans ce cas-ci c’est simple, car le 56 termine le produit, donc 0 est l’autre nombre manquant. Les 8 centaines du
produit sont évidentes par le 7*4 et parce qu’il n’y a pas de retenue à la suite de la multiplication précédente, mais
nous donnent 2 dizaines à ajouter à la prochaine multiplication. 3 * 7 = 21 et les 2 dizaines s’ajoutent aux unités. Les
dizaines provenant du 21 s’ajouteront au 7 * 6 = 42 pour obtenir les 4 dizaines de milliers. Finalement, 7 * 9 = 63 pour
obtenir l’unité de million en plus des 4 dizaines du 42 précédent pour avoir 67.
3. 32.
k2 – 3k = -5. (k2 – 3k) 2 = 52 nous mène à k4 – 6k2 + 9k2 = 25. En comparant avec l’équation k4 – 6k2 + 9k2 – 7, on remarque qu’il y a le terme – 7 qui diffère. Ainsi, k4 – 6k2 + 9k2 – 7 + 7 = 25 + 7, la valeur de l’équation est 32.
4. 41.
Nous avons 2 fois 420, qui s’écrit de la façon suivante : 2*420. 4 étant le carré de 2, nous avons l’égalité 2*(22)20 = 2x.
Selon les règles des exposants, nous avons 241 = 2x.
5. 20.
Le total des données y divisé par le nombre de données x est égal à 20. Ainsi,
d’une donnée, nous avons maintenant l’équation
y + 300
x
y
x
= 20. En ajoutant 300 à la valeur
= 35. Par substitution, nous avons
300
6. 84.
En construisant la hauteur perpendiculaire à la base mesurant 14, cette dernière est partagée
en deux segments, l’un mesurant x et l’autre 14-x. Nous avons donc les équations suivantes :
(1) (14-x)2 + h2 = 152 et (2) x2 + h2 = 132. En isolant h2 dans chaque équation et en comparant
ces équations, nous avons l’égalité suivante : 225 – 196 + 28x – x2 = 169 – x2. Les x2 s’éliminent et on obtient l’équation 28x = 140. La valeur de x est égale à 5. En plaçant cette valeur
dans l’équation (2), nous trouvons la valeur de h est égale à 12.
Donc, l’aire du triangle est 12*
14
2
x
= 15, donc x = 20.
13
15
x
14-x
14
= 84.
7. 9800.
En faisant le compte pour chaque étage, on remarque que c’est un multiple de 2 et on ajoute 1. Donc 2*ligne + 1,
pour chaque ligne. Pour faire le total des lignes, nous faisons la somme des lignes 1,2,3…n. La règle de la somme est
2*
n(n + 1)
2
+ 1 (n fois). En simplifiant nous avons la règle n2 + 2n. Pour la 98e ligne, on remplace n par 98. Nous
obtenons 982 + 2*98 = 9800.
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ENVOL no 136 — juillet-août-septembre 2006
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