3. Etude du cas p = 2. Résultats généraux Objekttyp: Chapter Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band (Jahr): 20 (1974) Heft 3-4: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE PDF erstellt am: 26.05.2017 Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. 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Pour que u soit somme de carrés d'entiers (ueV), il faut et il suffit > e. De plus, si on a S (u) > e + 1, alors u est somme de deux carrés d'entiers. 2. qu 'on ait S (u) - 1 est somme de carrés dans A, ce qui permet d'affir Remarquons que dans de bien l'anneau est A: sous-anneau un 2 des entiers merque 2 dyadiques, ?7 est un carré car 2 est une uniformisante et ?7 est congru à 1 modulo 8. Il en résulte que -1 = 1 + I+4-7 est somme de quatre carrés dans A. Ceci étant: Z2Z A2A 1. Pour tout élément a de A on a l'égalité 2a = (a+l) 2 - (a 2 +l); par conséquent 2a est somme de carrés dans A. Plus précisément, si b est une racine carrée de -7 dans Z 2 , on a l'égalité obtenue à partir de la pro priétéde multiplicativité de la norme des quaternions: Par ailleurs, il existe une unité £deA satisfaisant àne = 2e. Dans ces condi tionson a bien un e eA2 pour toute unité ude A. En particulier, on a un 2d+l eA2 pour toute unité udeA. 2/c +lun entier impair tels qu'on Réciproquement, soit u une unité de ait un 2k+l e A 2 ; il existe une famille finie { 1? ..., a N } d'éléments de A telle que: ? a1?a de chacun des termes écrits ci-dessus; Comparons les valuations N on avK (un 2k+l ) > min { 2v K (£ 1 a,), e+vK ( £ l^i<j^N ap>) }. On ne peut N avoir 2v K ( £ aj) <e+ On en conclut que 2fc+ égal à £ vK ( afij) car vK (un 2k+l ) est impair. l >eetde façon plus précise que k est supérieur ou <£ 2. Si wg£/ est une somme de carrés dans A, d'éléments de A, soit { a l9 ..., a N }, telle que il existe une famille finie ceci prouve que ô (u) est supérieur ou égal à e. Réciproquement, si ô (u) est supérieur ou égal à e, il existe une unité v de A et un entier è tels que m=y2 + n e b; or on vient de voir que n eb est somme de carrés dans A. 3. Si l'unité w satisfait entier b tels qu'on ait: hô e+l, il (u) existe une unité vdeAetun De l'égalité (CAR) obtenue au paragraphe (1.3.2.) on déduit: Alors u est somme de deux carrés dans A puisque pour tout n>l( est un nombre pair. 3.2. W ) Théorème Soit T la sous-extension non ramifiée maximale de K et soit B l 'anneau des entiers de T. Alors : 1. Les anneaux Betß2 coïncident, c'est-à-dire que tout entier de T est somme de carré d 'entiers de T. L 'anneau 2 est un anneau local, n?thérien, de dimension 1; son idéal maximal est ty n A 2 . En tant que B-môdule, 2 est libre de rang e. En tant 2. A2A A2A que B-algèbre, A2A 2 est égal àB [n 2 , 2n], 3. Avec les notations 1, on ala double égalité Puisque B est non ramifié sur Z 2 , 2 est une uniformisante de B; de B s'écrit donc de façon unique sous la forme 2*(l+ 2a) avec neN et aeß, et on a dans 5: l+2a = (a+l) 2 + 2 1. tout élément non nul a2a + a2a 2 G/^V. 2 + 4a + L'anneau est une extension totalement ramifiée de B; il en résulte que 7i, uniformisante de A, est racine d'un polynôme d'Eisenstein à coeffi cientsdans B; en d'autres termes, il existe une unité b 0 de Bet (e- 1) élé mentsb u ..., _ x de i? tels qu'on ait: 2. Z? ee Par ailleurs, on sait que A = B [n] et que la famille {I,n, ..., n e 1} est A. On va montrer que si e est pair, (resp. impair), une base du la famille {1, 2tt, tc 2 , ..., nn e 2 , 2n ~ 1 } (resp. {1, 2tt, tt 2 , ..., 27i ~ 2 , tc 6 " 1 }) constitue une base de 2 considéré comme En premier lieu, il est clair que B est un sous-anneau de 2 et que la famille considérée est libre sur B. Remarquons qu'on peut choisir comme système R de représentants non nuls de A modulo un ensemble d'unités de B, ces unités étant elles-mêmes des carrés dans B. (On aen effet K = K2K 2 et toute unité de B est congrue à un carré modulo 28.) Tout élément a de A admet donc un développement de Hensel de la forme: ~2,~ ee ee A2A A2A En particulier, il résulte de la proposition 3.1.1.) que tout aeA2 admet un développement de Hensel de la forme: Remarquons alors les détails suivants: est un fermé de A pour la topologie est encore une conséquence de la proposition 3.1.1.). a) L'ensemble A2A 2 2 b) L'ensemble B [n , 2n] est un fermé de A pour la topologie Ceci Or sur B [n 2 , 2n] cette topologie coïncide avec l'unique prolongement à 2 cet espace de la topologie 2-adique de B. En particulier B [n ,2n] est un fermé de A 2 . Il reste en définitive à prouver que B [n 2 , 2n] est dense dans A 2 . Pour e+n est combinaison linéaire cela, il suffit de montrer que pour tout neN, n à coefficients dans B des éléments de la famille considérée plus haut. Faisons la démonstration dans le cas e pair; (dans le cas e impair, la démonstration est analogue): Les remarques faites au début de la démonstration montrent que la propriété à démontrer est vraie pour n = 0. De plus, on a les égalités: A partir n e+l+2m de là on raisonne par récurrence sur m pour évaluer if +2m et Enfin, puisque B est un anneau de valuation discrète, la 5-algèbre de 2 type fini B [n , 2n] est un anneau n?thérien; puisque A est un anneau de valuation discrète entier sur A 2 , l'unique idéal maximal de 2 est n A2 2,n A2A . ' L'égalité (A : A 2 ) = 2df résulte de ce que {1, n, ..., 6 1 } est une base de A en tant que tandis qu'une base de 2 comme B 1 moduleest {1, 2tt, ..., 271 e " 1 2tt, ..., 71 e " } selon que e est pair ou impair. Reste à démontrer la dernière égalité. Pour tout n > 1 soit Un le sous-groupe 1 + ty n de U. On sait que {U\U^) = f 1 et que pour tout n>lona (Un :Un+ ± ) = 2f . (Pour plus de détails, voir [4] ou [5].) Il résulte de la proposition 3.1, 1), qu'on a: 3. n6n A2A }ou{l, 2f-12 - Montrons qu'on aU2n 2d+1 = UU 2d+l . L'inclusion UU 2d+l aU2n 2d+1 est évidente. Réciproquement, soit xe U tel que 2 = 1 + an 2d+l avec aeA. Quitte à changer xen ~x on peut écrire x sous la forme l.+bn 2 avec beA. On obtient alors 2 n 2s = an 2d+l 2bn ce qui implique 2e >2ûH-1 et e>d+l. U2d+lU U2d+lU x2x e>let b2b - E Ceci montre l'existence d'un isomorphisme entre le groupe VjU 2d^ 1 et le groupe U 2 /U d+1 . La proposition sera alors une conséquence du lemme 2d+l.2 de Herbrand: Lemme de Herbrand, Soit soit H un sous-groupe de G. 1. cp : G -> G r un homomorphisme de groupes et Les deux assertions suivantes sont équivalentes H est d'indice fini dans a) le sous-groupe b) les indices 2. Si les assertions ci-dessus sont vraies, alors : (cp (G) :cp : G; (H)) et (Ker cp = H n Ker cp) sont finis. Pour une démonstration, voir [4] § 63. Appliquons ce lemme au groupe U, à son sous-groupe d+1 Qtk l'homo 2 morphismecp :U->U2 (x\~>x ); puisque -1 appartient à d+1 , on a l'égalité Ud+lQtkU [/d+l,/ et les égalités: On en conclut: 4. RÉSULTATS PROPRES AU CAS p = 2ET e IMPAIR Théorème 4.1. Supposons e impair et soit u e U. Alors : 1 . Si S (u) >e,u est somme de deux carrés dans A; 2. Si Ô (u) =e, il existe a, beU tels que u=a2 +2b; avec tions,les trois assertions suivantes sont équivalentes : a) l'unité u est somme de deux carrés dans A (ueV2 ) ; 2 b) la trace absolue de (b/a ) appartient à 2Z 2 ; c) // existe De plus : ce U tel que b = 2 a2a (c 2 - c). ces nota