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Université des Sciences et Technologies de Lille
8 septembre 2009
Licence Sciences et Technologies. Unité : Forces-Champs-Énergie
(Durée : 2h. Tous documents, calculatrice et téléphone non autorisés)
EXERCICE I : MOUVEMENT EN SPIRALE
Un point M décrit une courbe plane (voir la figure 1 attachée à la fin du sujet) dont les équations
 ρ = be − kt
sont données en coordonnées polaires (ρ, θ) sous forme paramétrique en fonction de t : 
,
 θ = ωt

où b ω et k sont des constantes positives.
1/ Écrire le vecteur OM dans la base polaire (u ρ , u θ ) .
du ρ
du θ
et
en fonction des vecteurs unitaires de la base polaire.
dθ
dθ
3/ Déterminer le vecteur vitesse v du point M dans la base polaire (u ρ , u θ ) . Calculer sa norme.
2/ Obtenir
4/ Déterminer le vecteur accélération a du point M dans la base (u ρ , u θ ) . Calculer sa norme.
On travaille ensuite dans la base de Serret-Frenet (u t , u n ) associée aux coordonnées intrinsèques.
Le vecteur accélération du point M peut s’écrire a = a t u t + a n u n .
5/ En utilisant les résultats précédents, calculer la composante a t du vecteur accélération.
6/ Exprimer a n en fonction de a = a et de a t . En déduire l’expression de la composante a n du
vecteur accélération.
7/ Calculer le rayon de courbure Rc de la trajectoire.
8/ Compléter la figure 1, à rendre avec votre copie, avec les éléments suivants : OM , (u ρ , u θ ) ,
(u t , u n ) , v , a t , a n , et a .
EXERCICE II : DÉRAPAGE CONTRÔLÉ ?
Une voiture automobile de masse M roulant sur un circuit à la vitesse constante v, aborde différents
virages de rayon de courbure moyen Rc et d’axe vertical ∆.
I - Quelle est la nature du mouvement de la voiture dans ces virages ? En déduire la direction, le
sens et la norme de l’accélération a que subit la voiture dans ces virages.
II - Un premier virage comporte une piste horizontale et
sèche. Il existe alors une force de frottement statique
uθ
F f entre la piste et les pneus de la voiture qui
empêche celle-ci de déraper latéralement : F f est
contenue dans le plan de la piste et est située dans le
plan u ρ , u z du repère cylindrique u ρ , u θ , u z
attaché au centre de gravité de la voiture ; le
coefficient de frottement statique est µs.
a - Définir le référentiel galiléen, faire le bilan des
forces qui s’exercent sur la voiture, les représenter
sur un schéma et écrire l’équation vectorielle qui
exprime le principe fondamental de la dynamique.
(
)
(
uρ
)
1
uz
Rc
∆
∆
uz
uρ
uθ
Rc
b - À l’aide des projections successives de cette équation suivant les directions u ρ et u z ,
déterminer la vitesse maximum v1 que la voiture devrait avoir pour rester en piste dans ce
virage.
c - Application numérique. Calculer v1. On donne g = 10 ms-2, Rc = 300 m, µs = 0,3.
d - En un endroit P de ce virage, la
piste est recouverte d’une nappe
P
P
P
d’huile, ce qui implique que le
●
●
●
coefficient de frottement y est nul.
La voiture, se déplaçant à la vitesse
A
B
C
v1, dérape et quitte alors la piste.
Quelle sera la trajectoire et la vitesse de celle-ci à partir de P : Solution A, B ou C ?
Expliquer succinctement pourquoi en deux lignes maximum.
III - Un deuxième virage est relevé et le plan de la piste fait un angle α avec le plan horizontal.
Rc
∆
α
1/ La piste est recouverte d’une nappe d’huile, on néglige les frottements entre les pneus et la piste.
a - Faire le bilan des forces qui s’exercent désormais sur la voiture, les représenter sur un schéma
et écrire l’équation vectorielle qui exprime le principe fondamental de la dynamique.
b - En projetant de la même façon qu’en 2b, dans le même repère que précédemment, déterminer
la vitesse v2 que la voiture doit avoir pour rester en piste dans ce virage.
c - Application numérique. Calculer v2. On donne g = 10 ms-2, Rc = 300 m, tanα =0,3.
2/ Une partie de cette piste est sèche et on considère que la force de frottement statique F f entre la
piste et les pneus de la voiture est toujours contenue dans le plan de la piste et appartient toujours
au plan u ρ , u z avec un coefficient de frottement µs.
a - Faire le nouveau bilan des forces qui s’exercent sur la voiture, les représenter sur un schéma et
écrire l’équation vectorielle qui exprime le principe fondamental de la dynamique.
b - Toujours en projetant de la même façon qu’en 2b, montrer que la vitesse v3 que la voiture
µ cos α + sin α
devrait avoir pour rester en piste dans ce virage vaut : v 3 = gR c s
.
cos α − µ s sin α
(
)
2
EXERCICE III : COMPRESSION D’UN RESSORT
1/ Questions de cours
a) Définir le travail élémentaire d’une force F .
b) On considère la force de rappel du ressort F r . Donner son expression analytique. Calculer le
travail de F r le long d’un trajet AB : WA→B (F r ) .
c) Lorsqu’une force Fc est conservative, on peut lui associer une fonction énergie potentielle E p .
Donner la relation qui relie ces deux grandeurs.
d) Calculer l’énergie potentielle E p associée à la force de rappel du ressort F r .
e) Donner la relation qui relie le travail entre deux points A et B d’une force Fc conservative, à la
variation, entre ces deux mêmes points, de l’énergie potentielle E p associée à cette force.
Vérifier cette relation sur les résultats des questions b) et d).
f) Énoncer en une phrase le théorème de l’énergie cinétique, et en donner l’expression analytique.
g) Définir l’énergie mécanique E m d’un point matériel M. Quelle propriété (à démontrer) satisfait
E m dans le cas d’une force Fc conservative ?
h) En général un objet est soumis à un ensemble de forces, conservatives et non-conservatives.
Que vaut dans ce cas la variation de l’énergie mécanique entre les points A et B ?
2/ Un corps de masse M, qui repose sur un plan horizontal, est en contact avec l’extrémité d’un
ressort horizontal de raideur k. L’autre extrémité du ressort est attachée à une paroi verticale. Quand
le corps est poussé vers la paroi, le ressort est comprimé d’une longueur d. Quand le corps est
relâché, il est projeté horizontalement sous l’action du ressort. On considère qu’il existe une force
de frottement entre la masse M et le plan horizontal. On notera µc le coefficient de frottement
cinétique entre la masse et le plan.
a) Faire un schéma et indiquer les forces exercées sur le corps de masse M.
b) Déterminer l’expression analytique de la vitesse du corps au moment où le ressort reprend sa
longueur initiale. Justifier chaque étape du raisonnement.
3/ On incline maintenant d’un angle θ le plan sur lequel repose le corps, comme schématisé cidessous, et on réalise à nouveau la même expérience : le corps est poussé vers la paroi de telle sorte
que le ressort est comprimé de la même longueur d. Quand le corps est relâché, il est projeté sous
l’action du ressort. Il existe toujours une force de frottement (coefficient de frottement cinétique µc)
entre M et le plan.
M
θ
a) Faire un schéma et indiquer les forces exercées sur M.
b) Déterminer l’expression analytique de la vitesse du corps au moment où le ressort reprend sa
longueur initiale. Justifier chaque étape du raisonnement.
3
Feuille à rendre avec votre copie
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PC
SPI
Figure 1
y
0
xx
M
4