a [− ,+π

Sinus :
1
∀x ∈ R
0.8
sin0 (x) = cos x
0.6
0.4
0.2
0
−0.2 0
π
2
3π
2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
Arc sinus : La restriction à − π2 , + π2 de la fonction
sinus est continue et strictement croissante sur − π2 , + π2 .
C’est donc une bijection de − π2 , + π2 dans [−1, +1].
La bijection réciproque est appelée Arc sinus et est notée
x. Par définition :
πx 7→πArcsin
Pour tout x ∈ [−1, +1], Arcsin x est l’unique angle de − 2 , + 2 qui a pour sinus x:
x = sin
y = Arcsin x
y
⇐⇒
y ∈ − π2 , + π2
x ∈ [−1, +1]
Propriétés : Arcsin est impaire. Arcsin est continue et strictement croissante sur [−1, +1].
Elle est dérivable sur ] − 1, +1[.
π
2
Arcsin
∀x ∈] − 1, 1[
0.5
0
−1
−0.5
0
0.5
1
−0.5
− π2
1
Arcsin 0 (x) =
√ 1
1−x2
Cosinus
1
∀x ∈ R
0.8
cos0 (x) = − sin x
0.6
0.4
0.2
0
π
−0.2 0
−0.4
−0.6
−0.8
−1
Arc cosinus :
Par définition :
Pour tout x ∈ [−1, +1], Arccos x est l’unique angle de [0, +π] qui a pour cosinus x:
x = cos y
y = Arccos x
⇐⇒
y ∈ [0, +π]
x ∈ [−1, +1]
Arccos est continue et strictement décroissante sur [−1, +1], dérivable sur ] − 1, +1[.
π
Arccos
∀x ∈] − 1, 1[
2.5
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
2
1
Arccos 0 (x) = − √1−x
2
Tangente
La fonction tangente est définie et dérivable sur tout intervalle ne contenant pas de réel de la
forme π2 + kπ (k ∈ Z).
y6
tan
Sur son domaine de définition:
tan x =
1
tan0 x = 1 + tan2 x =
− π2
O
sin x
cos x
π
2
1
x
-
-1
Arc tangente :
Pour tout x ∈ R, Arctan x est l’unique angle de − π2 , + π2 qui a pour tangente x:
x = tan
y = Arctan x
y
⇐⇒
y ∈ − π2 , + π2
x ∈ R
Arctan est impaire. Arctan est continue et strictement croissante sur R, dérivable sur R.
π
2
Arctan
∀x ∈ R
0.5
0
−20 −15 −10 −5 0
−0.5
5
10
15
20
− π2
3
Arctan 0 (x) =
1
1+x2
1
cos2 x
sinus hyperbolique
30
sh
ex −e−x
2
20
∀x ∈ R
sh x =
10
∀x ∈ R
sh 0 x = ch x
0
−4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
−10
−20
−30
Argument sinus hyperbolique
Pour tout x ∈ R, Argsh x est l’unique élément de R qui a pour sinus hyperbolique x:
x = sh y
y = Argsh x
⇐⇒
y ∈ R
x ∈ R
Argsh est continue et strictement croissante sur R, dérivable sur R.
5
Argsh
4
∀x ∈ R
3
2
1
0
−30
−20
−10 −1 0
10
20
30
−2
−3
−4
−5
4
Argsh 0 (x) =
√ 1
x2 +1
cosinus hyperbolique
30
◦
◦
◦
◦
20
◦◦
◦
◦
◦◦
◦
◦◦
10
◦◦◦
◦
◦
◦◦◦
◦◦◦◦◦
1
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦0◦◦◦◦◦◦◦◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦◦◦◦◦ −1 0
−4 −3 ◦◦◦◦−2
1
2
3
4
◦
◦
◦
◦
◦
−10
◦◦
◦◦
◦
◦
◦◦
◦
◦
−20
◦
◦
◦
◦
−30
ch
sh
◦
ex +e−x
2
∀x ∈ R
ch x =
∀x ∈ R
ch 0 x = sh x
∀x ∈ R
ch 2 x − sh 2 x = 1
Argument cosinus hyperbolique
Pour tout x ∈ [1, +∞[, Argch x est l’unique élément de R+ qui a pour cosinus hyperbolique x:
x = ch y
y = Argch x
⇐⇒
y ∈ R+
x ∈ [1, +∞[
Argch est continue et strictement croissante sur [1, +∞[, dérivable sur ]1, +∞[.
4
Argch
3.5
∀x ∈]1, +∞[
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
5
Argch 0 (x) =
√ 1
x2 −1
Tangente hyperbolique
1
th
0.5
∀x ∈ R
th x = sh
ch
∀x ∈ R
th 0 x = 1 − tanh2 x =
x
x
1
ch
0
−30
−20
−10
0
10
20
30
−0.5
−1
Argument tangente hyperbolique
Pour tout x ∈] − 1, 1[, Argth x est l’unique élément de R qui a pour tangente hyperbolique x:
x = tanh y
y = Argth x
⇐⇒
y ∈ R
x ∈ ] − 1, 1[
Argth est continue et strictement croissante sur ] − 1, 1[, dérivable sur ] − 1, 1[.
10
Argth
5
0
−1
−0.5
0
0.5
1
−5
−10
6
∀x ∈] − 1, 1[
Argth 0 (x) =
∀x ∈] − 1, 1[
Argth x =
1
2
1
1−x2
ln
1+x
1−x
2
x