Mécanique: TD 5 - correction

Université François Rabelais
Année 2008/2009
L2 SM
Département de Physique
Mécanique:
TD 5 - correction
1. La conservation de la quantité de mouvement totale s’écrit:
M V~initiale = (M − m)V~f inale + m~v .
(0.1)
Si ~v et V~initiale ont même direction, cela donne
Vf inale =
M
m
Vinitiale −
v;
M −m
M −m
(0.2)
sinon il faut faire la somme vectorielle.
2.
• La position du centre de masse est donnée par
~ = m1~r1 + m2~r2
(m1 + m2 )OG
(0.3)
(m1 + m2 )~vG/R = m1~v1 + m2~v2
(0.4)
et la vitesse ~vG/R par
soit
4 ~
6
4
9
2i + 3~j = ~i + ~j.
10
10
5
5
• Dans le référentiel barycentrique RG la vitesse de 1 est
~vG/R =
6
~v1/RG = ~v1 − ~vG/R = ~i −
5
et celle de 2 par
(0.5)
9~
j
5
(0.6)
6~
j.
5
(0.7)
4
~v2/RG = ~v2 − ~vG/R = − ~i +
5
Ainsi on a
TS/RG
1
1
1
= m1 (~v1/RG )2 + m2 (~v2/RG )2 =
2
2
2
81
16
36
36
4 +4 +6 +6
25
25
25
25
=
78
. (0.8)
5
• L’énergie cinétique du centre de masse est donnée par
16 81
97
1
TG/R = (m1 + m2 )(~vG/R )2 = 5( + ) = .
2
25 25
5
(0.9)
• L’énergie cinétique du système dans R est donnée par
1
1
1
TS/R = m1 (~v1 )2 + m2 (~v2 )2 = (4 × 22 + 6 × 32 ) = 35.
2
2
2
(0.10)
• Le moment cinétique du système par rapport à O dans le référentiel R est
J~(S/R)O = ~r1 (t) ∧ m1~v1 + ~r2 (t) ∧ v2 1
= 4 (1 + 2t)~i + ~j ∧ (2~i) + 6 2~i + ( + 3t)~j ∧ (3~j)
2
~
= (−8 + 36)k
= 28~k.
(0.11)
Ce moment cinétique est conservé.
3. Projectile dans un bloc de bois.
• Avant le choc, le projectile de masse m a une quantité de mouvement pp = mv0 et
le bloc de bois, immobile, a une quantité de mouvement pb = 0. La quantité de
mouvement est conservée au cours du choc parce que le mouvement du projectile est
orthogonal au fil qui maintient le bloc de bois, la tension du fil n’interfère donc pas
avec la dynamique du choc. Juste après le choc, la quantité de mouvement totale
est donnée par
pT = (m + M )v,
(0.12)
où v est la vitesse de l’ensemble consitué par le projectile et le bloc de bois. Cette
quantité est par ailleurs égale à la quantité de mouvement totale avant le choc, c’est
à dire
(m + M )v = mv0 ,
(0.13)
ce qui implique que
v=
m
v0 .
m+M
(0.14)
• Juste après le choc, le projectile et le bloc de bois forment un objet unique suspendu
à un fil et possédant une vitesse initiale v. On est donc amené à traiter le problème
d’un pendule avec vitesse initiale. Au cours du mouvement d’un pendule, l’énergie
mécanique est conservée. Juste aprés le choc, cette énergie mécanique est simplement
l’énergie cinétique de l’ensemble projectile plus bloc de bois, soit
1
Em = (m + M )v 2 .
2
(0.15)
A cause de cette énergie cinétique déviée par le fil inextensible, l’ensemble projectile
plus bloc de bois prend de la hauteur et s’arrête finalement à une certaine hauteur
h. Comme sa vitesse est alors nulle, l’énergie mécanique est alors simplement sous
forme d’énergie potentielle, soit
Ep = (m + M )gh.
(0.16)
Par conservation de l’énergie mécanique on a donc
1
(m + M )gh = (m + M )v 2 ,
2
(0.17)
soit encore, d’après (0.14),
1
(m + M )gh = (m + M )
2
donc
4.
m
v0
m+M
m2 v02
h=
.
2g(m + M )2
2
,
(0.18)
(0.19)
• Disons que la particule incidente s’appelle A, et possède une vitesse ~v = v~ex avant le
choc. Après le choc, sa vitesse est devenue w
~ = w cos θ~ex +w sin θ~ey , alors que l’autre
particule, disons B, a aquis une vitesse de même module w
~ ′ = w cos φ~ex + w sin φ~ey .
Par conservation de la quantié de mouvement selon ~ex on a
mv = mw cos θ + mw cos φ,
(0.20)
0 = mw sin θ + mw sin φ.
(0.21)
et de même selon ~ey
On peut résoudre ce système de deux équations à deux inconnues w et φ. La seconde
nous dit que φ = −θ ou bien que φ = θ+π. Mais cette deuxième possibilité donnerait
v = 0 dans la première équation. On retient donc plutôt φ = −θ. La première
équation dit alors que
v = 2w cos θ.
(0.22)
• L’énergie cinétique avant le choc est
1
Ec (av) = mv 2
2
(0.23)
1
1
mv 2 .
Ec (ap) = mw2 =
2
8(cos θ)2
(0.24)
alors qu’après le choc elle est de
On voit que l’énergie cinétique n’est pas conservée, sauf si cos θ = 1, c’est à dire si
θ = 0.
On peut conclure qu’en général le module de la vitesse ne se distribue pas de façon
identique entre les deux particules si l’une d’entres elles est initialement au repos et
si le choc est élastique.