Corrigé feuilles 9
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1 UE 191 - Groupes 7 et 8 - Corrigé Feuilles 9 Corrigé feuilles 9 des questions, commentaires, insultes? addressez-vous à: [email protected] Exercice 2 : Des hommes et des femmes. Le nombre de femme qu’on peut retrouver dans un groupe de 4 personnes choisies parmi 4 hommes et 6 femmes peut-être compris entre 0 et 4. On dénotera par F cette variable aléatoire discrète. Il y a 10 4 façons de choisir 4 personnes parmi 10. Si f ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, il y a 6 f façons de choisir f femmes parmi 6. Pour chacune de ces façons il faut ensuite compléter notre échantillon en choisissant 4 − f hommes parmi 4 ; il y a 4−4 f façons de le faire. On compte donc en tout, 6f 4−4 f façons de choisir 4 personnes dont f femmes parmi notre population de 4 hommes et 6 femmes. D’où, puisque ces choix sont équiprobables, 4 6 nombre de cas favorables f 4− f = P(F = f ) = . 10 nombre de cas possibles 4 On a donc trouver la loi de probabilité de F. En chiffre, cela donne : f 0 1 2 3 4 P(F = f ) 1 210 24 210 90 210 80 210 15 210 Exercice 3 : Face cachée du cube et de la pyramide. On trouve facilement : x P(X = x) 1 3 y , 0 P(Y = y) 1/4 3/4 2 4 1/2 1/3 1/6 On veut trouver la loi de S = X +Y , ainsi regardons si S vaut 1 X et Y valent 3 5 7 1 et 0 1 et 2 1 et 4 3 et 4 ou 3 et 0 3 et 2 Comme on cherche à trouver P(S = s) pour s ∈ {1, 3, 5, 7}, on calcule P(S = 1) = P(X = 1 et Y = 0) = P(X = 1)P(Y = 0) = P(S = 3) = P(X = 1 et Y = 2, ou , X = 3 et Y = 0) = P(X = 1)P(Y = 2) + P(X = 3)P(Y = 0) = P(S = 5) = P(X = 1 et Y = 4, ou , X = 3 et Y = 2) = P(X = 1)P(Y = 4) + P(X = 3)P(Y = 2) = P(S = 7) = P(X = 3 et Y = 4) = P(X = 3)P(Y = 4) = 1 8 11 24 7 24 1 8 On peut vérifier que la somme de ces probabilités donne bien un. Si on veut mettre cette loi sous forme d’un tableau cela donne : s 1 3 5 7 P(S = s) 1 8 11 24 7 24 1 8 2 Exercice 4 : Pierre vs. Paul. On dénote par X la variable alétoire du numéro choisit par Pierre, et par Y la variable alétoire du numéro choisit par Paul. 1) On cherche P(X < Y ). Comme les choix sont faits au hasard pour n’importe quel i P(X = i) = P(Y = i) = 1/100. Voici deux méthodes pour résoudre cet exercice : Méthode 1 : On calcule facilement P(Y > i) = 100−i 100 . Alors la probabilité demandée est P(Y > X) = P(X = 1)P(Y > X|X = 1) + P(X = 2)P(Y > X|X = 2) + .. .. + P(X = 99)P(Y > X|X = 99) 99 99 = ∑ P(X = i)P(Y > X|X = i) = ∑ P(X = i)P(Y > i) i=1 = = 1 100 99 ∑ i=1 100−i 100 = i=1 1 99×100 10000 2 = 1 10000 99 200 99 ∑i i=1 = 0, 495 Méthode 2 : Il y a trois cas possibles X = Y , X > Y et X < Y . Comme le choix des numéros est indépendants de la personalité de Pierre et Paul, P(X > Y ) = P(X < Y ). D’autre part P(X = Y ) = 1 100 (il y a plusieurs moyens de s’en convaincre encore une fois). Comme 1 = P(X > Y ) + P(X < Y ) + P(X = Y ) = 2P(X < Y ) + P(X = Y ), on isole P(X < Y ) = (1 − P(X = Y ))/2 = 99 . 200 2) Encore une fois, plusieurs méthodes sont valables. Par exemple, on peut calculer la probabilité de l’événement G :“le plus grand des deux numéros est 50” : P(G) = P(X = 50 ou Y = 50) = P(X = 50 et Y < 50) + P(X < 50 et Y = 50) + P(X = 50 et Y = 50) = P(X = 50)P(Y < 50) + P(X < 50)P(Y = 50) + P(X = 50)P(Y = 50) = = P(X < Y |G) = = 1 49 49 1 1 1 100 100 + 100 100 + 100 100 99 10000 P(X<Y et le plus grand vaut 50) P(G) P(X<50 et Y =50) P(G) = 49 1 100 100 99 10000 = 49 99 = 0, 49 Rappelez-vous qu’il peut y avoir d’autres façons de parvenir à la résolution d’un problème. Si vous avez un démarche alternative, ce sera un plaisir si vous veniez m’en parler ou me l’écriviez pour en vérifier la validité. N’oubliez pas non plus que les erreurs sont possibles (voire fréquentes) dans mes corrigés, faites-moi signe si vos réponses diffèrent Si vous avez des question (sur les TD, le devoir, le cours ou la vie), n’hésitez pas à passer me voir de 16h à 18h30 les mardis où il y aura un TD à mon bureau (Salle 227, bâtiment 440), à m’accrocher après un TD, ou à m’envoyer un courriel ([email protected]).
