ED 5 Normes et conditionnement

Alexis Hérault
CSC104
ED 5
Normes et conditionnement
Objectifs :
– maitriser les notions de rayon spectral et de norme pour les
matrices
– comprendre ce qu’est le conditionnement d’un système linéaire
Exercice 1. Soit A = [aij ] une matrice N × N (réelle ou éventuellement
complexe, λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé à λ tel
que max |xi | = 1.
i=1,··· ,N
1. Montrer que :
∀i ∈ {1, · · · , N }, |λ − aii ||xi | ≤
X
|aij ||xj |
j6=i
Indication : écrire AX = λX composante à composante.
2. Montrer qu’il existe au moins un indice k tel que :
X
|akj |
|λ − akk | ≤
j6=k
3. En déduire que si λ est valeur propre de A, λ appartient à la réunion
des disques Dk du plan complexe définis par :
(
)
X
Dk = z ∈ C, |z − akk | ≤
|akj |
j6=k
Remarque : il s’agit du théorème de Gerschgorin.


1 −1 2
Appliquer ce résultat à la matrice A =  −3 −2 1 
1 −1 0
4. Montrer que si λ est valeur propre de A, alors :
(
)
X
λ ∈ ∪k Dk0 avec Dk0 = z ∈ C, |z − akk | ≤
|ajk |
j6=k
1
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5. Montrer que le rayon spectral de A vérifie la relation :
ρ(A) ≤ max
k
N
X
|akj |
j=1
Indication : |a| ≤ |a − b| + |b|.
6. Montrer que si la matrice A est à diagonale strictement dominante 1
alors A est inversible. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 2. Soit A une matrice réelle quelconque.
1. Vérifier que AA est symétrique, positive 2 et que :
AA définie positive 3 ⇔ A inversible.
q
2. Montrer que ||A||2 = ρ AA
||Ax||2
Rappel : ||A||2 = sup
.
x6=0 ||x||2
3. Que se passe-t-il si A est symétrique ? Que vaut alors ||Ax||2 ?
4. Soit U une matrice orthogonale 4 , calculer ||U ||2 et montrer que :
∀A ∈ Mn (R), ||AU ||2 = ||U A||2 = ||A||2
Exercice 3. Norme euclidienne des matrices
Soit A = [aij ] une matrice réelle. On pose :
! 12
||A||E =
X
|aij |2
i,j
1. Montrer que ||.||E est une norme matricielle.
2. Est-ce une norme subordonnées ?
q
q
3. Montrer que ||A||E = tr AA = tr AA
√
En déduire que ||A||2 ≤ ||A||E ≤ N ||A||2
Remarque : ceci est la démonstration de l’équivalence de ces deux
normes. Pour un espace normé de dimension fini ce résultat se généralise :
toutes les normes sont alors équivalentes.
1. ∀k ∈ {1, · · · , }, |akk | >
X
|akj |
j6=k
2. A positive ⇔ (x, Ax) ≥ 0, ∀x
3. A définie postive ⇔ (x, Ax) > 0, ∀x
4. U U = U U = I
2
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4. Soit U une matrice orthogonale, calculer ||U ||E et montrer que :
∀A ∈ Mn (R), ||AU ||E = ||U A||E = ||A||E
Exercice 4. Conditionnement d’un système linéaire
On veut résoudre dans Rn le système linéaire Ax = b, avec A inversible. A
partir du moment ou l’on résout ce système sur machine ou que les données
de A ou b proviennent de mesures, il y a des erreurs commises sur A et b
(erreurs de troncature, d’arrondis, ... issues de la représentation des nombres
en machine et/ou erreurs dues à la précision des mesures). Autrement dit on
résout en fait un système légèrement perturbé :
(A + δA)y = b + δb
Soit x la solution exacte de Ax = b et y = δx + x, le système précédent
s’écrit :
(A + δA)(δx + x) = b + δb
Le but de l’exercice est d’évaluer l’erreur relative commise sur la solution
||δx||
en fonction des données. Si cette erreur est importante pour de petites
||x||
perturbation le système est dit mal conditionné.
1. Etape 1 : on considère le système perturbé suivant :
A(δx + x) = (b + δb)
||δb||
||δx||
en fonction de
||x||
||b||
2. Etape 2 : on considère le système perturbé suivant :
Evaluer
(A + δA)(δx + x) = b
||δx||
||δA||
≤ ||A||.||A−1 ||
||x + δx||
||A||
Remarque : le nombre ||A||.||A−1 || est noté CondA et s’appelle conditionnement de la matrice A. Bien sûr il dépend de la norme choisie.
Pour toute norme telle que ||I|| = 1 on a CondA ≥ 1.
3. Cas général : on considère une norme matricielle telle que ||I|| = 1 et
on suppose que ||A−1 ||.||δA|| < 1. Montrer que la solution du système
perturbé complet :
Vérifier que
(A + δA)(δx + x) = b + δb
vérifie :
||δx||
CondA
||δb|| ||δA||
≤
+
||x||
1 − ||A−1 ||.||δA|| ||b||
||A||
3
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On note Cond2 (A) = ||A||2 .||A−1 ||2 le conditionnement associé à la norme 2.
Vérifier que :
1. Cond2 (A) = λλmax
pour toute matrice A symétrique réelle (λmax et λmin
min
représentent respectivement la plus grande et la plus petite des valeurs
propre de A).
2. Cond2 (U ) = 1 pour toute matrice orthogonale U .
Exemple : on considère le système Ax = b avec :
10 7
17
A=
,b =
7 −2
7
1. Etudier
du système à une perturbation du second membre
la réponse
0.5
δb =
0.5
2. Etudier la réponse
du système
à une perturbation des coefficients du
0
0.5
système δA =
−0.5 0
3. Calculer Cond2 (A)
4