Quelques propriétés des anneaux dont un sous-demi

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
T HÉRÈSE M ERLIER
Quelques propriétés des anneaux dont un sous-demi-groupe
multiplicatif est un O -demi-groupe
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 27, no 2 (1973-1974), exp. no 14,
p. 1-4
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1973-1974__27_2_A4_0>
© Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres
(Secrétariat mathématique, Paris), 1973-1974, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres »
implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction
pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
14-01
Séminaire P. DUBREIL
( Algè bre )
1973/74,
27e année,
29 avril 1974
n° 14, 4 p.
QUELQUES PROPRIÉTÉS DES ANNEAUX
O-DEMI-GROUPE
DONT UN SOUS-DEMI-GROUPE MULTIPLICATIF EST UN
par Thérèse MERLIER
Rappelons qu’un
définie
une
0-demi-groupe
S
est
demi-groupe est
dont le
R
ést
demi-groupe, alors
R
vérifie la condition ~
(R , .)
En effet, si
et .-
a
a~ a2
en
a
b ,
on
D’où
2ab
=
comparables.
par
a,
A
Si
une
pour
a
puis -
-
a .
D’où
0 .
=
certaine relation dtordre
a , par
R , Soient alors deux éléments
isotonie,
a2 - - a2 ,
a
et
b :
a2--a2
on a
2a2
2b~
soit
2a2
=
=
0 ,
_. ~ .
isotonie,
Un anneau
A
2a
=
peut vérifier
la condition
0
a .
pour tout
un
x’ = y
nul si
précédente
sans
être
un
zéro-
Considérons par exemple
des deux lois
anneau non
commutatif, dans lequel
n’est pas toujours nul et qui n’est pas
non
2ab
a
Ô
un
0 .
On obtient ainsi
est
est
demi-groupe multiplicatif
O-demi-groupe,
un
sont
de
a
vérifier
et munissons
est
a
a, par
Remarques. anneau ou
un anneau
multipliant
et ceci pour tout
Si
lequel peut être
O-demi-groupe.
un
THÉORÈME 1. - Si
et -
sur
relation d’ordre total isotone :
1. Anneaux do nt le
total 5 ,
S
demi-groupe
un
=
1
par
un
2(2x , y) = (0 , 2y)
~0 ! ~’ y)
=
exemple.
vérifie la f ormule du théorème 1, mais
(A,.~
ne
peut être totalement
or-
donné. En effet,
donc l’isotonie
On
peut aussi
quelconque
de
ne
peut être satisfaite
construire
un
caractéristique
pour
demi-groupe
aucune
infini
en
relation d’ ordre .
remplaçant
4 s par exemple l’anneau des suites
par
sur
un
anneau
2. Cas d’un
idempotents peut être
dont l’ensemble des
anneau
demi-groupe totale-
un
ment ordonné.
Désignons
par
E
l’ensemble des
1. - Si
E
est
En effet,
si $
D’où
0 .
e =
même si
De
Si
ordonne totalement le
0 ~ f ~
e
est de même dans le
demi-groupe
élément.
un
sans
E
E :
sont inférieurs à
f
+
e
(e
d’où
cas,
0 ~
est aussi
f
E ,
=
0 ~
idempotent, d’où
un
f)f
+
f
ou
e
=
0
f . Il
=
en
idempotents d’un anneau est un O-demi-groupe, c’est
de zéro, dont zéro est le plus grand ou le plus petit
des
diviseurs
LEMME 2. - Si l’ anneau
réduit
premier
appartiennent à
f
demi-groupe
0 ; donc
=
et
e
R .
anneau
contraire.
cas
Donc, si l’ensemble
et
e
ef = fe
dans le
ou
si
ou
0 ~ f , alors
e ~
si
O-demi-groupe,
un
d’un
idempotents
est unitaire, et si
R
E
est
0-demi-groupe,
un
est
E
à (1 , 0) .
soit
e ~ 0;
E ,
e E
1 -
E . Mais
e E
e(l - e)
=
0 , donc
e =
d’aprés
1
le
lemme 1.
3. - Si
e ~
f ~ 0 ,
0 ,
On sait que
Si
E
est
e ~ f , alors
efe
ef
=
ef = fe , alors
(e - ef)f =
0 ,
0-demi-groupe,
un
on en
e =
et si
et
ef
f
fe
=
fe
=
fef = ef , et
déduit
e
=
ef , de même
e -
appartiennent à
f
et
fe , et ceci dans tout
ou
efe
=
e
(ou
e
et
fe
=
f
=
E ,
ef ).
O-demi-groupe idempotent.
est
ef
f = fe
et
un
e
=
idempotent. Comme
f , ce qui n’est
pas.
Donc
ef ~
D’où
e -
Si
ef
=
fe : si
ef
=
et
e
fef , alors
on
ef
=
0
efe , alors
=
a
fe
ef , de même,
e =
fe
et
=
fef , et
f = fe .
f
=
ef
puisque
fe , et
e -
f - ef
sont
idempotents.
PROPOSITION 1. - Si l’ensemble E
demi-groupe
à gauche,
ou
de cardinal
supérieur
à droite, infini.
ou
idempotents d’un
égal à 3, alors E
des
anneau
est
un
R
est
un
3L-
zéro-demi-groupe
supposons que
et
e
lemme 3,
d’après le
potent :
on
par
a
idempotents distincts,
soient deux
f
exemple
e
=
ef
f
et
fe . Soit
=
nuls. Alors ,
non
autre idem-
un
g
a
(cy)
si
sairement
e
d’après
si
(y)
si
e,
=
eg
Dans
e ~
eg ==
le lemme
f
e
f :
e
gf ~
ge = g . Dans
Il existe alors
une
f . Comme
=
d’après ~~~~ ,
cas,
ef =
1° Si
Donc
est
E
cas
ce
=
néces-
e , et alors
ge = g
un
des éléments
E
e
ou
ge = g , donc
g, on
a
gf = g .
gf
=
fg
g,
=
zéro-demi-groupe
infinité d’idempotents,
de zéros ou est réduit à
eg
ge =
fg = f ,
e .
PROPOSITION 2. - Si l’ensemble
groupe, l’ensemble
d’où
e ,
=
3 ,
ge ~ fe
g :
ce
g
e ~ eg $ ef
f :
g
ceux
à gauche.
de la forme
de
R
est
n(ef - fe) ,
e +
estun
R
des idempotents d’un anneau
réguliers
d’après
f . Donc,
demi-groupe
un
sans
O-demi-
diviseurs
~0~ ,
E
est de cardinal
E
contient
1, l’ensemble des éléments
est réduit à
réguliers
!:o) .
2° Si
un
idempotent ,
et
un
seul,
e
nul : si
non
a ~
est
0
régu-
lier,
Donc les éléments
forment bien
e
comme
un
un
puisque
ab
est
demi-groupe
contient
E
zéro-.demi--groupe
et
by
non
nul,
xa
car
dont l’ensemble des
Propriétés
Le
des
Zéro,
le
rapport à e , qui
groupe multiplicatif ayant
au
sont des
a
=
axa
=
nous
a
=
la
axa
proposition
et
b
=
régulier, demi-groupe multiplicatif
S
un
a
d’un anneau, dans
0-demi-groupe, est
un
byb ,
cadre
propriétés
De
plus,
groupe
d’un anneau,
avec
zéro.
anneau.
incités à considérer de plus
un
E
1,
=
=
idempotents d’un
Pour les démonstrations des
Rendus
d’après
idempotents non nuls, d’où ab est régulier.
0
0 .
axaby , donc ab
implique a
idempotents est
nouvelles des
idempotents
moins trois éléments :
à gauche par exemple. D’où, si
paragraphe précédent
Comptes
diviseurs de
sans
COROLLAIRE. - Un demi-groupe
3.
sont les éléments inversibles par
élément neutre,
3° Enfin, si
est
réguliers
prés
les
propriétés
plus généra?.
suivantes
nous
renvoyons à notre Note
aux
14-04
désigne
A
dans la suite
un
l’ensemble des idempotents
THEOREME 2. - Si, dans
fx
A ;
E
e
idempotents
est
+ x
de
,
idempotents,
E~
et
un
idempotent e non nul
idéal, alors l’ensemble
tel que
idempotent non nul) est un
un demi-groupe intègre vérifiant :
(f , h)
V
A, il existe
anneau
un
est
A
ses
nuls.
non
un
l’ensemble de
E
anneau,
E
E2, V
g ~
0
E
E ,
fgh
=
des
E
fh .
,
THEOREME 3. - Soit
un
e
idempotent
non
nul d’un
anneau
A . Il y
a
équivalence
entre les assertions suivantes :
(a)
Pour tout
f
f ,
I -
(x
E
A ;
lateur à droite de
ef = e ;
e+xeE)
E E*}
+
(b)
(c)
E’~ ,
E
x
e
Ae
est
un
idéal bilatère de
A ~ contenu dans
est
un
idéal bilatère de
A j contenu dans l’annu-
(0 .’ Ae) ;
(d) L’ensemble E* des idempotents non nuls
gauche (? f E E# , ~ g E E~ , fg = f) .
Exemple. A
=
R
x
Soit
R
un anneau
l’ensemble des
R
Ae ;
unitaire
couples
de
A
est
un
intègre, d’élément unité
(x, y) ,
x
E R ,
à
zéro-demi-groupe
~. , et soit
y ER, muni des deux
opéra-
tions
Alors
X E
R
A
et,
demi-groupe
est
un
comme
anneau dont
les’ idempotents
~ 1 , x~ ~ 1. , x ’ ) .~ ~ ~. , x)
à gauche, et satisfont
aux
non
ces
nuls sont de la
idempotents,
forme ( 1
forment bien
~
un
x~ s
zéro-
conditions du théorème 3.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
MERLIER (T.). - Quelques propriétés des idempotents d’un anneau, C. R. Acad.
Sc. Paris, t. 279, 1974, Série A, p.49-51.
(Texte
Thérèse MERLIER
Résidence Gascogne
105 rue Boucicaut
92260 FONTENAY AUX ROSES
reçu le 14 avril
1975)