FACTORISATION DE NOMBRES ENTIERS

FACTORISATION DE NOMBRES ENTIERS
POUR LES ÉLÈVES
Rappel. Un entier naturel n est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs, 1
et lui-même. Une définition similaire est donnée dans les Éléments d’Euclide (circa -300
J.-C.) qui s’appuie sur le concept de mesurabilité à la place de la divisibilité : Un nombre
est premier s’il ne peut être mesuré que par l’unité. Ci-dessous figurent quelques unes des
propositions clefs qu’Euclide démontre rigoureusement :
Proposition (30 livre VII, ou le lemme d’Euclide). Si un premier mesure le produit de
deux nombres alors il mesure aussi l’un d’eux.
Proposition (1 et 2 du livre VII ou l’algorithme d’Euclide). Pour trouver le plus petit
multiple commun de deux nombres.
Proposition (20 du livre IX). Les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude de premiers assignée (c’est-à-dire sont infinis en nombre)
Étonnement et certainement parce qu’il ne disposait pas de notations adéquates, Euclide
passe à côté (comme presque 1 tous les autres mathématiciens pendant plus de 2000 ans ! ! !)
du résultat fondamental ci-dessous, énoncé et démontré par Gauss, dès le début de son
ouvrage célébrissime, Disquisitiones Arithmeticae (1801), qui caractérise le rôle atomique
joué par l’ensemble des premiers.
Théorème (Le théorème fondamental de l’arithmétique). Tout entier superieur à 1 se
décompose en un produit de facteurs premiers, de manière unique (à l’ordre des facteurs
près).
Nous allons nous intéresser dans cette note à des méthodes de factorisations de base,
car comme le signale Gauss au §329 : "Le problème où l’on se propose de distinguer
les nombres premiers des nombres composés, et de décomposer ceux-ci en leurs facteurs
premiers, est connu comme un des plus importants et des plus utiles de toute l’Arithmétique."
Méthode 1. La méthode scolaire "classique"
Considérons par exemple l’entier N = 329. La racine carrée de
√ N est environ 18. Si
N = a·b √
alors forcément l’un des facteurs est plus petit que 329 et l’autre est plus
grand que 329. Ceci
√ implique que si N est composé alors N doit être divisible par un
nombre premier < 329. Les premiers plus petits que 18 sont 2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 et 17. Pour
1. À l’exception de Jean Prestet dans Nouveaux Elémens de mathématiques (1689)
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gagner du temps, il est utile d’employer les critères de divisibilités usuels :
329
n’est pas divisible par 2 car 9 ∈
/ M2
n’est pas divisible par 3 car 3+2+9 ∈
/ M3
n’est pas divisible par 5 car 9 ∈
/ M5
est divisible par 7 car 32 − 2 · 9 = 14 ∈ M7
D’où 329 = 7 · 47
Méthode 2. La factorisation de Fermat
Exemple pour N = 319. Le carré légèrement plus grand que 319 est 324=182 . L’idée
consiste à essayer d’écrire 319 sous la forme d’une différence de deux carrés en partant de
182 .
319 = 182 − 5 si l’on additionne 1 à 18 alors il faut additionner 2 · 18 + 1 à 5 pour compenser
= 192 − 42 de même on additionne 1 à 19 alors on additionne 2 · 19 + 1 à 42 pour compenser
= 202 − 81 = 202 − 92 = (20 − 9)(20 + 9) = 11 · 29
Méthode 3. Une variante aebiesque de Fermat
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Considérons le nombre 731. Le carré
√ le plus proche est 27 = 729. Les seuls diviseurs
premiers de 729 plus petits que 731 sont {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23}. L’idée générale
consiste à écrire 731 sous la forme 731 = (27 − k)(27 + k) + Rk , puis à éliminer tous
les diviseurs premiers qui divisent l’un des termes (27 − k) · (27 + k) et non l’autre Rk
(et réciproquement), en prenant k = 0,1,2,3,.. des valeurs entières successives...jusqu’à ce
qu’un éventuel diviseur premier commun apparaisse !
Exemple avec N = 731
731 = 272 + 2
donc 3 et 2 ne peuvent diviser 731
= 26 · 28 + 3
donc 13 et 7 ne peuvent diviser 731
= 25 · 29 + 6
donc 5 et 29 ne peuvent diviser 731
= 24 · 30 + 11
donc 11 ne peut diviser 731
= 23 · 31 + 18
donc 23 et 31 ne peuvent diviser 731
= 22 · 32 + 27
pas d’information supplémentaire
= 21 · 33 + 38
donc 19 ne peut diviser 731
= 20 · 34 + 51
or 34 et 51 sont divisibles par 17 donc 731 l’est aussi
D’où 731 = 17 · 43
Remarque. Pour passer d’un Rk à Rk+1 il est aisé de montrer que l’on additionne le k e
nombre impair. Donc pour obtenir la suite des Rk = {2; 3; 6; 11; 18; 27; 38; 51} il suffit de
partir de 2 et d’additionner dans l’ordre les termes de la suite des impairs consécutifs.
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Méthode 4. Encore une variante. . . pour des nombres< 1369 = 372
L’idée de base consiste à la fois à utiliser les critères de divisibilités par 2,3,5,7,11 et
les trois égalités suivantes : 13 · 17 = 152 − 22 = 221, 19 · 23 = 212 − 22 = 437 et
29 · 31 = 302 − 1 = 899.
Prenons N = 857 : d’abord l’on voit que N ne vérifie pas l’un des critères ci-dessus.
Puis, par de simples calculs N = 22 · 221 + 33 donc N ne peut être divisible par 13 ou 17.
De même N = 2 · 437 − 17 donc non divisible par 19 et 23.
et enfin, N = 901 − 22 · 11. Donc N est premier ! En résumé, au maximum, trois petits
calculs permettent de factoriser relativement aisément tout entier < 372
Méthode 5. Euler et la somme de deux carrés
En deux mots, elle permet de factoriser un nombre N si ce dernier peut s’écrire sous la
forme d’une somme de deux carrés de deux manières différentes. Supposons donc qu’un
nombre impair N puisse s’écrire sous la forme a2 + b2 = N = c2 + d2 avec a et c pairs. On
en déduit deux fractions réductibles que l’on met sous forme réduite
a−c
d+b
u
=
=
d−b
a+c
v
D’où les entiers k et l tous deux pairs tels que a − c = ku, d − b = kv, d + b = lu et
a + c = lv. On exprime a,b,c et d par rapport à k,l,u et v : 2a = lv + ku, 2b = lu − kv,
2c = lv − ku et 2d = lu + kv que l’on substitue dans
8N =(2a)2 + (2b)2 + (2c)2 + (2d)2 = 2(l2 v 2 + k 2 u2 + l2 u2 + k 2 v 2 )
=2(l2 (v 2 + u2 ) + k 2 (u2 + v 2 )) = 2(u2 + v 2 )(k 2 + l2 )
D’où u2 + v 2 (qui est plus grand que 8) divise 4N .
Exemples. 1) Dans une lettre datée du 2 août 1641, Frenicle soumet à Fermat le problème
de factoriser 221, sachant que 221 = 142 + 52 = 102 + 112 . Dans ce cas, l’on a alors :
14−10
= 46 = 23 d’où u2 + v 2 = 22 + 32 = 13 qui divise bien 221.
11−5
2) Chez Euler [E228], on trouve l’exemple : 1000009 = 10002 + 32 = 9722 + 2352 que je
vous laisse le soin de factoriser à présent !
Remarque. L’inconvénient de la méthode précédente est que N doit être divisible par deux
nombres premiers distincts de la forme 4n+1, pour qu’il puisse s’écrire sous la forme d’une
somme de deux carrés de deux manières différentes.
Méthode 6. Encore Euler et la somme de deux carrés !
Dans E228 Euler démontre que si un entier impair non carré s’écrit de manière unique
sous la forme d’une somme de deux carrés premiers entre eux alors il est premier. Il
s’agit donc d’un critère de ’primalité’ et non une méthode de décomposition en facteurs
premiers.
Exemples. 1009 est premier car 1009 = 312 + 48 = 302 + 109 = 292 + 168 = 282 + 152 =
272 + 280 = 262 + 333 = 252 + 384 = 242 + 433 = 232 + 480 = 222 + 525. Pour passer du
2e terme au 2e suivant dans la liste il suffit d’additionner des nombres impairs consécutifs
(décroissants). Il est évident que ceux qui se terminent par 2 ;3 ;7 ou 8 ne peuvent être
des carrés. De même un carré ne peut se terminer par un seul 0.
C. Aebi, Collège Calvin, CH-1211