Construction de la triangulation de Delaunay de segments par un algorithme de flip Mathieu Brévilliers Laboratoire LMIA Université de Haute-Alsace Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 1 / 42 Triangulation de points Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 2 / 42 Triangulation de points Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 3 / 42 Triangulation de points Théorème Pour tout ensemble S de n sites, soit n′ le nombre de sites sur la frontière de l’enveloppe convexe de S. Toute triangulation de S admet : 2n − n′ − 2 faces et 3n − n′ − 3 arêtes. Exemples où n = 8 et n′ = 6 : 8 faces et 15 arêtes Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 4 / 42 Triangulation de Delaunay Triangulation quelconque Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 5 / 42 Triangulation de Delaunay Triangulation quelconque Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Triangulation de Delaunay Soutenance de thèse 9 décembre 2008 5 / 42 Triangulation de Delaunay Triangulation quelconque Triangulation de Delaunay Régularité La triangulation de Delaunay maximise le minimum des angles des triangles. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 5 / 42 Algorithme de flip Une triangulation quelconque de S ⇓ Modifications locales ⇓ Triangulation de Delaunay de S Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 6 / 42 Algorithme de flip Une triangulation quelconque de S ⇓ Modifications locales ⇓ Triangulation de Delaunay de S 1 Comment savoir si la triangulation courante est de Delaunay ? 2 Quelles sont les modifications locales à effectuer ? 3 L’algorithme converge-t-il vers la triangulation de Delaunay ? Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 6 / 42 Légalité d’une arête Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 7 / 42 Légalité d’une arête t u r s Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 7 / 42 Légalité d’une arête Arête légale Arête illégale t t u r u r s Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) s Soutenance de thèse 9 décembre 2008 7 / 42 Légalité d’une arête Arête légale Arête illégale t t u r u r s s Théorème La triangulation de Delaunay de S est la seule triangulation de S dont toutes les arêtes sont légales. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 7 / 42 Modifications locales Arête illégale t u r s Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 8 / 42 Modifications locales Arête illégale t t u r s s Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) u r Soutenance de thèse 9 décembre 2008 8 / 42 Modifications locales Arête illégale t t u r s s Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) u r Soutenance de thèse 9 décembre 2008 8 / 42 Modifications locales Arête illégale Arête légale t t u r s s Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) u r Soutenance de thèse 9 décembre 2008 8 / 42 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 9 / 42 Convergence de l’algorithme Un flip d’arête doit améliorer la triangulation. Observation du relèvement de la triangulation courante sur un paraboloïde de dimension trois. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 10 / 42 Convergence de l’algorithme Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 11 / 42 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 12 / 42 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 12 / 42 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 12 / 42 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 12 / 42 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 12 / 42 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 12 / 42 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 12 / 42 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 12 / 42 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 12 / 42 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 12 / 42 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 12 / 42 Triangulation de segments Définition Une triangulation de segments T de S est une partition de l’enveloppe convexe conv(S) de S en sites, faces et arêtes tels que : 1 Chaque face de T est un triangle ouvert dont les sommets sont sur trois sites de S distincts et dont les côtés ouverts ne coupent pas S, 2 Aucune face ne peut être ajoutée sans couper une face déjà existante, 3 Les arêtes de T sont les composantes connexes de conv(S) \ (F ∪ S), où F est l’union des faces de T . Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 13 / 42 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 14 / 42 Propriétés topologiques Triangulation de segments S4 S7 S6 S1 S5 S8 S3 S2 Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 15 / 42 Propriétés topologiques Triangulation de segments S4 S4 S7 S7 S6 S1 Graphe S5 S1 S5 S8 S8 S3 S6 S3 S2 Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) S2 Soutenance de thèse 9 décembre 2008 15 / 42 Propriétés topologiques Triangulation de segments S4 S4 S7 S7 S6 S1 Graphe S5 S1 S5 S8 S8 S3 S6 S3 S2 Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) S2 Soutenance de thèse 9 décembre 2008 15 / 42 Propriétés topologiques Triangulation de segments S4 S4 S7 S7 S6 S1 Graphe S5 S1 S5 S8 S8 S3 S6 S3 S2 Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) S2 Soutenance de thèse 9 décembre 2008 15 / 42 Propriétés topologiques Triangulation de segments S4 S4 S7 S7 S6 S1 Graphe S5 S1 S5 S8 S8 S3 S6 S3 S2 Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) S2 Soutenance de thèse 9 décembre 2008 15 / 42 Propriétés topologiques Théorème Pour tout ensemble S de n sites, soit n′ le nombre de côtés de l’enveloppe convexe de S qui sont pas des sites. Toute triangulation de segments de S admet : 2n − n′ − 2 faces et 3n − n′ − 3 arêtes. Exemples où n = 8 et n′ = 5 : 9 faces et 16 arêtes Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 16 / 42 Propriétés topologiques Triangulation de segments S4 S4 S7 S6 S1 Carte combinatoire S5 S8 S3 S1 S7 S5 S6 S3 S2 S2 Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) S8 Soutenance de thèse 9 décembre 2008 17 / 42 Propriétés topologiques Triangulations de segments S4 S7 S6 S1 Carte combinatoire S8 S5 S3 S4 S2 S1 S4 S7 S5 S6 S3 S7 S8 S2 S6 S1 S5 S8 S3 S2 Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 18 / 42 Triangulation de Delaunay de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 19 / 42 Triangulation de Delaunay de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 20 / 42 Triangulation de Delaunay de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 20 / 42 Triangulation de Delaunay de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 20 / 42 Lien avec le diagramme de Voronoï de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 21 / 42 Lien avec le diagramme de Voronoï de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 21 / 42 Lien avec le diagramme de Voronoï de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 21 / 42 Lien avec le diagramme de Voronoï de segments Théorème La triangulation de Delaunay de segments de S est duale du diagramme de Voronoï de segments de S. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 21 / 42 Légalité géométrique d’une arête Définition Une arête e est légale si les sites r , s, t et u ne rencontrent pas les intérieurs des cercles C1 et C2 . Exemples r u C1 t e u r C1 Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) t C2 C2 e s s Soutenance de thèse 9 décembre 2008 22 / 42 Légalité géométrique d’une arête Théorème La triangulation de Delaunay de segments de S est l’unique triangulation de segments de S dont toutes les arêtes sont géométriquement légales. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 23 / 42 Légalité géométrique d’une arête Théorème La triangulation de Delaunay de segments de S est l’unique triangulation de segments de S dont toutes les arêtes sont géométriquement légales. Et si une triangulation a la même topologie que celle de Delaunay ? Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 23 / 42 Légalité topologique d’une arête Les faces d’une triangulation... Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 24 / 42 Légalité topologique d’une arête Les faces d’une triangulation... Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) ...et leurs triangles de tangence Soutenance de thèse 9 décembre 2008 24 / 42 Légalité topologique d’une arête Exemple 1 e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 25 / 42 Légalité topologique d’une arête Exemple 1 Arête légale e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 25 / 42 Légalité topologique d’une arête Exemple 1 Arête légale e Exemple 2 Arête illégale e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 25 / 42 Légalité topologique d’une arête Remarque : le test des cercles vides n’est pas toujours suffisant. r e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 26 / 42 Légalité topologique d’une arête Remarque : le test des cercles vides n’est pas toujours suffisant. r e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 26 / 42 Légalité topologique d’une arête Définition Une arête e est topologiquement légale si les deux conditions suivantes sont réunies. Quand on considère les triangles de tangences des faces adjacentes àe: 1 les cercles circonscrits à ces triangles sont localement vides, 2 le polygone correspondant à la frontière de l’arête e est correctement orienté. e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 27 / 42 Légalité topologique d’une arête Théorème Une triangulation de segments dont toutes les arêtes sont légales a la même topologie que la triangulation de Delaunay de segments. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 28 / 42 Algorithme de flip : difficultés rencontrées Méthode 1 : Extension directe de l’algorithme de flip classique Flipper les arêtes qui sont géométriquement illégales. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 29 / 42 Algorithme de flip : difficultés rencontrées Méthode 1 : Extension directe de l’algorithme de flip classique Flipper les arêtes qui sont géométriquement illégales. Problème Si la triangulation courante a la même topologie que la triangulation de Delaunay de segments, alors l’algorithme effectue des modifications topologiques. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 29 / 42 Algorithme de flip : difficultés rencontrées Méthode 2 : utiliser la légalité topologique Flipper les arêtes qui sont topologiquement illégales. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 30 / 42 Algorithme de flip : difficultés rencontrées Méthode 2 : utiliser la légalité topologique Flipper les arêtes qui sont topologiquement illégales. Problème Le polygone associé à une arête topologiquement illégale n’est pas forcément convexe. e t v Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 30 / 42 Algorithme de flip : difficultés rencontrées Méthode 2 : utiliser la légalité topologique Flipper les arêtes qui sont topologiquement illégales. Problème Le polygone associé à une arête topologiquement illégale n’est pas forcément convexe. P e t v Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 30 / 42 Triangulations de S-polygones Un S-polygone Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 31 / 42 Triangulations de S-polygones Une triangulation de segments d’un S-polygone Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 31 / 42 Triangulations de S-polygones Une triangulation de Delaunay de segments d’un S-polygone Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 31 / 42 Algorithme de flip Au départ : une triangulation de segments de S. L’algorithme traite toutes les arêtes en boucle. Pour chaque arête, on calcule la triangulation de Delaunay de segments de son polygone associé. Exemple d’étape de l’algorithme e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 32 / 42 Fonctions localement convexes Fonction localement convexe Si U est une région de R2 , une fonction φ : U → R est localement convexe si la restriction de φ à chaque segment inclus dans U est convexe. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 33 / 42 Fonctions localement convexes Fonction localement convexe Si U est une région de R2 , une fonction φ : U → R est localement convexe si la restriction de φ à chaque segment inclus dans U est convexe. On note L(U) l’ensemble des fonctions φ : U → R qui sont localement convexes sur U. Enveloppe convexe inférieure d’une fonction Étant donnée une fonction f : U ∩ S → R, l’enveloppe convexe inférieure de f sur (U, S) est la fonction fU,S définie sur U par fU,S (x) = sup{φ(x) : φ ∈ L(U), ∀y ∈ U ∩ S, φ(y) ≤ f (y)}. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 33 / 42 Relèvements des triangulations de segments de U Théorème Si t est un triangle de Delaunay de U, alors fU,S est affine sur t. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 34 / 42 Relèvements des triangulations de segments de U Théorème Si t est un triangle de Delaunay de U, alors fU,S est affine sur t. Si t est un triangle inclus dans U, dont les sommets sont dans S, et sur lequel fU,S est affine, alors t est un triangle de Delaunay de U. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 34 / 42 Relèvements des triangulations de segments de U Théorème L’ensemble des triangles inclus dans U, dont les sommets sont dans S, et sur lesquels fU,S est affine est l’ensemble des faces d’une triangulation de segments de U. Cette triangulation est dite induite par fU,S . Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 34 / 42 Relèvements des triangulations de segments de U Théorème Une triangulation de segments de U est de Delaunay si et seulement si elle est induite par fU,S . Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 34 / 42 Relèvements des triangulations de segments de U Définition Soit T une triangulation de segments de U. La fonction fU,S,T : U → R est définie de la manière suivante : – fU,S,T (p) = f (p) si p est un point de S, – fU,S,T (p) = ft,S (p) si p est dans une face t de T , – fU,S,T (p) = fe,S (p) si p est dans une arête e de T . U t e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 35 / 42 Relèvements des triangulations de segments de U Théorème Si T est la triangulation de Delaunay de segments de U, alors fU,S,T = fU,S . Pour toute triangulation de segments T de U, fU,S,T ≥ fU,S . Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 35 / 42 Convergence de l’algorithme On note fn la fonction fconv (S),S,Tn correspondant à la triangulation Tn obtenue à une étape n de l’algorithme de flip. Théorème La suite de fonctions (fn )n∈N décroît vers fconv (S),S quand n tend vers +∞. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 36 / 42 Convergence de l’algorithme On note fn la fonction fconv (S),S,Tn correspondant à la triangulation Tn obtenue à une étape n de l’algorithme de flip. Théorème La suite de fonctions (fn )n∈N décroît vers fconv (S),S quand n tend vers +∞. Preuve : Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 36 / 42 Convergence de l’algorithme On note fn la fonction fconv (S),S,Tn correspondant à la triangulation Tn obtenue à une étape n de l’algorithme de flip. Théorème La suite de fonctions (fn )n∈N décroît vers fconv (S),S quand n tend vers +∞. Preuve : 1 Montrer que la suite (fn )n∈N est décroissante, Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 36 / 42 Convergence de l’algorithme On note fn la fonction fconv (S),S,Tn correspondant à la triangulation Tn obtenue à une étape n de l’algorithme de flip. Théorème La suite de fonctions (fn )n∈N décroît vers fconv (S),S quand n tend vers +∞. Preuve : 1 2 Montrer que la suite (fn )n∈N est décroissante, Montrer que la fonction g vers laquelle (fn )n∈N converge est localement convexe. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 36 / 42 Convergence de l’algorithme On note fn la fonction fconv (S),S,Tn correspondant à la triangulation Tn obtenue à une étape n de l’algorithme de flip. Théorème La suite de fonctions (fn )n∈N décroît vers fconv (S),S quand n tend vers +∞. Preuve : 1 2 Montrer que la suite (fn )n∈N est décroissante, Montrer que la fonction g vers laquelle (fn )n∈N converge est localement convexe. Proposition L’angle minimal de la triangulation courante Tn est supérieur ou égal à une valeur qui ne dépend que de la triangulation de segments initiale T0 . Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 36 / 42 Convergence de l’algorithme Corollaire Il existe un entier N tel que, quel que soit n ≥ N, la triangulation Tn a la même topologie que la triangulation de Delaunay de segments de S. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 37 / 42 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 38 / 42 Exemple s v t u Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 38 / 42 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 38 / 42 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 38 / 42 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 38 / 42 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 38 / 42 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 38 / 42 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 38 / 42 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 38 / 42 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 38 / 42 Remarques sur le comportement de l’algorithme Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 39 / 42 Remarques sur le comportement de l’algorithme L’algorithme traite même les arêtes topologiquement légales, Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 39 / 42 Remarques sur le comportement de l’algorithme L’algorithme traite même les arêtes topologiquement légales, une arête peut être traitée plusieurs fois, Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 39 / 42 Remarques sur le comportement de l’algorithme L’algorithme traite même les arêtes topologiquement légales, une arête peut être traitée plusieurs fois, une arête topologiquement illégale n’est pas forcément immédiatement flippable, Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 39 / 42 Remarques sur le comportement de l’algorithme L’algorithme traite même les arêtes topologiquement légales, une arête peut être traitée plusieurs fois, une arête topologiquement illégale n’est pas forcément immédiatement flippable, une arête topologiquement légale peut être flippée, devenir illégale, et être à nouveau flippée plus tard pour redevenir légale. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 39 / 42 Remarques sur le comportement de l’algorithme L’algorithme traite même les arêtes topologiquement légales, une arête peut être traitée plusieurs fois, une arête topologiquement illégale n’est pas forcément immédiatement flippable, une arête topologiquement légale peut être flippée, devenir illégale, et être à nouveau flippée plus tard pour redevenir légale. La complexité de cet algorithme de flip est donc difficile à évaluer. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 39 / 42 Résultats expérimentaux Nombres d'étapes en fonction du nombre de sites de S 1 600 000 1 400 000 Nombre d'étapes 1 200 000 1 000 000 800 000 600 000 400 000 200 000 2 0 00 4 4 00 4 6 00 4 8 00 10 4 00 12 4 00 14 4 00 16 4 00 18 4 00 20 4 00 22 4 00 24 4 00 26 4 00 28 4 00 30 4 00 32 4 00 34 4 00 36 4 00 38 4 00 40 4 00 4 0 Nombre de sites Nombre d'étapes "utiles" Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Nombre total d'étapes Soutenance de thèse Nombre de flips 9 décembre 2008 40 / 42 Résultats expérimentaux Nombre d'arêtes illégales en fonction du nombre d'étapes effectuées 30 000 Nombre d'arêtes illégales 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 10 00 80 0 0 15 00 0 0 22 00 0 00 29 0 0 0 36 00 0 0 43 00 0 0 50 00 0 0 57 00 0 0 64 00 0 0 71 00 0 00 78 0 0 0 85 00 0 0 92 00 0 0 99 00 0 1 0 06 00 0 1 0 13 00 0 1 0 20 00 0 1 00 27 0 0 1 0 34 00 0 1 00 41 0 0 00 0 0 Nombre d'étapes Nombre d'arêtes illégales Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 40 / 42 Conclusion Nouvelle généralisation de la notion de triangulation d’un ensemble de segments, Extension de la légalité des arêtes pour caractériser la triangulation de Delaunay de segments, Algorithme de flip pour construire la triangulation de Delaunay de segments. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 41 / 42 Conclusion Nouvelle généralisation de la notion de triangulation d’un ensemble de segments, Extension de la légalité des arêtes pour caractériser la triangulation de Delaunay de segments, Algorithme de flip pour construire la triangulation de Delaunay de segments. Perspectives : Amélioration de l’algorithme de flip, Optimalité de la triangulation de Delaunay de segments, Sites plus généraux, Généralisation en 3D. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 41 / 42 Exemple avec 5 000 sites Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 42 / 42 Exemple avec 5 000 sites Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 42 / 42 Exemple avec 5 000 sites Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Soutenance de thèse 9 décembre 2008 42 / 42