Devoir surveillé n 3 A : électromagnétisme

MP 2016-2017
Parc des loges
Devoir surveillé n◦3 A : électromagnétisme
−
−
→−
→→
−−→
−
→
→
−
−
→
On rappelle que rot rot F = grad div F − ∆ F quelque soit le vecteur F .
On donne les valeurs numériques suivantes : ε0 = 8, 84.10−12 F.m−1 et µ0 = 4π.10−7 H.m−1
On rappelle l'expression du laplacien en coordonnées cylindriques :
1 ∂
∆V =
r ∂r
(
)
∂V
1 ∂ 2V ∂ 2V
r
+ 2 2 +
∂r
r ∂θ
∂z 2
◦
Problème n I : étude d'un cable coaxial
Le cable coaxial est très utilisé, notamment en TP. On a photographié un cable que l'on a sectionné an
de comprendre son principe de fonctionnement :
Une partie importante des points sera attribuée aux applications numériques que vous réaliserez en
utilisant la photographie du cable coaxial.
Le cable est composé de 4 zones :
• l'enveloppe extérieure en plastique (qui ne nous intéressera pas ici)
• l'âme du cable, cylindre de rayon r1 constituée d'un matériau parfaitement conducteur.
• la gaine, conducteur périphérique parfait de rayon intérieur r2 et de rayon extérieur r3 .
• l'isolant qui isole l'âme de la gaine. C'est un matériau diélectrique qui occupe l'espace compris entre
r1 et r2 . Ce matériau a une permittivité diélectrique ε0 et une perméabilité magnétique µ0 .
On étudie en régime statique un cable coaxial de longueur ℓ ≫ r3 parcouru par un courant I.
On schématise le cable coaxial ainsi :
1
Devoir surveillé n◦ 3
gaine
gaine
r3
−
→
eθ
r2
r1
r1
−
→
er
r2
ame
ame
z
r3
isolant
Vue de côté
Cable en perspective
1 Etude du champ électrique
On considère dans cette partie que l'âme est maintenue au potentiel U alors que le potentiel de la gaine
est nul. Le champ électrostatique est nul dans un conducteur à l'équilibre.
1.0 Identier les 4 zones A, B, C et D.
Rappeler les lois fondamentales locales de l'électrostatique. En déduire la loi liant le potentiel V(M) à
la densité volumique de charges ρ. Comment s'appelle cette loi ? Que devient-elle dans l'isolant que l'on peut
assimiler à du vide ?
1.2 Résoudre cette équation dans l'espace r ∈ [r1 ; r2 ] en tenant compte des conditions limites.
1.1
1.3
En déduire l'expression du champ électrique dans l'isolant. Montrer que ce champ est radial.
−
→
On rappelle les relations de passage exprimant la discontinuité de E à travers une interface chargée
surfaciquement :
1.4
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
σ −→
E N2 − E N1 = n12 et E T2 − E T1 = 0
ε0
En déduire que les interfaces âme/isolant en r1 et isolant/gaine en r2 comportent des charges surfaciques
σ1 et σ2 à déterminer. On précisera le signe de ces charges.
En déduire les charges totales présentes sur l'âme et la gaine. Vérier que le cable est électriquement et
globalement neutre.
1.5 Déduire des questions précédentes la capacité du cable.
On dénit alors la capacité par unité de longueur du cable.
1.6 Evaluer la valeur (et l'unité !) de Γ.
Rappeler l'expression de l'énergie volumique du champ électrique.
Intégrer cette expression dans tout le cable pour en déduire l'énergie WE du champ électrique du cable
1.7
coaxial. Cette énergie est WE =
1
Q2
= CU2 . Retrouver alors l'expression de C.
2C
2
2 Etude du champ magnétique
On considère dans cette partie que l'âme est parcourue par un courant uniforme d'intensité I dirigé selon
→
−
−
→
ez alors que la gaine est parcourue par un courant d'intensité -I selon ez . On considère maintenant et jusqu'à
la n du problème que l'âme et la gaine sont d'épaisseur très faible.
2.1 Déterminer par symétrie la direction et les variables dont dépend le champ magnétique.
En appliquant le théorème d'Ampère à un contour que l'on précisera, déterminer la fonction B(r)
quelque soit r ∈ [r1 ; r2 ].
2.3 Rappeler l'expression de l'énergie volumique du champ magnétique.
2.2
2
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Intégrer cette expression dans tout le cable pour en déduire l'énergie WB du champ magnétique du cable
1
coaxial. Cette énergie est WB = LI2 . Déterminer alors l'expression de L.
(
2
On dénit alors l'inductance par unité de longueur du cable. Montrer qu'elle s'écrit : Λ =
2.4
µ0 ln
r2
r1
)
2π
Evaluer la valeur (et l'unité !) de Λ.
3 Bilan énergétique
3.1
−
→
Rappeler la dénition du vecteur de Poynting Π . On rappelle que ce vecteur obéit à l'équation locale :
→
−
→
→
− −
∂uem
div Π +
= − j .E
∂t
→
→
− −
Préciser à quoi correspondent les termes uem et j . E .
Intégrer cette équation sur un volume V xe et interpréter les diérents termes.
Ecrire l'équation si on se place dans un isolant. Rappeler une équation analogue.
3.2 Calculer le vecteur de Poynting dans le cable coaxial en utilisant les résultats des deux premières parties.
Préciser sa direction. On considérera que l'âme et la gaine ont une épaisseur très faible.
3.3 Calculer le ux du vecteur de Poynting à travers une section du cable coaxial. Montrer que ce ux
s'écrit Φ = UI. Commenter.
Problème II : étude d'une plaque de cuivre
a
a
On considère une couche plane innie contenue entre les plans z = − et z = . Cette plaque est composée
2
2
de cuivre de perméabilité µ0 = 4π.10−7 H.m−1 , de permittivité ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1 et de conductivité
électrique γ = 6.107 S.m−1 .
z
a
!j
y
x
A. Etude du régime permanent
−
→
→
On considère que la couche plane innie est soumise à un champ électrique uniforme et constant E = E−
ex .
−
→
1. Par des considérations de symétrie, déterminer la direction du champ magnétique B ainsi que les
variables dont il dépend. Etudier la parité du champ magnétique.
−
→
2. Déterminer B en appliquant le théorème d'Ampère.
−
→
3. Retrouver B par les équations de Maxwell.
4. Calculer la densité volumique de puissance dissipée dans la plaque par eet Joule.
−
→ −
→
5. Calculer le vecteur de Poynting et représenter ce vecteur ainsi que E et B sur un dessin.
6. Rappeler l'expression du bilan global macroscopique d'énergie électromagnétique sachant que l'équation locale de Poynting s'écrit
→
−
→ ∂uem
−
→−
= − j .E
div Π +
∂t
Montrer que ce bilan est ici vérié pour une largeur ∆x et une profondeur ∆y .
3
Devoir surveillé n◦ 3
B. Etude du régime variable
On n'applique plus de champ électrique uniforme et constant dans cette partie mais la plaque sera soumise
à un champ magnétique sinusoïdal de pulsation ω .
1. Rappeler les expressions de la loi d'Ohm, de l'équation de Maxwell-Gauss et de l'équation locale de
conservation de la charge.
Supposons qu'en un point du conducteur, existe à t = 0, une densité volumique de charge initiale ρ0 .
A partir des trois équations donner ρ(t) à un instant quelconque et montrer que la densité initiale de
charge disparaît en un temps caractéristique dont on donnera l'expression et la valeur numérique.
On prendra ρ = 0 dans la suite.
−
→
∂E
dit "courant de déplacement" de l'équation de Maxwell-Ampère peut être
2. Montrer que le terme ε0
∂t
négligé devant la densité volumique de courant pour des champs sinusoïdaux de pulsation ω < 1015
rad/s. Comment appelle-t-on cette approximation ?
3. Montrer que le champ magnétique, le champ électrique et la densité volumique de courant obéissent
à une équation de diusion du type :
−
→
−
→ ∂B
D∆ B =
∂t
Exprimer le coecient de diusion D en fonction de µ0 et γ . Donner la dimension de D.
On suposera que l'extrémité inférieure de la plaque est maintenant en z = 0. La plaque est soumise à
−
→
−
un champ magnétique variable extérieur uniforme B = B0 cos ωt→
ux pour z < 0.
−
→
−
→
→
−
On travaille en notation complexe c'est-à-dire que l'on cherche E et B sous la forme : E (M, t) =
−
→
−
→
−
→
E 0 (z) exp(iωt) et B (M, t) = B 0 (z) exp(iωt)
−
→
4. Déterminer B 0 (z) en introduisant une longueur caractéristique δ dont on donnera le nom et la si-
gnication physique. On fera l'hypothèse qu'une constante d'intégration est nulle c'est-à-dire que la
plaque est d'épaisseur très grande selon z .
5. Calculer δ pour une fréquence de 50 Hz (prise électrique) et pour une fréquence de 1 MHz (ondes
radio). L'hypothèse précédente est-elle valable pour une plaque de quelques centimètres ? En déduire
les conséquences pour les lignes à haute tension et les antennes radio.
Thermodynamique
Un calorimètre calorifugé, de capacité thermique C = 84 J.K−1 , contient une masse m1 = 530 g d'eau
liquide à la température t1 = 25◦ C. On y introduit une masse m2 = 49 g de glace à la température t2 = 0◦ C.
La température d'équilibre mesurée et tf = 16,5◦ C.
1. Exprimer puis calculer la chaleur latente massique de fusion lfus de l'eau, sous la pression atmosphérique.
2. Faire un bilan entropique.
Données :
• Capacité thermique de l'eau (liq) ceau = 4, 18 kJ.kg−1 .K−1
• Pour une phase condensée de capacité thermique C, on rappelle que l'entropie varie comme S(T) =
C ln T + Cte
4