Exos estimation 2008 - La Faculté des Sciences Sociales de l
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EXERCICES SEMESTRE 3 de la Licence mention Sciences Sociales SOC 90C - Statistiques - Novembre 2007 - J. Igersheim Contrôle continu n°1 - 1h 30 Ex1 (8 points): La machine à café de ma brasserie préférée est calibrée sur 8 cl. Mais ma tasse ne contient jamais exactement 8 cl de café. Son contenu suit une loi normale d'espérance 8 cl et d’écart-type 2 cl. 1) Si je mesure le contenu en café de ma tasse, calculer la probabilité pour qu’elle contienne : - moins de 9 cl de café, - moins de 7,5 cl de café, - plus de 5 cl de café, - entre 6,5 cl et 8,5 cl de café. Donner un intervalle centré sur l’espérance mathématique dans lequel on a 95,44 % de probabilité de trouver le contenu en café de ma tasse. 2) Nous sommes un groupe de 8 personnes à avoir commandé une tasse de café. Quelle loi de probabilité suit la somme du contenu en café de nos tasses ? Calculer la probabilité pour que cette variable aléatoire soit comprise entre 56 et 68 cl. Ex2 ( 12 points): Un journal titre « 56% des jeunes ayant entre 15 et 24 ans déclarent utiliser internet pour leur travail ou leurs études ». 1) En interrogeant un jeune de cet âge, quelle variable aléatoire peut-on mettre en place ? 2) En interrogeant un échantillon de 6 jeunes, quelle loi de probabilité suit le nombre de jeunes utilisant internet pour leur travail ou leurs études dans un tel échantillon (justifiez votre réponse). Quelles sont les valeurs prises par cette variable et les probabilités correspondantes (donner la formule sans effectuer les calculs) ? Donner l’espérance mathématique et l’écart type de cette loi ? A votre avis où se situe la valeur la plus probable (pas de calcul mais en justifiant votre réponse) Calculer la probabilité pour que l’on trouve 4 jeunes et plus utilisant internet pour leur travail ou leurs études dans un tel échantillon ? 3) J’ai interrogé un échantillon de 997 jeunes, quelle est la loi du nombre de jeunes utilisant internet pour leur travail ou leurs études dans un tel échantillon. Quelles valeurs peut-elle prendre avec quelles probabilités (sans faire les calculs) ? Donner l’espérance mathématique et l’écart-type. Pourquoi peut-on approcher cette loi par une loi Normale et laquelle ? (justifier votre réponse) SOC 90C - Statistiques - Janvier 2008 - J. Igersheim Dispensés - Contrôle continu n°2 - 1h 30 Une enquête sur les nouvelles technologies a été menée durant l’année 2005/2006 par les étudiants de Marc Bloch dans le cadre de l’enquête inter année. Il avait été décidé d’interroger des jeunes de 15 à 24 ans habitant dans le Bas Rhin. 997 jeunes ont été interrogés. Dans cet examen, nous nous intéressons à l’usage d’internet par les jeunes. La presque totalité (98%) des jeunes interrogés ont déjà utilisé Internet soit 975 sur les 997 jeunes interrogés. Ex. 1 : (10 points) Nous leur avons demandé combien d’heures ils avaient passé sur internet la dernière semaine : 911 ont donné une réponse différente de 0. On s’intéresse aux jeunes qui ont passé au moins 1 minute sur internet. 1 Les 911 étudiants concernés ont passé en moyenne 10,2H sur internet dans la semaine avec un écart type observé de 12,6H. 1) (2 points) Que pensez-vous de la valeur de l’écart-type ? La médiane est de 6heures. Commentez l’histogramme de cette variable situé ci-dessous. 2) (8 points) Donner un intervalle d’estimation à 95% du nombre d’heures moyen passés sur internet dans une semaine en détaillant vos calculs (hypothèse, problème, résolution).Commentez le résultat ? (en français) Ex. 2 : (10 points) i) (8 points) Dans le questionnaire, nous avions énoncé un certain nombre de phrases pour mesurer leur degré de dépendance par rapport à Internet : « J’utilise Internet pour parler avec d’autres personnes lorsque je me sens isolé » a été cité par 43% des 997 jeunes utilisant internet (soit 424 jeunes qui sont d’accord avec cet énoncé). Donner un intervalle d’estimation à 96% du pourcentage de jeunes de la population étant d’accord avec cette phrase en détaillant vos calculs (hypothèse, problème, résolution). Commentez le résultat ? (en français) ii) (2 points) Sans faire tout le raisonnement, donner juste l’intervalle d’estimation à 95% du pourcentage de jeunes qui sont d’accord avec l’énoncé suivant : « Ma famille trouve que je passe trop de temps sur le net » sachant que dans cette enquête, 231 jeunes sur les 975 utilisant internet sont d’accord avec cette phrase. Commenter 2) (6 points) Donnez l’estimation à 90% du nombre moyen d’heures consacrées aux jeux vidéo dans la population en détaillant vos calculs (hypothèse, problème, résolution). Commentez (en français). 2 SOC 90C - Statistiques - Novembre 2006 - J. Igersheim Contrôle continu n°1 - 1h 30 Ex1 ( 13 points): En 2006, l’enquête portant sur les mensurations des français a montré que 26% des français sont en surpoids. 1) En interrogeant un français au hasard, quelle variable aléatoire peut-on mettre en place ? 2) En interrogeant un échantillon de 8 français, quelle loi de probabilité suit le nombre de français en surpoids dans un tel échantillon (justifiez votre réponse). Quelles sont les valeurs prises par cette variable et les probabilités correspondantes (donner la formule sans effectuer les calculs) ? Donner l’espérance mathématique et l’écart type de cette loi ? Sans faire de calculs, donnez les 2 valeurs les plus probables de cette variable aléatoire. Calculer la probabilité pour que l’on trouve entre 2 et 3 français en surpoids dans un tel échantillon ? 3) En interrogeant un échantillon de 200 personnes, quelle loi de probabilité exacte suit le nombre de français en surpoids dans un tel échantillon. Quelles valeurs peut-elle prendre? Peut-on approcher cette loi par une loi Normale et laquelle ? (justifier votre réponse) Sans faire de calcul mais en justifiant votre réponse, pensez vous qu’il est probable de trouver plus de 40 français en surpoids dans un tel échantillon 4) Comment peut s’expliquer le surpoids chez les hommes en France (sociologiquement) ? Ex2 ( 7 points): En 2006, cette même enquête portant a montré que la taille des françaises suit une loi normale d’espérance 162,5 cm avec un écart-type de 4 cm. 1) Si je mesure une femme française au hasard, calculer la probabilité pour qu’elle mesure - moins de 164 cm - moins de 160 cm - plus de 170 cm - entre 158,5 cm et 166,5 cm Donner un intervalle centré sur l’espérance mathématique dans lequel on a 95% de probabilité de trouver la taille d’une femme française 2) si je mesure 10 femmes françaises au hasard, quelle loi de probabilité suit la somme de leur taille. Calculer la probabilité pour que cette variable aléatoire soit comprise entre 1585 cm et 1665 cm SOC 90C - Statistiques - Janvier 2007 - J. Igersheim Dispensés - Contrôle continu n°2 - 1h 30 Exo 1 : (12 points) Une enquête sur les nouvelles technologies a été menée durant l’année 2005/2006 par les étudiants de Marc Bloch dans le cadre de l’enquête inter année. Il avait été décidé d’interroger des jeunes de 15 à 24 ans habitant dans le Bas Rhin. i) (9 points) Sur les 681 jeunes interrogés, 182, soit 26,7% de l’échantillon, ont déclaré jouer aux jeux vidéo de manière régulière (c'est-à-dire plusieurs fois par semaine). Donner un intervalle d’estimation à 95% du pourcentage de joueurs vidéo réguliers de la population en détaillant vos calculs (hypothèse, problème, résolution). Commentez le résultat ? (en français) ii) (3 points) Sans faire de calcul mais en donnant juste l’intervalle d’estimation à 95% et en commentant le résultat obtenu (différence entre filles et garçons), donner l’intervalle d’estimation du pourcentage de garçons qui jouent régulièrement à des jeux vidéo sachant que dans cette enquête, 153 garçons sur les 329 garçons interrogés jouent régulièrement à des jeux vidéo. Pourquoi l’intervalle de la question i) est plus étroit que l’intervalle de la question ii). 3 Ex3 (8 points) : Dans la même enquête que l’exercice 1, nous avons demandé aux 182 jeunes qui jouaient régulièrement à des jeux vidéo combien d’heures en moyenne ils jouaient par semaine. 178 ont donné une réponse. Les 178 étudiants concernés jouaient en moyenne 9,95H par semaine avec un écart type observé de 7,74H. 1) (2 points) L’histogramme de cette variable est sur la feuille suivante. Commentez-le en sachant que la médiane est égale à 6h et le mode à 7,5h. 2) (6 points) Donnez l’estimation à 90% du nombre moyen d’heures consacrées aux jeux vidéo dans la population en détaillant vos calculs (hypothèse, problème, résolution). Commentez (en français). SOC 90C - Statistiques - Novembre 2005 - J. Igersheim Contrôle continu n°1 - 1h 30 Ex1 ( 6 points): Une usine fabrique des barres métalliques de longueur 2m. La longueur d'une barre donnée n'est jamais exactement 2m. Elle suit une loi normale d'espérance 200 centimètres et d’écart-type 2,5cm. 1) Si je mesure une barre métallique au hasard, calculer la probabilité pour qu’elle mesure - moins de 203 cm - moins de 199 cm - plus de 198 cm - entre 199 cm et 203 cm Donner un intervalle centré dans lequel on a 95% de probabilité de trouver la taille d’une telle barre. 2) Sans faire de calcul, quelle est la probabilité de trouver une barre métallique dont la longueur est comprise entre 197,5 cm et 202,5cm. Ex2 ( 14 points): dans l’année universitaire 2004-2005, 1790 étudiants étaient inscrits à l’UFR des Sciences Sociales. 483 parmi eux étaient inscrits en première année, soit 27% de la population des étudiants de l’UFR. 1) En interrogeant un étudiant au hasard dans cette population, quelle variable aléatoire peut-on mettre en place ? 2) En interrogeant un échantillon de 7 étudiants, quelle loi de probabilité suit le nombre d’étudiants de première année dans un tel échantillon (justifiez votre réponse). Quelles sont les valeurs prises par cette variable et les probabilités correspondantes (donner la formule sans effectuer les calculs) ? Donner l’espérance mathématique et l’écart type de cette loi ? Sans faire de calculs, donnez les 2 valeurs les plus probables de cette variable aléatoire. Calculer la probabilité pour que l’on trouve entre 2 et 3 étudiants de première année dans un tel échantillon ? 3) En interrogeant un échantillon de 100 personnes, quelle loi de probabilité exacte suit le nombre d’étudiants de première année dans un tel échantillon. Quelles valeurs peut-elle prendre? Peut-on approcher cette loi par une loi Normale et laquelle ? (justifier votre réponse) Sans faire de calcul mais en justifiant votre réponse, pensez vous qu’il est probable de trouver plus de 40 étudiants de première année dans un tel échantillon 4 SOC 90C - Statistiques - Décembre 2005 Contrôle continu n°2 - 1h 30 Exo 1 : (11 points) « Mondialisation : 52% des français la redoutent » Cette information est tirée du journal « LIBERATION » du lundi 12/12/2005 et c’est le résultat d’un sondage réalisé par l’Institut BVA, par téléphone du 2 au 3 décembre, auprès d’un échantillon de 950 personnes de 18 ans et plus. i) (8 points) Donner un intervalle d’estimation à 94% du pourcentage de français qui redoutent la mondialisation en détaillant vos calculs (hypothèse, problème, résolution). Commentez le résultat ? (en français) ii) (3 points) Sans faire de calcul mais en donnant juste l’intervalle d’estimation à 94% et en commentant le résultat obtenu, donner l’intervalle d’estimation du pourcentage de salariés qui redoutent la mondialisation sachant que dans cette enquête, 55% des 480 salariés (ouvriers, employés, cadres) interrogés redoutent la mondialisation. Comparer les 2 intervalles. Ex2 (9 points) : Une enquête sur l’équipement informatique des étudiants a été menée en 2003. Environ 9500 étudiants au total étaient inscrits à l’Université Marc BLOCH cette année là en premier et deuxième cycle. Nous avons interrogé entre mars et juin 2003 des étudiants de Marc Bloch qui étaient présents dans les cours ou travaux dirigés de premier et deuxième cycle, soit 778 étudiants. J’ai calculé le nombre d’années de retard (par rapport à l’âge « normal ») des étudiants inscrits en premier et deuxième cycle dans cette enquête. Sur les 778 étudiants concernés j’ai observé un retard moyen de 1,29 ans avec un écart-type de 1,72 ans. Donnez l’estimation à 95% du nombre d’années de retard des étudiants dans la population des étudiants de Marc BLOCH. Commentez (en français). SOC 90C - Statistiques - janvier 2005 - J. Igersheim Début janvier, des étudiants de DEUG de l’université de Marc BOCH présents en cours ont répondu à quelques questions sur leur soirée du 31 décembre. Au total 364 étudiants ont répondu au questionnaire. On compte environ 6 850 étudiants inscrits en DEUG à Marc Bloch. Ex1 (8 points): 70% des étudiants de DEUG à l’Université Marc Bloch sont des filles. 1) En interrogeant un échantillon de 9 étudiants, quelle loi de probabilité suit le nombre de filles dans un tel échantillon. Quelles sont les valeurs prises par cette variable et les probabilités correspondantes (donner la formule sans effectuer les calculs) ? Donner l’espérance mathématique et l’écart type de cette loi ? Calculer la probabilité pour que l’on trouve plus de 7 filles dans un tel échantillon ? 2) En interrogeant un échantillon de 364 étudiants, quelle loi de probabilité exacte puis approchée suit le pourcentage de filles dans un tel échantillon. Quelles valeurs peut-elle prendre? Calculer la probabilité pour que l’on trouve plus de 75% de filles dans un tel échantillon Donner un intervalle centré sur l’espérance mathématique comprenant 95% de probabilité. 3) J’ai observé 279 filles soit 75,8%. Que pouvez-vous dire de cet échantillon ? ( les 364 personnes interrogés l’ont été en cours de DEUG de SSPSD) Ex2 (6 points) Une question portait sur le lieu où ils ont passé la soirée du réveillon. La réponse la plus fréquente est « chez des amis ». i) 117 étudiantes sur les 279 filles interrogées ont déclaré avoir réveillonné « chez des amis » soit 41,9%. Donner l’estimation à 95% du pourcentage d’étudiantes qui ont fêté le réveillon « chez des amis » parmi l’ensemble des étudiantes de premier cycle de Marc Bloch. ii) 32 étudiants sur les 88 étudiants interrogés ont déclaré avoir réveillonné « chez des amis » soit 36,4%. Sans refaire tout le raisonnement, donner l’estimation à 95% du pourcentage d’étudiants qui ont fêté le réveillon « chez des amis » parmi l’ensemble des étudiants de premier cycle de Marc Bloch. iii) Comparer ces deux intervalles. Pouvez vous en conclure que les étudiantes de premier cycle de Marc Bloch sont plus nombreuses que leurs homologues garçons à fêter le réveillon « chez des amis » ? Ex3 (6 points) 5 Une autre question portait sur le montant des dépenses pour la soirée du réveillon. La réponse la plus faible a été de « 0 euro » et la plus forte de « 200 euros ». i)Les 364 étudiants interrogés ont dépensé en moyenne 23,4 euros avec un écart-type observé de 31,6 euros. Donnez l’estimation à 93% de la dépense moyenne des étudiants de premier cycle de L’université Marc Bloch. commenter ii) Commenter les distributions de dépense des filles et des garçons avec les renseignements portés sur la page suivante (sans faire d’estimation) Voici l’histogramme de la dépense des garçons : les 88 garçons ont dépensé en moyenne 29 euros avec un écart-type observé de 40,5 euros Voici l’histogramme de la dépense des filles: les 276 filles ont dépensé en moyenne 21,6 euros avec un écart-type observé de 28 euros SOC 90C - Statistiques - septembre 2005 - J. Igersheim Ex1 (8 points): Dimanche 29 mai 2005 lors du référendum sur le projet de traité constitutionnel européen, 54,7% des électeurs ont voté pour le "non", contre 45,3% pour le "oui". Le taux de participation a atteint près de 70%. 1) En interrogeant un échantillon de 8 votants, quelle loi de probabilité suit le nombre de votants pour le oui au traité constitutionnel européen dans un tel échantillon. Quelles sont les valeurs prises par cette variable et les probabilités correspondantes (donner la formule sans effectuer les calculs) ? Donner l’espérance mathématique et l’écart type de cette loi ? Calculer la probabilité pour que l’on trouve plus de 4 dans un tel échantillon ? 2) En interrogeant un échantillon de 364 étudiants, quelle loi de probabilité exacte puis approchée suit le pourcentage de filles dans un tel échantillon. Quelles valeurs peut-elle prendre? Calculer la probabilité pour que l’on trouve plus de 75% de filles dans un tel échantillon 6 Donner un intervalle centré sur l’espérance mathématique comprenant 95% de probabilité. 3) J’ai observé 279 filles soit 75,8%. Que pouvez-vous dire de cet échantillon ? ( les 364 personnes interrogés l’ont été en cours de DEUG de SSPSD) l’enquête réalisée par l’Institut Louis Harris pour Libération et publiée le 22 mai 2005, 52% des français se disent prêts à rejeter le traité sur la constitution européenne. Ce sondage a été réalisé le 20 et 21 mai 2005 auprès d’un échantillon de 1006 personnes représentatif de la population française. Exercice 2 (5 points): En cherchant sur Internet des renseignements sur ce sondage, j’ai trouvé mentionné que 27% (272 personnes) des personnes interrogées, inscrites sur les listes électorales et tout à fait certaines d’aller voter, n’ont pas exprimé d’intention de vote. Par conséquent, 382 ont dit NON sur les 734 personnes qui ont donné leur intention de vote soit 52%. 1. Pouvait-on au vu de ce sondage démontrer au risque de 5% que le non l’emporterait ? 2. Vous avez le résultat des élections, quelle est la valeur de p ? Les statistiques « mentent-elles » ? SOC 90C - Statistiques - janvier 2004 - J. Igersheim Une enquête sur l’équipement informatique des étudiants a été menée en 2003. 11 420 étudiants au total étaient inscrits à l’Université Marc BLOCH cette année là. Nous avons interrogé entre mars et juin 2003 des étudiants de Marc Bloch qui étaient présents dans les cours ou Travaux dirigés, soit 973 étudiants inscrits à l’Université. Ex1 (8 points): Dans la population des étudiants de l’Université Marc Bloch, 25% sont boursiers 1) En interrogeant un échantillon de 10 étudiants, quelle loi de probabilité suit le nombre d’étudiants boursiers dans un tel échantillon. Quelles sont les valeurs prises par cette variable et les probabilités correspondantes (donner la formule sans effectuer les calculs) ? Donner l’espérance mathématique et l’écart type de cette loi ? Calculer la probabilité pour que l’on trouve entre 2 et 3 étudiants boursiers dans un tel échantillon ? 2) En interrogeant un échantillon de 973 personnes, quelle loi de probabilité exacte puis approchée suit le pourcentage d’étudiants boursiers dans un tel échantillon. Quelles valeurs peut-elle prendre? Calculer la probabilité pour que l’on trouve - moins de 26,5 % d’étudiants boursiers dans un tel échantillon - plus de 23% d’étudiants boursiers dans un tel échantillon Donner un intervalle centré sur l’espérance mathématique comprenant 95% de probabilité. 3) Dans l’échantillon de 973 d’étudiants recueilli, j’ai observé 293 étudiants de premier cycle soit 30,1%. Que pouvez-vous dire de cet échantillon ? Ex2 (7 points) : A la question : « Possédez vous une connexion Internet sur votre ordinateur ou celui de vos parents », 66,8% ont répondu par l’affirmative. Cela vous étonne-t-il ? i) 170 étudiants sur les 286 étudiants boursiers interrogés ont une connexion soit 59,4%. Donner l’estimation à 95% du pourcentage d’étudiants boursiers qui ont une connexion Internet. ii) 463 étudiants sur les 662 étudiants non boursiers interrogés ont une connexion Internet chez eux ou leurs parents, soit 69,9%. Sans refaire tout le raisonnement mais en donnant quelques indications, donner l’estimation à 95% du pourcentage d’étudiants non boursiers qui ont une connexion Internet. iii) Comparer ces deux intervalles. Quelles conclusions pouvez-vous tirer ? Par rapport à l’exercice 1,3), que pouvez vous dire ? Ex3 (5 points) : A la question « Si vous n’avez pas de connexion Internet, combien seriez-vous prêt à dépenser par mois pour en avoir une ? » seuls 277 étudiants ont répondu. La dépense la plus faible proposée est de 1 euro, la plus forte de 87,5 euros. Quelle est l’étendue de l’échantillon ? Nous observons une dépense moyenne de 18,1 euros ans avec un écart-type observé de 9,8 euros. Donnez l’estimation à 95% (puis à 97%) de la somme moyenne que les étudiants seraient prêts à dépenser par mois pour avoir une connexion Internet. Commentez. 7 SOC 90C - STATISTIQUES - JANVIER 2003 En mai et juin 2002, un échantillon de 956 chefs de service des hôpitaux généraux de France ont été interrogés. Actuellement, il existe un malaise important chez les chefs de service et il s’agissait d’en connaître les causes. Ex1 (8 points): Dans la population des chefs de service de médecine en France, 25,7% sont des chirurgiens (chirurgie générale, vasculaire, gynécologues obstétriciens, …). 1) En interrogeant un échantillon de 7 chefs de service, quelle loi de probabilité suit le nombre de chirurgiens dans un tel échantillon. Quelles sont les valeurs prises par cette variable et les probabilités correspondantes (donner la formule sans effectuer les calculs) ? Donner l’espérance mathématique et l’écart type de cette loi ? Calculer la probabilité pour que l’on trouve 2 chirurgiens et moins dans un tel échantillon ? 2) En interrogeant un échantillon de 956 personnes, quelle loi de probabilité exacte puis approchée suit le pourcentage de chirurgiens dans un tel échantillon. Quelles valeurs peut-elle prendre? Calculer la probabilité pour que l’on trouve - moins de 28% de chirurgiens dans un tel échantillon - au moins 24% de chirurgiens dans un tel échantillon Donner un intervalle centré sur l’espérance mathématique comprenant 95% de probabilité. 3) Dans l’échantillon de 956 chefs de service recueilli, j’ai observé 281 chirurgiens soit 29,4%. Que pouvez-vous dire de cet échantillon ? Ex2 (5 points): A la question « Comment estimez-vous votre situation actuelle? », 26 médecins n’ont pas répondu. Sur les 940 chefs de service qui ont répondu à la question, 537 soit 57,1%, estiment leur situation défavorablement (de médiocre à franchement inadmissible) Donner l’estimation à 95% (puis à 94%) du pourcentage des chefs de service des hôpitaux généraux mécontents de leur situation actuelle à l’hôpital. Ex3 (7 points) : Dans l’échantillon, 279 chefs de service ont des spécialités difficiles telles la pédiatrie, la chirurgie, l’anesthésie réanimation, la gynécologie obstétrique, etc … qui sont des spécialités où il y a des jours de garde nombreux et du travail de nuit, ce qui conduit les jeunes médecins à délaisser ces spécialités. i) J’ai demandé l’âge de ces 279 chefs de service. L'âge moyen observé est de 52,7 ans et l’écart-type observé de 6,5 ans. Donnez l’estimation à 95% de l’âge moyen des chefs de service en France qui ont ces spécialités difficiles. Que peut-on en déduire ? ii) sur les 674 chefs de service qui ont d’autres spécialités moins difficiles, j’ai relevé un âge moyen observé de 51,2 ans et un écart-type observé de 7,2 ans. Sans refaire tout le raisonnement mais en donnant quelques indications, donnez l’estimation à 95% de l’âge moyen de ces chefs de service en France qui ont des spécialités moins pénibles. Que peut-on en déduire ? iii) Comparer ces deux intervalles. Quelles conclusions pouvez-vous tirer ? SOC 90C - STATISTIQUES - JANVIER 2002 En 1993, une enquête a été menée au sein de la faculté des Sciences Sociales sur la perception du Sida par les jeunes du Bas-Rhin et leur comportement à cet égard. Nous avons interrogé 406 jeunes de 18 à 24 ans du Bas-Rhin. Au moment où nous les avons interrogés, 51 personnes n’avaient pas encore eu de rapports sexuels. Exercice 1 : Dans le recensement de 1990, la proportion des habitants de la C.U.S. (Communauté Urbaine de Strasbourg) parmi les jeunes du Bas-Rhin âgés de 18 à 24 ans était de 48,3 %. 1) En interrogeant un échantillon de 8 jeunes âgés de 18 à 24 ans, en 1990, quelle est la loi du nombre de jeunes habitant la CUS dans un tel échantillon. Quelles sont les valeurs prises par cette variable et les probabilités correspondantes (donner la formule sans effectuer les calculs) ? Donner l’espérance mathématique et l’écart type de cette loi ? Calculer la probabilité de trouver entre 3 et 5 jeunes habitant la CUS dans un tel échantillon ? 2) En interrogeant 406 jeunes âgés de 18 à 24 ans, en 1990, quelle est la loi exacte puis approchée du pourcentage de jeunes habitant la CUS dans un échantillon de cette taille. Calculer la probabilité pour que ce pourcentage soit inférieur à 50% Calculer la probabilité pour que ce pourcentage soit supérieur à 45% Donner un intervalle centré contenant 95% de probabilité 3) Dans mon enquête effectuée sur cette population, sur les 406 jeunes interrogés, j’ai observé 208 jeunes qui habitaient la CUS. Que pouvez- vous en dire de la représentativité de l’échantillon sur cette variable? 8 Exercice 2 : Dans cette enquête, nous leur avions posé des questions sur leur attitude face au test du sida, questions auxquelles ont répondu 345 jeunes (ceux qui ont déjà eu une relation sexuelle). 93 jeunes parmi les 345 de notre échantillon ont déclaré avoir déjà effectué le test du Sida. Donner un intervalle d’estimation à 95% (puis à 90%) du pourcentage de jeunes ayant déjà effectué le test du sida dans la population (en effectuant toute le raisonnement). Exercice 3 : Est-ce que le fait de faire ou non un test est en liaison avec leur nombre de partenaires ? i) Les 93 jeunes qui ont déjà fait un test déclarent en moyenne 6,3 partenaires sexuels avec un écart-type observé de 5,2 partenaires. Donner un intervalle d’estimation à 95% du nombre moyen de partenaires sexuels parmi les jeunes ayant déjà fait un test. ii) Les 252 jeunes qui n’ont pas fait de test déclarent en moyenne 4,2 partenaires sexuels garçons avec un écart-type observé de 4,3 partenaires. Sans refaire tout le raisonnement donner un intervalle d’estimation à 95% du nombre moyen de partenaires sexuels parmi les jeunes n’ayant pas fait de test. iii) Comparer ces deux intervalles et commenter. SOC 90C - STATISTIQUES - JANVIER 2001 En mars et avril 2000, un échantillon de 851 maîtres de conférences universitaires-praticiens hospitaliers (MCU-PH) ou Professeurs universitaires-praticiens hospitaliers (PU-PH) ont été interrogés dans les Centres universitaires hospitaliers (CHU) de la France métropolitaine. Nous avons envoyé le questionnaire par courrier. Ces personnes ont une triple fonction : soins, enseignement et recherche. Ex1 (8 points): Dans la population des universitaires de médecine en France, 31,8 % travaillent dans des CHU parisiens (ref : Bulletin officiel décembre 2000). 1) En interrogeant un échantillon de 8 universitaires de médecine, quelle loi de probabilité suit le nombre de médecins travaillant dans des CHU parisiens dans un tel échantillon. Quelles valeurs peut-elle prendre? Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de cette variable. Calculer la probabilité pour que l’on trouve plus de 2 médecins travaillant dans des CHU parisiens dans un tel échantillon ? 2) En interrogeant un échantillon de 851 personnes, quelle loi de probabilité exacte puis approchée suit le pourcentage de médecins travaillant dans des CHU parisiens dans un tel échantillon. Quelles valeurs peut-elle prendre? Calculer la probabilité pour que l’on trouve - moins de 33% de médecins travaillant dans des CHU dans un tel échantillon - au moins 30% de médecins travaillant dans des CHU dans un tel échantillon Donner un intervalle centré sur l’espérance comprenant 95% de probabilité. 3) Dans l’échantillon de 851 universitaires recueilli, j’ai observé 206 médecins travaillant dans des CHU parisiens soit 24,2%. Que pouvez-vous dire de cet échantillon ? Ex2 (7 points): i) Dans l’échantillon de 851 universitaires recueilli, j’ai observé 705 PU-PH soit 82,8% de PU-PH (professeurs) et 146 MCU-PH (maître de conférences). Donner l’estimation à 95% du pourcentage de PU-PH dans la population des universitaires de France. ii) Sur les 200 universitaires interrogés ayant comme discipline la biologie, 107 sont des professeurs. Sans refaire tout le raisonnement mais en justifiant votre réponse, donner l’estimation à 95% du pourcentage de PU-PH dans la population des universitaires biologistes de France. iii) Comparez les deux intervalles et que pouvez vous en déduire. Ex3 (5 points) : Dans l’échantillon, j’ai pu calculer l’âge de nomination au poste de professeurs de 460 PU-PH. L'âge moyen observé de nomination au poste de professeur des 460 PU-PH de l’échantillon est de 44,8 ans et l’écart-type observé de 5,5 ans. Donnez l’estimation à 95% ( puis à 92%) de l’âge moyen de nomination au poste de professeur de la population des PU-PH en France. Que peut-on en déduire ? SOC 080 - STATISTIQUES - FEVRIER 1999 Exercice 1 : 9 Dans le Bas-Rhin, on sait que 31% des collégiens déclarent subir des violences au collège. 1) Si nous interrogeons un échantillon de 8 collégiens du Bas-Rhin, quelle loi de probabilité suit le nombre de collégiens ayant subi des violences dans un tel échantillon. Quelles valeurs peut-elle prendre. Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de cette variable. Calculer la probabilité pour qu’elle soit inférieure ou égale à 2 ? 2) Si nous interrogeons un échantillon de 164 collégiens du Bas-Rhin, quelle loi de probabilité exacte suit le pourcentage de collégiens ayant subi des violences dans un tel échantillon. Quelles valeurs peut-elle prendre. Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de cette variable. Donner la loi approchée. Calculer la probabilité pour que le pourcentage d’élèves ayant subi de la violence dans un tel échantillon soit inférieur à 34% ? supérieur à 26% ? Donner un intervalle centré sur l’espérance mathématique comprenant 95% de probabilité. 3) Dans un échantillon de 164 élèves de LEP (lycée technique professionnel), interrogés l’année dernière dans le cadre de l’enquête « violence à l’école », 57 de ces lycéens ont déclaré avoir subi de la violence dans ce lycée, que pouvez-vous en conclure ? Exercice 2 : Dans l’enquête sur la violence au collège, 164 élèves de LEP (lycée technique professionnel) ont été interrogés. 1) 23 lycéens ont déclaré avoir été frappé par un autre élève. Donnez l’intervalle d’estimation à 95 % ( à 90%) du pourcentage de lycéens qui sont frappés par un autre élève dans ce lycée. Commenter le résultat. 2) 42 élèves disent avoir frappé un autre élève. Sans refaire tous les calculs, mais en donnant quelques indications, donnez l’intervalle d’estimation à 95 % du pourcentage de lycéens qui ont frappé un autre élève dans ce lycée. Commenter le résultat. Exercice 3 : Dans cette même enquête, 94 lycéens sont en BEP. Leur âge moyen est de 17,6 ans avec un écart-type observé de 1 an. 1) Construire un intervalle d’estimation à 95% (puis à 92%) de l’âge moyen des lycéens en BEP dans ce lycée technique. 2) Si l’échantillon n’avait été que de 24 personnes, quelle méthode devrait-on employer (loi, estimation de σ, intervalle) ? SOC 080 - STATISTIQUES - FEVRIER 1996 Exercice 1 : Dans un échantillon de 205 étudiants des Sciences Sociales, dans une enquête sur les cadeaux de Noël qu’ils ont effectués en 1995, 203 ont répondu à la question « Combien avez-vous dépensé au total en cadeaux de Noël », on a relevé une dépense moyenne de 979,6 francs avec un écart-type observé de 748,2 francs. 1) Donnez un intervalle d’estimation à 95 % de la dépense moyenne en cadeau de tous les étudiants des Sciences Sociales. 2) si l’échantillon n’avait été que de 25 personnes, comment devriez vous procéder pour cette même estimation et quelle hypothèse auriez-vous dû formuler. Exercice 2 : En 1993, 27 % des élèves entrant en 6ème avaient déjà redoublé une classe dans le primaire. 1) En admettant que ce taux n’a pas changé en 1995/96, sur 10 enfants qui rentrent en 6ème, donner la loi de probabilité du nombre d’enfants qui ont déjà redoublé en entrant en 6 ème. Calculer la probabilité pour qu’au moins 2 enfants aient déjà redoublé parmi les 10. 2) Sur un échantillon de 120 enfants, donner la loi de probabilité du nombre d’enfants qui ont déjà redoublé en entrant en 6 ème, puis du pourcentage. Calculer la probabilité pour qu’au moins 25 % des enfants aient déjà redoublé parmi les 120. Exercice 3 : Une enquête sur la violence à l’école est effectuée actuellement à l’U.F.R. des Sciences Sociales. Un échantillon de 1029 collègiens de 6ème et de 3ème ont été interrogés à propos de la violence dans 8 collèges de Strasbourg. On leur a demandé comment empêcher la violence au collège. Parmi les 14 propositions, ils ont retenu en première position la modalité : « Les parents devraient s’occuper davantage de leurs enfants ». 1) 555 enfants avaient déclaré se sentir en sécurité au collège. Parmi ceux là, 188 ont choisi la proposition énoncée plus haut. Donnez une estimation à 95 % du pourcentage d’enfants des 8 collèges de Strasbourg qui retiendraient cette solution pour empêcher la violence au collège parmi ceux qui se sentent en sécurité au collège. 2) Sur les 456 collègiens qui ne se sentaient pas en sécurité au collège, 215 ont retenu cette même proposition. Sans refaire tout le raisonnement, donner la fourchette d’estimation à 95 % du pourcentage d’enfants des 8 collèges de 10 Strasbourg qui retiendraient cette solution pour empêcher la violence au collège parmi ceux qui ne se sentent pas en sécurité au collège. Comparer la avec la fourchette précédente et concluez. FEVRIER 96 Sujet 2 Exercice 1 : Avant le premier tour des élections présidentielles qui ont eu lieu le 24 avril 1988, un sondage IFOP Libération réalisé du 10 au 12 avril auprès d’un échantillon de 806 personnes donnait un pourcentage de votes en faveur de M. Chirac de 23,3%. i) A partir de ce résultat, donnez une estimation à 95 % (puis à 99 %) de la fréquence de personnes qui va voter M. Chirac aux élections présidentielles du premier tour. 2) M. Le Pen, dans ce même sondage, était crédité de 9,5 % des voix. Sans refaire tout le cheminement, donnez une estimation à 95 % de la fréquence de personnes qui va voter M. Le Pen aux élections présidentielles du premier tour. Pourquoi cette fourchette est-elle moins étendue que celle de M. Chirac ? Exercice 2 : M. Chirac obtenait lors du premier tour des élections présidentielles le 24 avril 1988, 19,95 % des voix. 1) Si un sondage avait été effectué le jour même des élections, sur un échantillon de 10 personnes, quelle aurait été la probabilité d’avoir 10 % de personnes et moins votant pour lui ? (justifier votre réponse). 2) Sur un échantillon de 1000 personnes, donner la probabilité d’avoir 10 % des personnes et moins votant pour lui ? (sans correction de continuité puis avec). L’écart entre les deux résultats est-il important ou non ? Pourquoi? 3) Par rapport à l’exercice 1, que représente le score de 19,95 % de M. Chirac ? Quelles conclusions pouvez-vous en tirer ? M. Le Pen a obtenu 14,38 % des voix aux élections. Qu’en déduisez-vous ? Exercice 3 : Une enquête sur l’application de la loi Evin a été effectuée au cours de l’année universitaire 1993-94 dans plusieurs sites universitaires à Strasbourg. 440 étudiants ont été interrogés et parmi eux 237 étaient des fumeurs. A la question « A quel âge avez-vous commencé à fumer », nous avons observé un âge moyen de 16,24 ans avec un écart-type de 1,68 ans. 1) Donnez une estimation à 95 % de l’âge moyen auquel les étudiants de Strasbourg ont commencé à fumer. 2) En Chimie, sur les 18 étudiants fumeurs, nous avons observé un âge moyen de 15,18 ans avec un écart-type de 2,63 ans. Quels sont les changements dans la méthode par rapport au 1) si l’on veut estimer l’âge moyen auquel les étudiants de chimie ont commencé à fumer ? Donner la fourchette d’estimation à 95 %. Comparer la avec la fourchette précédente. SOC 602 - STATISTIQUES - FEVRIER 1995 Exercice 1 : Avant le premier tour des élections présidentielles qui ont eu lieu le 24 avril 1988, un sondage Louis Harris réalisé pour l’Express et Radio-France le 8 et 9 avril auprès d’un échantillon de 997 personnes donnait un pourcentage de votes en faveur de M. Le Pen de 10 %. i) A partir de ce résultat, donnez une estimation à 95 % (puis à 99 %) de la fréquence de personnes qui va voter M. Le Pen aux élections présidentielles du premier tour. 2) M. Mitterrand, dans ce même sondage, était crédité de 40 % des voix. Sans refaire tout le cheminement, donnez une estimation à 95 % de la fréquence de personnes qui va voter M. Mitterrand aux élections présidentielles du premier tour. Pourquoi cette fourchette est-elle plus étendue que celle de M. Le Pen ? Eercice 2 : M. Le Pen obtenait lors du premier tour des élections présidentielles le 24 avril 1988, 14,38 % des voix. 1) Si un sondage avait été effectué le jour même des élections, sur un échantillon de 10 personnes, quelle aurait été la probabilité d’avoir 10 % de personnes et moins votant pour lui ? (justifier votre réponse). 2) Sur un échantillon de 1000 personnes, donner la probabilité d’avoir 10 % des personnes et moins votant pour lui ? (sans correction de continuité puis avec) . L’écart entre les deux résultats est-il important ou non? Pourquoi? 3) Par rapport à l’exercice 1, que représente le score de 14,38 % de M. Le Pen ? Quelles conclusions pouvez-vous en tirer ? M. Mitterrand a obtenu 34,11% des voix aux élections. Qu’en déduisez-vous ? Exercice 3 : Une enquête sur l’application de la loi Evin a été effectuée au cours de l’année universitaire 1993-94 dans plusieurs sites universitaires à Strasbourg. 440 étudiants ont été interrogés et parmi eux 223 étaient des fumeurs. A la question « A quel âge avez-vous commencé à fumer régulièrement », nous avons observé un âge moyen de 17,46 ans avec un écart-type de 2,91 ans. 11 1) Donnez une estimation à 95 % de l’âge moyen auquel les étudiants de Strasbourg ont commencé à fumer régulièrement. 2) En Chimie, sur les 17 étudiants fumeurs, nous avons observé un âge moyen de 17,35 ans avec un écart-type de 2,11 ans. Quels sont les changements dans la méthode par rapport au 1) si l’on veut estimer l’âge moyen auquel les étudiants de chimie ont commencé à fumer régulièrement ? Donner la fourchette d’estimation à 95 %. Comparer la avec la fourchette précédente. SOC 602 FEVRIER 94 EX1: Un distributeur de micro-ordinateurs précise que 80 % de ceux-ci de marque décision 2 ne requièrent aucun ajustement avant d’être expédiés. 1) Calculer la probabilité pour que sur 12 ordinateurs achetés, 9 et plus ne requièrent aucun ajustement. 2) Calculer la probabilité pour que sur 120 ordinateurs achetés, 90 et plus ne requièrent aucun ajustement. EX2 : Une enquête auprès d’un échantillon de 406 jeunes âgés de 18 à 24 ans du Bas-Rhin a été effectuée en 1993. A la question « Avez-vous eu des relations occasionnelles », 53 personnes n’ont pas répondu (pas encore eu d’expérience sexuelles), 112 hommes sur 183 et 56 femmes sur 170 ont répondu affirmativement. 1) Donnez un intervalle d’estimation à 95 %, à 90 % de la fréquence p de jeunes hommes qui ont eu des aventures occasionnelles. 2) Sans refaire tout le raisonnement, Donnez un intervalle d’estimation à 95 %, à 90 % de la fréquence p’ de jeunes femmes qui ont eu des aventures occasionnelles. Qu’en déduisez-vous ? 3) Pourriez-vous en déduire un estimateur de la différence des fréquences (p-p’). Donner sa loi. EX3 : Une municipalité décide d’effectuer un sondage auprès des foyers de la ville pour estimer leur dépense moyenne mensuelle pour l’alimentation. Elle décide d’interroger 300 foyers sur les 4500 foyers de la ville et trouve une dépense moyenne de 2500 frs avec un écart-type observé de 500 frs. 1) Donner un intervalle d’estimation à 95 % de la dépense moyenne mensuelle des foyers de la ville. 2) Trouver la loi de la dépense totale des 4300 foyers. Donnez un intervalle d’estimation à 95 % 12
