TS 2016 Exercices Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus Première Partie : Prendre un bon départ. 1. Associer des nombres réels à un point image : π Sur un cercle trigonométrique, déterminer les nombres réels qui ont le même point image que le nombre . 6 2. Déterminer la mesure principale : 55π . Quelle est sa mesure principale ? (a) Un angle orienté a pour mesure − 3 23π (b) Un angle orienté a pour mesure . Quelle est sa mesure principale ? 2 3. Déterminer le sinus, le cosinus d’un nombre réel : Calculer la valeur exacte du cosinus et du sinus de chaque nombre réel (a) 7π 6 (b) 3π 2 (c) − 10π 3 (d) 8π 4. Résoudre une équation trigonométrique : Dans chaque cas, résoudre l’équation dans l’intervalle ] − π; π] √ 1 2 (b) sin x = (c) 1 + sin x = 0 (d) cos x × sin x = 0 (a) cos x = − 2 2 5. Connaître les cosinus et sinus des angles associés : S’aider d’un cercle trigonométrique pour exprimer en fonction de cos x ou sin x π π (a) cos(π − x) (b) sin(π + x) (c) cos( − x) (d) sin( + x) 2 2 6. Utiliser les formules d’addition : Exprimer en fonction de cos x et sin x π π π π (b) sin(x + ) (c) cos(x − ) (d) sin(x − ) (a) cos(x + ) 4 3 6 4 3 7. Utiliser une formule de duplication : x désigne un réel de [0; π] tel que cos x = . 4 (a) Placer le point M image du nombre x sur un cercle trigonométrique de rayon 4cm. (b) Conjecturer sur la valeur de cos(2x). (c) Démontrer cette conjecture. 8. Connaître la définition d’un nombre dérivé : f est une fonction dérivable sur un intervalle I et a ∈ I. (a) Par définition qu’appelle-t-on f ′ (a) c’est à dire le nombre dérivé de f en a ? (b) C est la courbe représentative de f dans un repère. Interpréter graphiquement le nombre dérivé f ′ (a). Deuxième Partie : Et maintenant. Exercice 1 : 1. Rappeler la limite en 0 de la fonction h 7→ sin h h sin h =0 h→+∞ h 2. Montrer que lim 3. Soit f définie sur R∗ par f (h) = sin(5h) 3h . Montrer que pour tout x ∈ R∗ , f (x) = . Étudier la limite de f en 0. 5 sin(5h) × 3 5h 1 3 Exercice 2 : f est la fonction définie sur [0; π] par f (x) = − cos(2x) + cos x + 2 2 1. Représenter f à l’écran de la calculatrice afin de conjecturer l’existence d’éventuels extremums. 2. Montrer que, pour tout x ∈ [0; π], f ′ (x) = sin x(2 cos x − 1) 3. Étudier le signe de f ′ (x) sur [0; π] et démontrer la conjecture émise. 1/ 2 TS 2016 Exercices Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus Exercice 3 : C est un cercle de centre O de rayon 1. C \ = Θ avec Θ ∈]0; π[ [CD] est un diamètre de C et A est un point de C tel que AOD b et B est le point de C tel que la corde [AB] est perpendiculaire à (CD) en I. A C b 1. Exprimer l’aire S(Θ) du triangle ABC en fonction de sin Θ et cos Θ. π 2. Déterminer S ′ (Θ) et vérifier que S ′ ( ) = 0 3 3. En déduire que l’aire du triangle ABC est maximale lorsque celui ci est équilatéral. θ O b b I b D b B Exercice 4 : Résoudre dans [0; 2π] les inéquations (a) 1 − 2 sin x > 0 √ (b) − 2 + 2 cos x < 0 (c) sin x(2 cos x − 1) ≤ 0 (d) 1 − sin2 x ≥ 0 2 BAC Métropole, Réunion 2016 : B A E T x Limite du terrain Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure cicontre) situé à l’extérieur du segment [AB]. La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM ] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure. Ligne médiane Terrain vu de dessus M [ Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle AT B le plus grand possible. [ Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM ] pour laquelle l’angle AT B est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. Dans toute la suite, on note x la longueur ET , qu’on cherche à déterminer. Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50m, EA = 25m et AB = 5, 6m . On note α la mesure en radian de l’angle [ [ [ ET A, β la mesure en radian de l’angle ET B et γ la mesure en radian de l’angle AT B. 1. En utilisant les triangles rectangles ET A et ET B ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x. i πh sin x La fonction tangente est définie sur l’intervalle 0 ; par tan x = . 2 cos i x πh . 2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l’intervalle 0 ; 2 i h π [ 3. L’angle AT B admet une mesure γ appartenant à l’intervalle 0 ; , résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure. 2 i h π On admet que, pour tous réels a et b de l’intervalle 0 ; , 2 tan a − tan b tan(a − b) = . 1 + tan a × tan b 5, 6x . Montrer que tan γ = 2 x + 765 [ 4. L’angle AT B est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle 765 ]0 ; 50] de la fonction f définie par : f (x) = x + . x [ Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle AT B est maximum et déterminer cette valeur de x au [ mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle AT B à 0, 01 radian près. 2/ 2