Etude de suites Activité en amont : Un exemple parmi tant d’autres Compétence(s) calculatoire(s) travaillée(s) : Calcul d’une dérivée. Signe d’une expression. Outil : Tableur ou calculatrice. Activité : 1 La suite (𝑢𝑛 ) est définie par 𝑢0 = 1 et 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 − 3 (𝑢𝑛 )3 . Première partie : Des conjectures. A l’aide d’un tableur, calculer les premiers termes de la suite (𝑢𝑛 ) . La suite (𝑢𝑛 ) semble-t-elle bornée ? quelles sont ces variations ? semble-t-elle converger ? 1 Seconde partie : 1 1- Etudier les variations de la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓 ∶ 𝑥 ↦ 𝑥 − 3 𝑥 3 . 2- Démontrer alors par récurrence que la suite (𝑢𝑛 ) est bornée. 3- Etudier le sens de variation de la suite (𝑢𝑛 ). 4- Démontrer alors que (𝑢𝑛 ) converge et calculer sa limite. 1 1 Ces dernières questions peuvent être supprimées si on n’a pas encore traité les limites de suites (ou pas suffisamment) Activité principale : Compétence(s) calculatoire(s) travaillée(s) : Calcul d’une dérivée. Signe d’une expression. Outils : Calcul instrumenté : tableur pour conjecturer, pourquoi pas algorithmique. Activité principale : Algorithme de Babylone. Mise en œuvre : En TD. Activité proposée : L’algorithme de Babylone est connu depuis quatre siècles avant JC et permet d’extraire la racine carré d’un nombre A. Cet algorithme est basé sur une idée géométrique assez simple : partir d’un rectangle d’aire A et le modifier afin de le remplacer par un carré de même aire. Voici cet algorithme - On prend un rectangle de côtés l = 1 et L = A. On remplace l par la moyenne de l et L ; On choisit alors la nouvelle longueur pour que l’aire du nouveau rectangle soit encore égale à A. - On réitère ce processus. 1) Cas de A = 4 ; Dans un calcul à la main, mettre en place cet algorithme pour A=4 et calculer les cinq premières étapes. 2) Cas de A=2, cas général ; a) On veut répéter les étapes de l’algorithme 10 fois, 20 fois, 50 fois…comment procéder ? Que pensez-vous des résultats obtenus ? b) Justifier la validité de l’algorithme proposé par les mathématiciens babyloniens. - Activité en amont : Prolongement « culturel » Compétence(s) calculatoire(s) travaillées. Outils : Calcul instrumenté : calcul formel pour mener à bien les calculs. Dans le cas de A=4, le tableur affiche 2 pour l à la 5ième étape du calcul, même si on ajoute le nombre de décimales affichées. Peut-on cependant affirmer que l’on obtient 2 après 5 étapes ? si non, combien pensez vous qu’il faudrait d’étapes ?