Activité principale : Algorithme de Babylone.

Etude de suites
Activité en amont : Un exemple parmi tant d’autres
Compétence(s) calculatoire(s) travaillée(s) :
Calcul d’une dérivée.
Signe d’une expression.
Outil : Tableur ou calculatrice.
Activité :
1
La suite (𝑢𝑛 ) est définie par 𝑢0 = 1 et 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 − 3 (𝑢𝑛 )3 .
Première partie : Des conjectures.
A l’aide d’un tableur, calculer les premiers termes de la suite (𝑢𝑛 ) .
La suite (𝑢𝑛 ) semble-t-elle bornée ? quelles sont ces variations ? semble-t-elle converger ? 1
Seconde partie :
1
1- Etudier les variations de la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓 ∶ 𝑥 ↦ 𝑥 − 3 𝑥 3 .
2- Démontrer alors par récurrence que la suite (𝑢𝑛 ) est bornée.
3- Etudier le sens de variation de la suite (𝑢𝑛 ).
4- Démontrer alors que (𝑢𝑛 ) converge et calculer sa limite. 1
1
Ces dernières questions peuvent être supprimées si on n’a pas encore traité les limites de suites (ou pas
suffisamment)
Activité principale :
Compétence(s) calculatoire(s) travaillée(s) :
Calcul d’une dérivée.
Signe d’une expression.
Outils : Calcul instrumenté : tableur pour conjecturer, pourquoi pas algorithmique.
Activité principale : Algorithme de Babylone.
Mise en œuvre : En TD.
Activité proposée :
L’algorithme de Babylone est connu depuis quatre siècles avant JC et permet d’extraire la racine carré d’un nombre
A. Cet algorithme est basé sur une idée géométrique assez simple : partir d’un rectangle d’aire A et le modifier afin
de le remplacer par un carré de même aire.
Voici cet algorithme
- On prend un rectangle de côtés l = 1 et L = A.
On remplace l par la moyenne de l et L ; On choisit alors la nouvelle longueur pour que l’aire du nouveau
rectangle soit encore égale à A.
- On réitère ce processus.
1) Cas de A = 4 ;
Dans un calcul à la main, mettre en place cet algorithme pour A=4 et calculer les cinq premières étapes.
2) Cas de A=2, cas général ;
a) On veut répéter les étapes de l’algorithme 10 fois, 20 fois, 50 fois…comment procéder ?
Que pensez-vous des résultats obtenus ?
b) Justifier la validité de l’algorithme proposé par les mathématiciens babyloniens.
-
Activité en amont : Prolongement « culturel »
Compétence(s) calculatoire(s) travaillées.
Outils : Calcul instrumenté : calcul formel pour mener à bien les calculs.
Dans le cas de A=4, le tableur affiche 2 pour l à la 5ième étape du calcul, même si on ajoute le nombre de décimales
affichées.
Peut-on cependant affirmer que l’on obtient 2 après 5 étapes ? si non, combien pensez vous qu’il faudrait
d’étapes ?