Page 1 sur 5 TS Physique On a marché sur la Lune… (partiel) Exercice résolu - Enoncé – En 1954, Hergé, publie deux albums des aventures de Tintin : « Objectif Lune », et « On a marché sur la Lune ». Dans cette nouvelle aventure, il envoie Tintin et ses amis sur la Lune, dans la désormais légendaire fusée rouge et blanche imaginée par le physicien le plus farfelu de la Bande Dessinée, le professeur Tournesol. Traduites dans presque toutes les langues, les aventures de Tintin ont été « dévorées » par des générations d’enfants. Peut-être les avez-vous vous-même déjà lues ? Mais les avez-vous vraiment lues attentivement ? Le but de cet exercice est de vérifier, à l’aide de vos connaissances en mécanique, si Hergé était rigoureux dans sa description des phénomènes physiques dans l’espace et dans la fusée. IMPORTANT : on a la sensation d’être en impesanteur lorsqu’on ne subit aucune réaction de la part d’un quelconque support. La sensation de pesanteur est donc liée à la valeur de la réaction du support sur un être vivant. Cette sensation sera d’autant plus grande que la valeur de la réaction du support sera grande. Données : Planète Terre Lune Masse MT = 6,0 x 1024 kg ML = 7,4 x 1022 kg Rayon RT = 6,4 x 106 m RL = 1,7 x 106 m Valeur du champ de pesanteur à la surface g0 = 9,8 m.s-2 gL = 1,6 m.s-2 Constante de gravitation universelle : G = 6,67 x 10-11 S.I. Tous les systèmes définis dans cet exercice seront considérés comme des objets ponctuels assimilables à leur centre d’inertie. LES QUATRE PARTIES DE L’EXERCICE SONT INDEPENDANTES A. PREMIERE PARTIE : « LES DUPONDT COUPENT LE MOTEUR » Dans cette partie, on travaillera dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. On considère le système {professeur Tournesol}, de masse mP et de centre d’inertie P, évoluant dans la fusée à une altitude h par rapport à la surface terrestre (voir schéma en annexe). On a marché sur la Lune… Document : M.Moppert Page 2 sur 5 1. Donner l’expression de la force de gravitation F qui s’exerce sur le système. Définir tous les termes utilisés et représenter cette force sur le schéma de l’annexe. 2. Dans le cas où le moteur est coupé (impesanteur), appliquer la deuxième loi de Newton au système et en déduire l’expression de la valeur aP du vecteur accélération du système. 3. Dans le cas où le moteur fonctionne, on crée une « pesanteur artificielle » à l’intérieur de la fusée. Du faut de cette pesanteur artificielle, la réaction R du plancher de la fusée sur le professeur Tournesol est égale, en valeur, à celle du poids du professeur à la surface terrestre : il a ainsi la même sensation que s’il était sur Terre. a) Représenter la force R sur le schéma de l’annexe. a) Appliquer la deuxième loi de Newton au système et en déduire l’expression de la valeur a’P du vecteur accélération du système. B. DEUXIEME PARTIE : « LE CAPITAINE HADDOCK SE PREND POUR UN OISEAU » Dans cette partie, on travaillera dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. Alors que la fusée se trouve suffisamment loin de la Terre et pas encore assez près de la Lune pour ne subir aucune influence de ces deux planètes, le capitaine Haddock, dans un moment de folie, décide de faire une sortie dans l’espace. Pour cela, il est obligé de couper le moteur de la fusée. En appliquant le principe d’inertie, expliquez pourquoi le capitaine Haddock avance à la même vitesse que la fusée. C. TROISIEME PARTIE : « LE SATELLITE HADDOCK » Dans cette partie, on travaillera dans le référentiel « adonisocentrique », supposé galiléen. On considère le système {capitaine Haddock} de masse mH et de centre d’inertie H. Alors que le capitaine Haddock effectue sa petite sortie dans l’espace, la fusée passe à proximité d’Adonis, énorme masse rocheuse d’environ 700 m de diamètre, de masse MA = 1,0 x 1012 kg et de centre d’inertie A. Le capitaine Haddock se retrouve satellisé autour d’Adonis. D’après l’image, on peut estimer le rayon de l’orbite (supposée circulaire) du capitaine à environ r = 2,0 x 103 m. 1. a) Dans le référentiel choisi, définir une base de Frenet et la représenter sur un schéma. b) Dans cette base de Frenet, donner l’expression du vecteur accélération aH du système. 2. Exprimer et calculer la valeur vH du vecteur vitesse du capitaine Haddock sur son orbite. 3. Exprimer et calculer la période de révolution TH du capitaine Haddock autour d’Adonis. On a marché sur la Lune… Document : M.Moppert Haddo ck Page 3 sur 5 ANNEXE On a marché sur la Lune… Document : M.Moppert Page 4 sur 5 - Corrigé A. PREMIERE PARTIE : « LES DUPONDT COUPENT LE MOTEUR » 1. Donner l’expression de la force de gravitation F qui s’exerce sur le système. Définir tous les termes utilisés et représenter cette force sur le schéma de l’annexe n°1. mp .MT F = −G. .u (RT + h)2 avec : G : constante de gravitation universelle (S.I) mP : masse du système (en kg) MT : masse de la Terre (en kg) RT : rayon de la Terre (en m) h : altitude (en m) u : vecteur unitaire orienté de T vers P Cette force, appliquée en P, est de direction verticale et orientée vers le bas. 2. Dans le cas où le moteur est coupé (impesanteur), appliquer la deuxième loi de Newton au système et en déduire l’expression littérale de la valeur aP du vecteur accélération du système. mp .MT Deuxième loi de Newton appliquée au professeur Tournesol : F = mP. a P = - G. .u . (RT + h)2 En valeur : aP = G. MT (RT + h)2 3. a) Représenter la force R sur le schéma de l’annexe n°1. Cette force, appliquée en P, est de direction verticale et orientée vers le haut. b) Appliquer la deuxième loi de Newton au système et en déduire l’expression littérale de la valeur a’P du vecteur accélération du système. Deuxième loi de Newton appliquée au professeur tournesol : mp .MT ' F + R = mP. a P = - G. .u + mP.g0. u 2 (RT + h) En valeur : a 'P = g0 - G. mp .MT 2 (RT + h) (car F et R ont la même direction et des sens contraires). B. DEUXIEME PARTIE : « LE CAPITAINE HADDOCK SE PREND POUR UN OISEAU » Expliquer pourquoi le capitaine Haddock avance à la même vitesse que la fusée. La fusée ne subit aucune action extérieure : d’après le principe d’inertie, elle est animée d’un mouvement rectiligne uniforme. Quand le capitaine Haddock quitte la fusée, son vecteur vitesse est celui de la fusée et il se trouve, lui aussi, animé du même mouvement rectiligne uniforme. C. TROISIEME PARTIE : « LE SATELLITE HADDOCK » 1. a) Dans le référentiel choisi, définir une base de Frenet et la représenter sur un schéma. Une base de Frenet est un repère mobile constitué d’une origine et de deux vecteurs unitaires : - l’origine est la position du centre d’inertie H du système à une date t, - le vecteur unitaire τ est tangent à la trajectoire au point H et dirigé dans le sens du mouvement, - le vecteur unitaire n est normal à la trajectoire au point H et dirigé vers le centre de cette trajectoire. On a marché sur la Lune… Document : M.Moppert τ H A n Page 5 sur 5 b) Dans cette base de Frenet, donner l’expression du vecteur accélération a H du système. dv v2 .τ + n aH = a τ + an soit aH = dt r (v : valeur de la vitesse du capitaine Haddock). 2. Exprimer et calculer la valeur vH du vecteur vitesse du capitaine Haddock sur son orbite. Deuxième loi de Newton appliquée au capitaine Haddock : f = mH .aH (avec f la force de gravitation exercée par Adonis sur le capitaine Haddock). M .m M Cette force de gravitation est radiale centripète donc : mH .aH = G. A 2 H . n et aH = G. 2A .n r r Par identification avec l’expression de la question 1.b : Soit : vH = 6, 67 × 10 −11 × vH2 G.MA = 2 => vH = r r G. MA r 1, 0 × 1012 = 1,8 x 10-1 m.s-1 2, 0 × 103 3. Exprimer et calculer la période de révolution TH du capitaine Haddock autour d’Adonis. Le mouvement du capitaine haddock étant circulaire uniforme, la période de révolution est donnée par : TH = Soit : TH = 2π × 2π.r 2π v r3 et TH = (avec ω vitesse angulaire : ω = ) => TH = 2π. ω vH r G.MA (2, 0 × 103 )3 = 6,9 x 104 s 6, 67 × 10 −11 × 1, 0 × 1012 On a marché sur la Lune… Document : M.Moppert