Classification, Apprentissage, Décision

Classification, Apprentissage, Décision
Classication, Apprentissage, Décision
Chapitre cinquième : Perceptron
Stéphane Ayache, Cécile Capponi, François Denis, Rémi Eyraud,
Hachem Kadri, Liva Ralaivola
Master 2 IS-IN
Classification, Apprentissage, Décision
Plan du cours
Introduction
Arbre de décision & k-ppv
Théorie de l’apprentissage
Clustering
Perceptron
Machines à vecteur de support
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Plan
Introduction
Arbre de décision & k-ppv
Théorie de l’apprentissage
Clustering
Perceptron
Machines à vecteur de support
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Classification linéaire binaire
X ⊂ Rd , Y = {−1, +1}
Définition. Un classifieur linéaire est une fonction de la forme
+1 si hw, xi + b ≥ 0
f (x) =
−1 sinon.
où w ∈ Rd , b ∈ R, hw, xi désigne le produit scalaire
entre w et x : si
P
w = (w1 , . . . , wn ) et x = (x1 , . . . , xn ), hw, xi = di=1 wi xi .
Interprétation géométrique : hw, xi + b = 0 est l’équation d’un hyperplan
qui sépare X en deux demi-espaces correspondant aux deux classes.
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Un exemple
X = R2
Classifieur linéaire f défini par w = (1, 2) et b = −1 :
1
si x1 + 2x2 − 1 ≥ 0
f (x1 , x2 ) =
−1 sinon.
Par exemple, f (0, 0) = −1 et f (1, 1) = 1.
Hyperplan d’équation x1 + 2x2 − 1 = 0 (c-à-d x2 = − 21 x1 + 12 )
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Expressivité des perceptrons
I
Les classifieurs linéaires peuvent sembler a priori très peu expressifs :
pourquoi des données naturelles se répartiraient-elles de part et
d’autres d’un hyperplan ?
I
Cette intuition n’est pas forcément vérifiée en très grande dimension
(cas de classification de vidéos, par exemple).
I
Cela suggère de plonger les données initiales dans un espace de
grande dimension (voir chapitre suivant).
A complex pattern-classification problem, cast in a high-dimensional
space nonlinearly, is more likely to be linearly separable than in a
low-dimensional space, provided that the space is not densely
populated. (T.M. Cover, 1965)
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Données linéairement séparables
Un échantillon S = {(x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )} ⊂ (X × Y )n est linéairement
séparable s’il existe un classifieur linéaire qui classe correctement tous les
exemples de S.
Exemples :
S = {((0, 0), −1), ((1, 0), 1), ((0, 1), −1)} est linéairement séparable.
S = {((0, 0), −1), ((1, 0), 1), ((0, 1), 1), ((1, 1), −1)} n’est pas linéairement
séparable (XOR).
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Perceptrons
I
Perceptrons (Rosenblatt 1958, Minsky/Papert 1969) : généralisation d’un
modèle plus simple proposé par (McCulloch/Pitts neurons, 1942)
I
un perceptron à d entrées est décrit par un vecteur de pondération
−
→
w = (w1 , . . . , wd )> ∈ Rd , un seuil θ ∈ R et permet de calculer la
fonction suivante :
(
+1 if x1 w1 + x2 w2 + . . . + xd wd ≥ θ
(x1 , . . . , xd ) 7−→ y =
−1 if x1 w1 + x2 w2 + . . . + xd wd < θ
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Perceptrons
I
I
pour plus de commodité : remplacer le seuil par un poids
supplémentaire (biais) b = −θ
−
→
un perceptron avec un vecteur de pondération w et un biais b effectue
le calcul suivant :
(x1 , . . . , xd ) 7−→ y = f (b +
d
X
−
→ −
→
(wi xi )) = f (b + h w , x i)
i=1
avec f (z) =
+1 if z ≥ 0
−1 if z < 0
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Perceptrons : Remarques
I
Les isométries et les homothéties preservent la séparabilité
I
En rajoutant une dimension, on peut ne plus avoir besoin du biais :
ajouter une coordonnée xd+1 égale à 1 pour toutes les données et poser
b = wd+1
I
il existe une infinité d’hyperplans séparant des données séparables...
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Perceptrons : interprétation géométrique
I
données (x1 , . . . , xn )
−→ ∈ un espace de dimension d
I
I
−
→ −
→
points vérifiants b + h w , x i = 0
−
→
−→ hyperplan défini par b et w
−
→ −
→
points vérifiants b + h w , x i > 0
−→ points d’un coté de l’hyperplan
I
−
→ −
→
points vérifiants b + h w , x i < 0
−→ points de l’autre coté de l’hyperplan
I
un perceptron divise l’espace des
données en deux demi-espaces
−→ situés de part et d’autre de
l’hyperplan
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
algorithme d’apprentissage du perceptron
I
les perceptrons peuvent être automatiquement adaptés à des taches
d’apprentissage ⇒ Apprentissage supervisé : Classification
I
algorithme d’apprentissage du perceptron :
données :
• un ensemble de données P ⊆ Rd : exemples positifs
• un autre ensemble N ⊆ Rd : exemples négatifs
tache :
• générer un perceptron qui retourne 1 pour tous les exemples de P et
−1 pour les exemples de N
I
évidemment, il y a des cas dans lesquels l’algo d’apprentissage du
perceptron n’est pas
T capable de résoudre le problème de classification
−→ exemple : P N =
6 ∅
−→ données non linéairement séparables
−→ solution potentielle : transférer les données dans un autre espace
dans lequel les données sont linéairement séparables (plus de détail
dans le chapitre suivant)
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
algorithme d’apprentissage du perceptron
I
Lemme (séparabilité stricte) :
Si ∃ un perceptron qui classe parfaitement les données d’apprentissage,
alors ∃ un perceptron qui classe ces données sans qu’aucune ne soit
−
→ −
→
sur la frontière de décision, b + h w , x i 6= 0
Preuve :
−
→
Soit (b, w ) un perceptron qui classe parfaitement toutes les données
d’apprentissage. D’où
(
−
→
≥0 ∀ x ∈P
−
→ −
→
b + hw , x i
−
→
<0 ∀ x ∈N
−
→ −
→ −
→
Soit = min{−(b + h w , x i)| x ∈ N }. Alors :

−
→
 ≥ >0 ∀ x ∈P
−
→ −
→
2
b + + hw , x i
→
≤ − < 0 ∀ −
2
x ∈N
2
−
→
Ainsi le perceptron (b + , w ) prouve le lemme.
2
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I
I
−
→
Erreur de classification de x ∈ P
−
→ −
→
−→ b + h w , x i < 0
−
→
Comment peut-on modifier b et w pour
remédier à cette erreur
−
→ −
→
−→ augmenter b + h w , x i
• augmenter b
• Si xi > 0 augmenter wi
• Si xi < 0 diminuer wi
I
−
→ −
→
Algorithme : ajouter x à w et 1 à b
−→ Procéder par analogie pour les
−
→
exemples négatifs x ∈ N
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I
I
−
→
Erreur de classification de x ∈ P
−
→ −
→
−→ b + h w , x i < 0
−
→
Comment peut-on modifier b et w pour
remédier à cette erreur
−
→ −
→
−→ augmenter b + h w , x i
• augmenter b
• Si xi > 0 augmenter wi
• Si xi < 0 diminuer wi
I
−
→ −
→
Algorithme : ajouter x à w et 1 à b
−→ Procéder par analogie pour les
−
→
exemples négatifs x ∈ N
augmenter w0
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I
I
−
→
Erreur de classification de x ∈ P
−
→ −
→
−→ b + h w , x i < 0
−
→
Comment peut-on modifier b et w pour
remédier à cette erreur
−
→ −
→
−→ augmenter b + h w , x i
• augmenter b
• Si xi > 0 augmenter wi
• Si xi < 0 diminuer wi
I
−
→ −
→
Algorithme : ajouter x à w et 1 à b
−→ Procéder par analogie pour les
−
→
exemples négatifs x ∈ N
augmenter w0
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I
I
−
→
Erreur de classification de x ∈ P
−
→ −
→
−→ b + h w , x i < 0
−
→
Comment peut-on modifier b et w pour
remédier à cette erreur
−
→ −
→
−→ augmenter b + h w , x i
• augmenter b
• Si xi > 0 augmenter wi
• Si xi < 0 diminuer wi
I
−
→ −
→
Algorithme : ajouter x à w et 1 à b
−→ Procéder par analogie pour les
−
→
exemples négatifs x ∈ N
augmenter w0
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I
I
−
→
Erreur de classification de x ∈ P
−
→ −
→
−→ b + h w , x i < 0
−
→
Comment peut-on modifier b et w pour
remédier à cette erreur
−
→ −
→
−→ augmenter b + h w , x i
• augmenter b
• Si xi > 0 augmenter wi
• Si xi < 0 diminuer wi
I
−
→ −
→
Algorithme : ajouter x à w et 1 à b
−→ Procéder par analogie pour les
−
→
exemples négatifs x ∈ N
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I
I
−
→
Erreur de classification de x ∈ P
−
→ −
→
−→ b + h w , x i < 0
−
→
Comment peut-on modifier b et w pour
remédier à cette erreur
−
→ −
→
−→ augmenter b + h w , x i
• augmenter b
• Si xi > 0 augmenter wi
• Si xi < 0 diminuer wi
I
−
→ −
→
Algorithme : ajouter x à w et 1 à b
−→ Procéder par analogie pour les
−
→
exemples négatifs x ∈ N
augmenter w
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I
I
−
→
Erreur de classification de x ∈ P
−
→ −
→
−→ b + h w , x i < 0
−
→
Comment peut-on modifier b et w pour
remédier à cette erreur
−
→ −
→
−→ augmenter b + h w , x i
• augmenter b
• Si xi > 0 augmenter wi
• Si xi < 0 diminuer wi
I
−
→ −
→
Algorithme : ajouter x à w et 1 à b
−→ Procéder par analogie pour les
−
→
exemples négatifs x ∈ N
augmenter w
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I
I
−
→
Erreur de classification de x ∈ P
−
→ −
→
−→ b + h w , x i < 0
−
→
Comment peut-on modifier b et w pour
remédier à cette erreur
−
→ −
→
−→ augmenter b + h w , x i
• augmenter b
• Si xi > 0 augmenter wi
• Si xi < 0 diminuer wi
I
−
→ −
→
Algorithme : ajouter x à w et 1 à b
−→ Procéder par analogie pour les
−
→
exemples négatifs x ∈ N
augmenter w
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
Entrées : données d’apprentissage positives P et négatives N
Retourne : un perceptron, si existe, qui classe parfaitement toutes les
données d’apprentissage
−
→
1. initialiser arbitrairement le vecteur de pondération w et le biais b
S
−
→
2. Tant que il existe une donnée mal-classée x ∈ P N faire
−
→
3. Si x ∈ P alors
−
→
−
→ −
→
4. w ← w + x
5.
b =b+1
6. Sinon
−
→
−
→ −
→
7. w ← w − x
8.
b =b−1
9. Fin si
10. Fin tant que
−
→
11. Retourner b et w
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron : Exemple
N = {(1, 0)> , (1, 1)> }, P = {(0, 1)> }
−→ exercice
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron : Convergence
I
Lemme :
−
→
Si l’algorithme du perceptron converge, alors le perceptron (b, w )
obtenu classe parfaitement tous les exemples d’apprentissage.
I
Théorème (Convergence) :
Si ∃ un perceptron qui classe correctement toutes les données
d’apprentissage, alors l’algorithme du perceptron converge.
I
Lemme :
Si au cours de l’exécution de l’algorithme du perceptron on rencontre
deux fois le même vecteur de pondération, alors les données
d’apprentissage utilisées ne sont pas linéairement séparables.
I
Lemme :
Si l’algorithme du perceptron avec un biais b = 0 est exécuté sur un jeu
de données non linéairement séparable, alors le même vecteur de
pondération se produira au moins deux fois .
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron : Convergence
I
Lemme (Complexité) :
Si les données d’apprentissage sont linéairement séparables, alors le
nombre d’itérations maximal de l’algorithme du perceptron est égale à
(n + 1)2 2(n+1) log(n+1)
I
temps d’exécution : complexité exponentielle
7
→ autres implémentations - complexité O(n 2 ) -
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I
comment peut-on déterminer un “bon" perceptron si la tâche
d’apprentissage ne peut pas être résolu parfaitement
I
“bon" dans le sens d’un perceptron avec un nombre d’erreurs minimal
I
l’algorithme du perceptron : le nombre d’erreurs ne décroit pas de façon
monotone durant la phase d’apprentissage
I
idée : mémoriser le meilleur vecteur de pondération rencontré au cours
de l’exécution
I
les perceptrons peuvent apprendre que des problèmes linéairement
séparables
I
contre-exemple : XOR(x1 , x2 )
P = {(0, 1)> , (1, 0)> }, N = {(0, 0)> , (1, 1)> }
I
un réseau de neurone associant plusieurs perceptrons est plus puissant
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du Perceptron (Rosenblatt, 1958)
Soit S = SP ∪ SN ⊂ Rd+1 × {−1, 1} un échantillon linéairement séparable.
Soit w le classifieur linéaire courant.
I
Si (x, y ) ∈ SP est mal classé, hw, xi < 0 et il faudrait augmenter hw, xi,
I
si (x, y ) ∈ SN est mal classé, hw, xi ≥ 0 et il faudrait diminuer hw, xi,
Idée : prendre wnew = w + xy .
Dans le premier cas, on a hwnew , xi = hw, xi + ||x||2 ; dans le second cas, on
a hwnew , xi = hw, xi − ||x||2 .
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Algorithme d’apprentissage du Perceptron
Algorithme d’apprentissage du Perceptron
Entrée : S = {(x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )}, un échantillon complété
linéairement séparable de Rd+1 × {−1, 1}
w0 = 0 ∈ Rd+1 , k = 0
Répéter
Pour i = 1 à n
Si yi hwk , xi i ≤ 0 alors
wk +1 = wk + yi xi
k =k +1
FinPour
Jusqu’à ce qu’il n’y ait plus d’erreurs
Sortie : wk
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Exercice
Utilisez l’algorithme du perceptron pour séparer l’échantillon
{((0, 0), −1), ((0, 1), 1), ((1, 0), 1), ((1, 1), 1)}. Dessinez l’hyperplan obtenu.
k
0
1
...
wk
000
0 0 -1
...
xk mal classé
001
...
...
yk
-1
...
...
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Propriétés
I
L’algorithme du Perceptron est une procédure on-line, par correction
d’erreurs (error-driven).
I
L’algorithme est correct : lorsqu’il converge, l’hyperplan retourné sépare
les données fournies en entrée
I
L’algorithme est complet : si S est linéairement séparable, l’algorithme
converge.
I
Dans le pire des cas, le nombre d’itérations est égal à
(n + 1)2 2(n+1) log(n+1) . Complexité exponentielle !
I
Très mauvaise tolérance au bruit.
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Entre ces deux solutions, laquelle est la meilleure ?
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
La notion de marge
On peut multiplier l’équation hw, xi + b = 0 d’un hyperplan par un réel non
nul sans modifier l’hyperplan qu’elle définit.
On peut donc supposer que w vérifie ||w|| = 1.
Dans ce cas, la distance d’un exemple (x, y ) à un hyperplan séparateur est
égal à y (hw, xi + b).
d(M, H) = yM hw, xM − xH i
= yM (hw, xM i + b)
puisque hw, xH i + b = 0.
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Complexité de l’algorithme et marge
Théorème (Novikoff) : Soit S = {(x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )} un échantillon
d’apprentissage non trivial (i.e. ∃i, j yi yj = −1). Supposons que
I
∀i, ||xi || ≤ 1 et
I
∃w, b, γ > 0 tels que ∀i, yi (hw, xi i + b) ≥ γ.
Alors, le nombre d’erreurs (yi (hwk , xi i + bk ) ≤ 0) commises pendant
l’exécution de l’algorithme est au plus égal à (2/γ)2 .
Remarques :
I
γ est une borne inférieure de la marge du problème
I
Quelles que soient les données, on peut toujours se ramener au moyen
d’une homothétie-translation au cas où Max||xi || = 1.
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Complexité de l’algorithme et marge (suite)
S = {((0, 0), −1), ((0, 1), 1), ((1, 0), 1), ((1, 1), 1)}.
Au moyen d’une
translation de vecteur (−1/2, −1/2) suivie d’une homothétie
√
de rapport 2, on obtient l’échantillon équivalent
√
S = {((−
√
√
√
√
√
√
√
2
, − 22 ), −1), ((− 22 , 22 ), 1), (( 22 , − 22 ), 1), (( 22 , 22 ), 1)}.
2
On a bien Max||xi || = 1. On vérifie que la marge du problème est égale à 1/2.
Le théorème prédit que le nombre de corrections de l’algorithme est inférieur
ou égal à 8.
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Forme duale de l’algorithme du perceptron
Remarque : l’hypothèse finale est une combinaison linéaire des exemples
d’apprentissage.
n
X
w=
αi yi xi .
i=1
Les nombres αi sont positifs et égaux au nombre de fois où une mauvaise
classification de xi a entraîné une mise à jour du perceptron. Ils peuvent être
vus comme une représentation duale de la solution :
!
n
X
f (x) = sgn(hw, xi + b) = sgn
αi yi hxi , xi + b .
i=1
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Forme duale de l’algorithme du perceptron
entrée : S = {(x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )}, un échantillon complété
linéairement séparable
α = 0 ∈ Rn
répéter
Pour i = 1Pà n
Si yi ( nj=1 αj hxj , xi i) ≤ 0 alors
αi = αi + 1
k =k +1
FinSi
FinPour
Jusqu’à ce qu’il n’y ait plus d’erreurs
Sortie : α
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Exercice
Utilisez l’algorithme du perceptron pour séparer l’échantillon
{((0, 0), −1), ((0, 1), 1), ((1, 0), 1), ((1, 1), 1)}. Dessinez l’hyperplan obtenu.
k
0
1
...
αk
0000
1000
...
xk mal classé
001
...
...
yk
-1
...
...
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Propriétés de l’algorithme dual
I
dans la représentation duale, le nombre de paramètres de la solution ne
dépend pas de la dimension de l’espace dans lequel les xi sont plongés,
I
les exemples d’apprentissage ne sont pris en compte par l’algorithme
que par l’intermédiaire de leurs produits scalaires.
I
On appelle Matrice de Gram la matrice G = (hxi , xj i)1≤i,j≤l : elle suffit à
trouver une solution.
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Extensions
1. Plongements non linéaires
2. Perceptrons linéaires avec couches cachées
3. Perceptrons non linéaires (avec couches cachées)
4. Séparateurs linéaires optimaux - Machines à Vecteurs Supports ou
Séparateurs à vaste Marge (SVM)
5. Méthodes à noyaux
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Plongements non linéaires
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Perceptron linéaire à seuil avec une couche cachée
Entrée : (x1 , . . . , xd , xd+1 = 1)
Couche cachée : h perceptrons y1 , . . . , yh (+ une entrée constante yh+1 = 1)
où pour 1 ≤ i ≤ h,
Pd+1 j
1 si
j=1 αi xj ≥ 0
yi =
0 sinon.
Sortie : un perceptron s défini par
s = f (x1 , . . . , xd+1 ) =
Ph+1
1 si
i=1 βi yi ≥ 0
0 sinon.
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Perceptron linéaire à seuil avec une couche cachée
Théorème : toute fonction booléenne est calculable par un tel perceptron
I
bonne expressivité ;
I
pas d’algorithme d’apprentissage !
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
La fonction sigmoïde
σk (x) = 1/(1 + e−kx )
On peut voir les fonctions sigmoïdes comme des fonctions indéfiniment
dérivables qui lissent la fonction linéaire à seuil et dont les dérivées sont très
simples à calculer :
σ 0 = σ(1 − σ)
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Perceptron avec fonction d’activation sigmoïde et une couche cachée
Entrée : x1 , . . . , xd , xd+1 = 1
Couche cachée : y1 , . . . , yh , yh+1 = 1 où pour 1 ≤ i ≤ h,


d+1
X
j
yi = σ 
α xj 
i
j=1
Sortie :
s = f (x1 , . . . , xd+1 ) = σ
h+1
X
!
βi yi
.
i=1
Classification binaire : on attribue la classe 1 si s ≥ 1/2 et 0 sinon ; s peut
s’interpréter comme un indice de confiance.
Classification n-aire : n neurones normalisés en sortie.
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Perceptron avec fonction d’activation sigmoïde et une couche cachée
Théorème : Ces perceptrons permettent d’approcher d’aussi près qu’on le
souhaite une classe très riche de fonctions.
I
très bonne expressivité ;
I
il existe un algorithme d’apprentissage : l’algorithme de rétropropagation
du gradient.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Séparateurs linéaires optimaux
Soit S = {(x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )}, xi ∈ R d et yi ∈ {−1, 1} un échantillon
linéairement séparable.
Il existe un unique hyperplan de marge maximale qui est solution du
problème d’optimisation quadratique convexe suivant :
Minimiser ||w||2
sous les contraintes
yi f (xi ) ≥ 1 pour tout i = 1 . . . l
où f (x) = hw, xi + b.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Séparateurs linéaires optimaux
Soit S = {((0, 0), −1), ((0, 1), 1), ((1, 0), 1), ((1, 1), 1)}.
Minimiser w12 + w22
sous les contraintes
−b ≥ 1, w2 + b ≥ 1, w1 + b ≥ 1, w1 + w2 + b ≥ 1
La seule solution est w1 = w2 = 2 et b = −1.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Retour sur la notion de marge
Soit S un échantillon linéairement séparable et soit H un hyperplan
séparateur, d’équation hw, xi + b = 0.
On peut modifier linairement w et b tel que le point M le plus proche de H
satisfasse :
1
si M est positif
.
f (xM ) = hw, xM i + b =
−1 sinon.
Dans ce cas,
I
la marge de H est égale à 1/||w|| et
I
tous les points de S vérifient yf (x) ≥ 1.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Calcul de la marge (exemple)
Soit S = {((0, 1), +), ((2, 0), −)}.
La droite d’équation f (x, y ) = −x + y − 1/2 = 0 sépare S.
On a f (0, 1) = 1/2 et f (2, 0) = −5/2.
On normalise l’équation en la multipliant par 2 : −2x + 2y − 1 = 0.
w = (−2, 2)T , ||w|| =
et la marge est égale à
1
√
2 2
=
√
2
.
4
√
√
8=2 2
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplan optimal
Soit S = {(x1 , y1 ), . . . , (xl , yl )} ⊂ Rn × {−1, 1} un échantillon linéairement
séparable.
Il existe un unique hyperplan de marge maximale qui est solution du
problème d’optimisation suivant :

 f (x) = hw, xi + b
yi f (xi ) ≥ 1 pour tout i = 1 . . . l

Minimiser ||w||2 .
Optimisation quadratique sous contraintes linéaires (convexes)
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplan optimal (exemple)
Soit S = {((4, 3), 1), ((0, 2), 1), ((0, 0), −1)}.
Le problème d’optimisation à résoudre est :
Minimiser w12 + w22 sous les contraintes
4w1 + 3w2 + b ≥ 1, 2w2 + b ≥ 1, −b ≥ 1.
Les deux dernières équations impliquent w2 ≥ 1 et donc w12 + w22 ≥ 1.
On en déduit la solution optimale : w1 = 0, w2 = 1, b = −1.
Équation de l’hyperplan optimal : y = 1
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplan optimal (cas général)
Minimiser
||w||2
sous les contraintes
yi (hw, xi i + b) ≥ 1 pour tout (xi , yi ) ∈ S
Nouvelles variables (multiplicateurs de Lagrange) : αi ≥ 0
Nouvelle fonction : le Lagrangien
n
L(w, b, α) =
1 2 X
w −
αi [yi (hw, xi i + b) − 1]
2
i=1
La solution (unique grâce à la convexité) (w ∗ , b∗ , α∗ ) est un point selle du
Lagrangien : L(w, b, α∗ ) est minimal en (w ∗ , b∗ ) et L(w ∗ , b∗ , α) est maximal
en α∗ .
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplan optimal (cas général)
n
L(w, b, α) =
1 2 X
w −
αi [yi (hw, xi i + b) − 1]
2
i=1
La solution (unique grâce à la convexité) (w ∗ , b∗ , α∗ ) est un point selle du
Lagrangien :
L(w, b, α∗ ) minimal en (w ∗ , b∗ ) ; L(w ∗ , b∗ , α) maximal en α∗ .
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplan optimal (cas général)
On a :
P

∇ L(w, b, α) = w − ni=1 αi yi xi

 x

 ∂L(w, b, α) = Pn α y
i=1 i i
∂b
Ce qui donne les condition d’optimalité :
P

∇ L(w, b, α) = 0 ⇒ w = ni=1 αi yi xi

 x

 ∂L(w, b, α) = 0 ⇒ Pn α y = 0
i=1 i i
∂b
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplans optimaux : problème dual
Si l’on remplace w par
Pn
i=1
αi yi xi dans le Lagrangien
n
L(w, b, α) =
1 2 X
w −
αi [yi (hw, xi i + b) − 1]
2
i=1
On a
L(α) =
n
n
n
n
n
n
X
X
X
X
1 XX
αj αi yi yj hxj , xi i −
αi yi
αj yj hxj , xi i − b
αi yi +
αi
2
i=1 j=1
i=1
j=1
i=1
Ce qui donne
n
1X
yi yj αi αj hxi , xj i
2
i,j=1
i=1
P
qu’on doit maximiser sous les contraintes ni=1 αi yi = 0 et αi ≥ 0.
L(α) =
I
I
I
n
X
αi −
Seuls les produits scalaires hxi , xj i sont nécessaires pour trouver
l’hyperplan optimal.
P
Retrouver w ∗ à partir des αi∗ : w ∗ = ni=1 αi∗ yi xi
Calcul de b∗ à partir d’un vecteur support : hw ∗ , xi i + b∗ = yi .
i=1
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Problème dual (exemple)
Soit S = {((4, 3), 1), ((0, 2), 1), ((0, 0), −1)}.
L(α) =
n
X
i=1
αi −
n
1X
yi yj αi αj hxi , xj i
2
i,j=1
= α1 + α2 + α3 −
1
(25α12 + 4α22 + 12α1 α2 )
2
qu’on doit maximiser sous les contraintes
α1 + α2 − α3 = 0 et αi ≥ 0 pour i = 1, 2, 3.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplan optimal : propriétés
On appelle vecteur support toute donnée xi telle que αi∗ 6= 0.
Soit SV l’ensemble des vecteurs supports de S.
Propriétés
I
Si xi ∈ SV , hw ∗ , xi i + b∗ = yi
I
Si xi 6∈ SV , la contrainte correspondante n’est pas active,
I
Les problèmes d’optimisation associés à S et à SV ont la même
solution.
I
Le rapport #SV /#S est une borne supérieure de l’estimateur
leave-one-out de l’erreur en généralisation de la solution.
Pn
∗
i=1 αi yi = 0
Pn
∗
w = i=1 αi∗ yi xi
I
I
La solution s’exprime en fonction des vecteurs supports
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Exemple
Soit S = {((4, 3), 1), ((0, 2), 1), ((0, 0), −1)}. On a trouvé
Si l’on pose
w ∗ = (0, 1) et b∗ = −1.
Pn
∗
∗
∗
i=1 αi yi = 0 et w =
i=1 αi yi xi , on trouve

 α1 + α2 − α3 = 0
4α1
=0

3α1 + 2α2
=1
Pn
On trouve
α1 = 0, α2 = 1/2 et α3 = 1/2
Les vecteurs supports sont x2 et x3 .
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Et lorsque les données ne sont pas séparables ?
I
Trouver le classifieur linéaire qui minimise le nombre d’erreurs est un
problème NP-dur.
I
L’algorithme du Perceptron oscille, changeant d’hypothèses à chaque
présentation d’un contre-exemple sans se stabiliser sur une solution
intéressante.
Idée : se soucier davantage de la confiance avec laquelle la plupart des
exemples sont correctement classés plutôt que du nombre d’exemples mal
classés.
→ maximiser la marge d’un séparateur linéaire en tolérant un nombre limité
d’exceptions : notion de marge souple (soft margin).
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Comment réaliser un plongement des données ?
Pour tout algorithme d’apprentissage ne faisant intervenir que le produit
scalaire des données
perceptron, séparateur optimal (avec marges dures ou souples)
il suffit de connaître la matrice de Gram G = (hxi , xj i)1≤i,j≤n pour construire le
classifieur linéaire correspondant :
f : x 7→ signe(
n
X
αi hx, xi i).
i=1
Soit Φ : X → Y une fonction de plongement dans un espace Y avec produit
scalaire. On obtiendra un classifieur linéaire (dans l’espace de plongement)
défini par :
n
X
f : x 7→ signe(
αi hΦ(x), Φ(xi )i).
i=1
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Kernel trick
On appelle noyau toute fonction k : X × X → R qui peut être interprétée
comme un produit scalaire dans un plongement Φ :
k (x, y ) = hΦ(x), Φ(y )i
On peut appliquer les algorithmes du perceptron et de séparation optimale
avec marges souples ou dures en remplaçant
hxi , xj i par k (xi , xj ).
On obtient alors un classifieur
f : x 7→ signe(
n
X
αi k (x, xi ))
i=1
linéaire dans l’espace de plongement (avec toutes les garanties associées)
et non linéaire dans l’espace initial.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Perceptron à noyau
entrée : S = {(x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )}, un échantillon complété
linéairement séparable
α = 0 ∈ Rn
répéter
Pour i = 1Pà n
Si yi ( nj=1 αj yj k (xj , xi )) ≤ 0 alors
αi = αi + 1
FinSi
FinPour
Jusqu’à ce qu’il n’yPait plus d’erreurs
Sortie : x 7→ signe( i αi yi k (x, xi ))
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Exemples de noyaux :
Noyau polynomial homogène
X = Rd , k (x, x 0 ) =
n
X
!p
xi xi0
i=1
Noyau polynomial
d
0
X = R , k (x, x ) =
1+
n
X
!p
xi xi0
.
i=1
Noyau gaussien :
||x − x 0 ||2
k (x, x 0 ) = exp −
2σ 2
La dimension de l’espace de plongement est finie pour les noyaux
polynomiaux et infini (espace de Hilbert) pour le noyau gaussien . . . mais le
plongement est virtuel.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Caractérisation des noyaux
Théorème : une fonction k : X × X → R est un noyau ssi pour tout m-uplet
x1 , . . . , xm d’éléments de X , la matrice de Gram k (xi , xj )1≤i,j≤m est définie
positive, c’est-à-dire que pour tous réels c1 , . . . , cm ,
X
ci cj k (xi , xj ) ≥ 0.
i,j
A retenir : on sait (théoriquement) caractériser les fonctions noyaux et
déterminer un plongement correspondant.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
402 points générés à partir de 2 paraboles parallèles avec bruit gaussien.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Séparateur linéaire optimal avec marges souples : 104 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Noyau quadratique : 38 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Noyau polynomial de degré 3 : 35 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Noyau Gaussien, σ = 1 : 62 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Noyau Gaussien, σ = 0.1 : 321 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Noyau Gaussien, σ = 0.05 : 390 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
The US Postal Service (USPS) database.
I
9298 chiffres manuscrits (7291 pour apprendre, 2007 pour tester)
provenant d’enveloppes postées ou reçues à Buffalo ;
I
Chaque chiffre est une image 16 × 16 représenté par un vecteur de
[−1, 1]256 ;
I
Les jeu de tests est difficile : 2, 5% d’erreur en moyenne pour un humain ;
I
Données disponibles à
http ://www.kernel-machines.org.data.html.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Résultats (1) (Schölkopf, Smola)
Classification par SVMs sur les données USPS.
Noyau polynomial : k (x, y ) = (hx, y i/256)d .
Construction de 10 classifieurs (méthode un contre tous).
d
erreur %
Nb. moyen de VSs
1
8,9
282
2
4,7
237
3
4,0
274
4
4,2
321
5
4,5
374
6
4,5
422
7
4,7
491
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Résultats (2) (Schölkopf, Smola)
Classification par SVMs sur les données USPS.
Noyau gaussien : k (x, y ) = exp(−||x − y ||2 /(256c)).
Construction de 10 classifieurs (méthode un contre tous).
c
erreur %
Nb. moyen de VSs
4,0
5,3
266
2,0
5,0
240
1,2
4,9
233
0,8
4,3
235
0,5
4,4
251
0,2
4,4
366
0,1
4,5
722
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Comparaison des résultats (Schölkopf, Smola)
USPS+ : USPS + un ensemble de chiffres imprimés.
Classifieur
Decision tree, C4.5
Best two layer neural network
Five-layer network
Linear SVM
Hard margin SVM
SVM
Virtual SVM
Virtual SV, local kernel
Nearest neighbor
Boosted neural net
Human performance
Ens. d’App.
USPS
USPS
USPS
USPS
USPS
USPS
USPS
USPS
USPS+
USPS+
Erreur sur ens. test
16,2
5,9
5,1
8,9
4,6
4,0
3,2
3,0
5,9
2,6
2,5