UFR Sciences

ANNÉE 2013-2014
Contrôle continu
18 décembre 2013
UFR Sciences
LICENCE Sciences et Technologie – 2ème année
Examen terminal
ECP31
Physique du mouvement II
Durée 1,5 heure
Les trois exercices sont indépendants. Documents interdits. Calculatrice interdite.
I Masse d’un noyau
Un proton, en provenance d’un accélérateur de particules, entre en collision avec un noyau de masse
inconnue au repos. Dans le référentiel du laboratoire, le proton est rétro-diffusé (il repart vers
l’arrière) avec les 4/9 de son énergie cinétique initiale. En supposant la collision élastique, on veut en
déduire la masse M de la particule inconnue, par rapport à la masse m du proton.
On note 𝑣! la vitesse du proton avant le choc dans le référentiel du laboratoire.
1) Qu’appelle-t-on choc élastique ? Rappeler toutes les grandeurs conservées lors d’un tel choc.
Choc élastique : choc sans perte d’énergie ou avec conservation de l’énergie cinétique.
Grandeurs conservées : quantité de mouvement totale, énergie cinétique totale (moment
cinétique total aussi, mais on ne l’a pas vu).
2) Donner l’expression de 𝑣! , la vitesse du centre de masse des deux noyaux dans le référentiel
du laboratoire avant le choc.
!
𝑣! = !!! 𝑣! .
3) On note 𝑢! et 𝑢! les vitesses des particules de masse m et M respectivement avant le choc
dans le référentiel du centre de masse, supposé galiléen. Donner leur expression en fonction
de 𝑣! et 𝑣! .
𝑢! = 𝑣! − 𝑣! et 𝑢! = 0 − 𝑣! = −𝑣! .
!
!
4) En considérant que la collision est à une dimension, donner, sans calcul, 𝑢!
et 𝑢!
, les
vitesses des deux noyaux après le choc dans le référentiel du centre de masse.
!
!
𝑢!
= −𝑢! et 𝑢!
= −𝑢! .
!
!
5) En déduire les vitesses 𝑣!
et 𝑣!
de chacune de ces particules après le choc dans le référentiel
du laboratoire en fonction de la vitesse initiale du proton, 𝑣! et des masses m et M.
!!!
!
!
𝑣!
= 𝑢!
+ 𝑣! = −𝑢! + 𝑣! = −𝑣! + 2𝑣! = !!! 𝑣! .
!!
!
!
𝑣!
= 𝑢!
+ 𝑣! = −𝑢! + 𝑣! = 2𝑣! = !!! 𝑣! .
6) En déduire la masse M de la particule inconnue en fonction de la masse du proton, m.
!
!
!
!
!!!
!
! !
!
!
𝑚𝑣
=
×
𝑚𝑣
⟹
𝑣
=
𝑣
.
Et
donc,
=
⟹ 𝑀 = 5𝑚.
!
!
!
!
!
!
!
!
!!!
!
II Etude de Sirius
Sirius, l’étoile la plus brillante du ciel (après le Soleil !), située dans la constellation du Chien, est en
fait une étoile double. Si Sirius A est très brillante, Sirius B, ne l’est pas et ne peut être vue
directement, sauf quand elle est suffisamment éloignée (en 2025 la prochaine fois…). La présence de
Sirius B et ses caractéristiques orbitales peuvent cependant être mises en évidence par l'étude du
mouvement propre de Sirius A. C’est Halley, qui, en 1718, a observé en premier les oscillations de
Sirius A dans le ciel.
Le but de l’exercice est de déterminer les masses mA et mB de Sirius A et B respectivement.
1) Rappeler l’expression de la force de gravitation entre deux corps célestes. Faire un dessin
avec les grandeurs caractéristiques.
2) En supposant que Sirius A et B sont seules dans l’univers et n’interagissent que via
l’interaction gravitationnelle, donner les expressions de l’accélération de Sirius A et de Sirius
B dans un référentiel galiléen.
𝑚! 𝑎! = 𝐹!→! et 𝑚! 𝑎! = 𝐹!→! .
3) Quel est le mouvement de leur centre de masse G ? Justifier votre réponse.
Le centre de masse a un mouvement rectiligne uniforme car 𝑚! + 𝑚! 𝑎! = 𝑚! 𝑎! +
𝑚! 𝑎! = 0.
4) On note 𝑟! = 𝐺𝐴, 𝑟! = 𝐺𝐵 et 𝑟 = 𝐴𝐵. Trouver la relation entre 𝑟! et 𝑟, et entre 𝑟! et 𝑟.
!!
!!
𝑟! = − ! !!
𝑟 et 𝑟! = ! !!
𝑟.
!
!
!
!
5) Dans toute la suite du problème, on se place dans le référentiel du centre de masse et l’on
suppose que les trajectoires de Sirius A et B sont circulaires pour simplifier. Les observations
ont conduit à déterminer que 𝑟! = 6 u.a. et 𝑟! = 14 u.a.. 1 u.a. correspond à une unité
astronomique. A partir du rapport 𝑟! /𝑟! , en déduire une première relation entre mA et mB.
!!
!
= !! .
!
!
!
6) Donner la valeur de r en u.a.. Représenter les trajectoires de Sirius A et B en respectant à peu
près l’échelle. Placer G, les étoiles et leur vitesse sur le schéma.
𝑟 = 20 u.a.
cercles concentriques centrés sur G ; A + G + B alignés correctement.
7) Montrer qu’il est possible d’étudier le mouvement relatif des deux corps à partir de l’équation
du mouvement d’un point particulier dont on précisera les caractéristiques.
!!!
! !
𝜇 !" ! = 𝐹!→! avec 𝜇 = ! !!!! .
!
!
8) Rappeler l'expression de l'accélération d'un point matériel dans la base intrinsèque ou dans la
base polaire pour un mouvement circulaire. En déduire l’expression de la somme des masses
en fonction de la période de rotation T et de la distance relative r (troisième loi de Kepler
généralisée).
𝑎=
!!
!
!"
𝑁 + !" 𝑇 = −𝑟𝜃 ! 𝑢! + 𝑟𝜃𝑢! au choix.
On en déduit (cf cours) que 𝑚! + 𝑚! =
!!! ! !
𝒢 !!
.
9) Déduire des questions 5 et 8 les expressions des masses mA et mB en fonction de la masse
totale des deux étoiles 𝑚 ! = 𝑚! + 𝑚! et des distances 𝑟! et 𝑟! .
!!
!
!!
!
𝑚! = ! !!
𝑚 ! = !! 𝑚 ! et 𝑚! = ! !!
𝑚 ! = !! 𝑚 ! .
!
!
!
!
III Rotation autour d’un axe fixe
Un seau d’eau de masse M, que l'on assimilera à son centre de gravité G, est suspendu à une corde
enroulée autour d’un treuil, assimilable à un cylindre de rayon R, de masse m. Son moment d'inertie
!
par rapport à l'axe de rotation (Cx) s'écrit : 𝐼 = ! 𝑚𝑅! . L’axe du treuil est fixe.
La position du seau est repérée par la coordonnée z sur l’axe Oz pointant vers le bas (voir le schéma).
On lâche le seau, sans vitesse initiale, en haut d’un puits (𝑧! = 0) ; il tombe vers l’eau plus bas.
On négligera le poids de la corde et les frottements du treuil. La norme de la tension de la corde est
donc la même en tout point de la corde, toujours tendue.
1) Faire un schéma clair indiquant les forces
appliquées au seau. Sur un deuxième schéma,
tracer les forces appliquées au treuil.
Seau : poids et tension du fil.
Treuil : poids, réaction du support (sans
moment transmis suivant Ox) et tension du fil.
2) Quel est le mouvement du seau ? Quel
théorème peut-on appliquer pour étudier ce
mouvement ? En déduire une équation
différentielle pour z.
Translation rectiligne. On applique la RFD qui
conduit à 𝑀𝑧 = 𝑀𝑔 − 𝑇.
3) Quel est le mouvement du treuil ? Quel
théorème peut-on appliquer pour étudier ce
mouvement ? En déduire une équation
différentielle pour 𝜔, la vitesse de rotation du
treuil. Indiquer le sens de rotation choisi.
Rotation autour d’un axe fixe. Théorème du
moment cinétique qui conduit à 𝐼𝜔 = 𝑅𝑇.
4) Le mouvement du treuil est repéré par le point
A initialement sur l’axe Cy. Quand le treuil a
tourné d’un angle 𝜃 = (𝑢! , 𝐶𝐴), de combien
s’est déplacé le seau ? En déduire une relation
entre 𝑧 et 𝜔 = 𝜃.
Quand le treuil a tourné de 𝜃, le seau s’est
déplacé de 𝑅𝜃. Ainsi, 𝑧 = 𝑅𝜔.
5) Déduire des questions précédentes l'équation
du mouvement 𝑧 𝑡 du seau.
!
On déduit que
𝑀 + !! 𝑧 = 𝑀𝑔 ou
!!
!
!!
𝑧 = !!!! 𝑔 et donc 𝑧 𝑡 = ! !!!! 𝑔𝑡 ! .