Devoir 2

Devoir 2
Probabilités et statistiques — Automne 2010
date de remise: vendredi 29 octobre à 12h00
1. Soit
4
2x3
−
3
x
8
.
Trouvez le terme constant.
2. Le tiroir de Marc-André contient n chaussettes dont trois rouges. Quelle doit être la
valeur de n pour que, si l’on choisit 2 chaussettes aléatoirement, la probabilité qu’elles
soient les deux rouges soit de 1/2 ?
3. Soit deux variables aléatoires X et Y telles que Y = aX + b où a, b ∈
R. Démontrez que
E(Y ) = aE(X) + b
V ar(Y ) = a2 V ar(X)
4. Un dé A a quatre faces rouges et deux blanches, tandis qu’un dé B en a deux rouges et
quatre blanches. Une pièce équilibrée est lancée une fois. Si pile sort, on continue avec le
dé A, et si c’est face, on joue avec le dé B.
a) Montrez que la probabilité que face rouge apparaisse est de 12 .
b) Si les deux premiers jets de dé donnent rouge, quelle est la probabilité que le 3e soit
rouge également ?
c) Si les deux premiers jets de dé donnent rouge, quelle est la probabilité que l’on soit
en train d’utiliser le dé A ?
5. Depuis six ans, Élise cultive des glaïeuls (fleurs violettes) sur le terrain de ses parents et
les vend au bord de la route à la fin de l’été. Maintenant qu’elle a appris des notions de
probabilité, grâce aux dévoués professeurs de GHC, en examinant ses carnets de ventes,
elle a put dresser le tableau : Soit X : nombre de glaïeuls vendus par semaine.
Nombre de glaïeuls vendus par semaine
Probabilité
30
0.14
35
0.08
40
0.15
45
0.20
50
0.25
55
0.10
60
0.05
65
0.02
a) Vérifiez qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité.
b) Calculez l’espérance et la variance de X.
c) Quelle est la probabilité qu’au cours d’une semaine prise au hasard parmi les semaines de vente, elle ait vendu moins de 50 glaïeuls ?
d) Si elle a toujours vendu chaque tige de glaïeul au prix de 1.50$, calculez l’espérance
et la variance de son gain brut par semaine. (Utilisez le numéro ?? afin de répondre
à cette question.)
6. Une boîte contient 1000 clous dont 10 sont défectueux. On choisit au hasard 100 clous
(avec remise).
1
70
0.01
a) Quelle est la probabilité que 5 clous soient défectueux ?
b) En utilisant l’approximation appropriée, estimez la probabilité que 5 clous soient
défectueux.
c) Quelle est l’erreur relative de cette approximation ?
7. Une centrale téléphonique reçoit en général 8 appels d’urgence par heure. On suppose
que X, le nombre d’appels d’urgence, suit une loi de Poisson.
a) Quelle est la probabilité que durant les 15 prochaines minutes on ait exactement un
appel d’urgence ?
b) Quelle est la probabilité d’en recevoir au moins un ?
c) Pour un réceptionniste, la journée de travail est de 6 heures.
i) Quelle est la probabilité qu’il reçoive 45 appels d’urgence durant sa journée de
travail ?
ii) Pour les 10 prochaines journées de travail, quelle est la probabilité qu’il y ait
quatre journées où il reçoit 45 appels ?
8. (Boni) On lance une pièce de monnaie jusqu’à ce que l’on obtienne face. Soit la variable
aléatoire X définie comme étant le nombre de lancers avant d’obtenir face.
a) Trouvez P (X = n), la loi de probabilité associée à X.
b) Démontrez qu’il s’agit effectivement d’une loi de probabilité.
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