Feuille d’exercices 21 - Matrices - MPSI 1 2. Montrer que ∀A, B ∈ Mn (K), Tr (AB) = Tr (BA) et 1 2 3 Tr (t A) = Tr (A). Soit A = 2 3 4 . Montrer que l’équation AX = B avec 3. Montrer qu’il n’existe pas de matrices A et B dans Mn (K) 3 4 5 telles que In = AB − BA. X, B ∈ M3,n (R) admet des solutions si et seulement si les colonnes 4. Pour 1 ≤ i, j ≤ n, A ∈ Mn (K), déterminer Tr (AEi,j ). de B sont en progression arithmétique. 3 3 5. Soit ϕ une forme linéaire de Mn (K). Montrer qu’il existe une Résoudre AX = 4 5 . unique matrice A telle que ∀M ∈ Mn (K), ϕ(M ) = Tr (AM ). 5 7 Exercice 7 Exercice 2 1 0 1 1 ... 1 Calculer l’inverse des matrices suivantes : 2 −1 1 et .. ∈ M (R), A = {aI +bU, (a, b) ∈ R2 }. Soit U = ... n n −1 1 −1 . 1 1 −1 1 ... 1 2 0 1 1. Montrer que A est un sev et un sous anneau de Mn (R). 2 1 −1 2. Montrer que M = aIn + bU ∈ A est inversible dans A si et Exercice 8 seulement si b(b + na) 6= 0 et déterminer M −1 . Pour n ∈ N∗ , on définit A = (ai,j ) ∈ Mn (R) par ai,j = j−1 i−1 pour 3. Montrer que si b(b + nb) = 0, alors M n’est pas inversible dans i ≤ j et 0 sinon. Mn (R). 1. Déteminer l’endomorphisme de Rn−1 [X] dont la matrice dans Exercice1 4. Déterminer les matrices M ∈ A telles que M n = In . Exercice 3 On considère la matrice A = −1 −2 3 4 la base canonique (1, X, ..., X n−1 ) est A. 2. Montrer que A est inversible et déterminer l’inverse de A. Exercice 9 Soit f ∈ L(E) un K-ev de dimension n tel que f n−1 6= 0 et f n = 0. . 1. Calculer A2 − 3A + 2I2 . 1. Soit a ∈ E tel que f n−1 (a) 6= 0. Montrer que la famille (a, f (a), ..., f n−1 (a)) forme une base de E. 2. Montrer que A est inversible et déterminer son inverse. 3. Pour ≥ 2, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X 2 − 3X + 2. 2. Déterminer les matrices de f, f 2 , f 3 , ..., f n−1 dans cette base. 3. Montrer que 4. Calculer An pour n ∈ Z. {g ∈ L(E), f ◦ g = g ◦ f } = Vect {Id, f, .., f n−1 }. Exercice 4 Soit f l’application linéaire de R4 dans R3 dont la maExercice 10 trice 1 1 0 2 1 1 dans les bases canoniques (e1 , e2 , e3 , e4 ) et (f1 , f2 , f3 ) est 4 5 −7 7 Déterminer le rang des matrices 1 0 1 et 1 2 1 . 2 1 −1 3 . 0 1 1 1 1 2 1 −1 2 1 Exercice 11 Déterminer en fonction des paramètres le rang de la matrice 1. Calculer f ((x, y, z, t)) pour (x, y, z, t) ∈ R4 . 1 1 1 2. On définit deux bases B = (e1 , e2 , 4e1 + e2 − 3e4 , −7e1 + e3 + b + c c + a a + b . 0 5e4 ) et B = (4f1 + 2f2 + f3 , 5f1 + f2 − f3 , f3 ). Déterminer bc ca ab la matrice de f par rapport aux bases B et B 0 . Exercice 12 - Produit par blocs. Exercice 5 Soit M ∈ Mm,n (K), M 0 ∈ Mn,p (K) telles que On rappelle que la famille des matrices élémentaires Ei,j forme la 0 A B A C0 base canonique de Mn (K). 0 M= et M = C D B 0 D0 1. Calculer Ei,j .Ek,l pour 1 ≤ i, j, k, l ≤ n. 2. Déterminer l’ensemble ∀bMn (R), AB = BA. des matrices A telles que 3. Montrer que In + Ei,j est inversible et déterminer son inverse. Exercice 6 - Trace d’une matrice carrée Pour A = (ai,j ) ∈ Mn (K), on note Tr (A) = n X ai,i la trace de A. i=1 1. Montrer que Tr est une forme linéaire de Mn (K). avec A ∈ Ms,t (K), B ∈ Ms,n−t (K), C ∈ Mm−s,t , D ∈ Mm−s,n−t (K) et A0 ∈ Mt,r (K), B 0 ∈ Mt,p−r (K), C 0 ∈ Mn−t,r (K), D0 ∈ Mn−t,p−r (K). A.A0 + B.C 0 A.B 0 + B.D0 0 Montrer que M.M = . C.A0 + D.C 0 C.B 0 + D.D0 Ce résultat se généralise à des matrices par un nombre quelconque de blocs. Retenir qu’on peut effectuer un produit par blocs entre deux matrices lorsque les dimensions le permettent. Exercice 13 Résoudre en fonction 2 du x − my + m z vant : mx − m2 y + mz mx + y − m2 z Exercice 14 paramètre m ∈ R le système sui= 2m = 2m = 1−m 1. Soit B ∈ Mn (K). Montrer que rg B = 1 si et seulement si ∃L ∈ M1,n (K), C ∈ Mn,1 (K), B = C × L. 2. Soient C ∈ Mn,1 (K) et L ∈ M1,n (K). Montrer que (CL)2 = (LC)CL = Tr (CL)CL. 3. Soit A = In + CL ∈ Mn (K). Montrer que si 1 + Tr (CL) 6= 0, alors A admet un inverse de la forme In + αCL avec α ∈ K à déterminer. 4. Montrer que si 1 + Tr (CL) = 0, alors In + CL n’est pas inversible. On pourra utiliser une relation entre (CL)2 et CL. 5. Soient U inversible et V de rang 1 deux matrices de Mn (K). Montrer que U +V est inversible si et seulement si Tr (U −1 V )+ 1 6= 0 et le cas échéant, déterminer l’inverse de U + V .