statistiques, moyennes

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Complément de connaissances
STATISTIQUES, MOYENNES
Définition : La moyenne ! d’une série statistique est le quotient de la somme de toutes les
valeurs de cette série par l’effectif total.
! = !"##$ !"# !"#$%&'( "!""!#$%" ×!"#$%&"
!""!#$%" !"!#$
= !! !! ! !! !! !⋯..!!! !!
!
Exemple 1 :
Dans un service de maintenance, on a répertorié le nombre d'interventions par jour sur un
mois. On a obtenu la distribution suivante:
Nb d'interventions xi
3
5
6
7
8
9
Nb de jours ni
2
4
9
6
3
1
! = ! × ! ! ! × ! ! ! × ! ! ! × !! ! ×!!! ×! Donc
!!!!!!!!!!!
! = !""
!"
= 6,2
Le nombre moyen d’interventions par jour est de 6,2.
Exemple 2 :
Lorsque les valeurs sont regroupées par classe, le calcul du montant moyen s’effectue en
utilisant les centres des classes comme valeurs de la variable x i
Pour un échantillon de 60 véhicules, on connaît le nombre de km parcourus.
Km ( en milliers) [0 ; 20 [
[20 ; 40 [
[40 ; 60 [
[60 ; 80 [
Effectif
24
20
9
! = 7
! × !" ! !" ×!"!!" ×!"!! ×!" !!!"!!"!!
Donc
! = !"!#
!"
≈ 40,33
Le nombre moyen de kilomètres parcourus par un véhicule est de 40 333 kilomètres environ. 1
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Propriétés de la moyenne:
Propriété 1 : La moyenne est la valeur théorique que prendraient toutes les valeurs si elles étaient égales. Propriété 2 : Si on multiplie chaque valeur de la série statistique par un réel a
(a non nul), alors la moyenne est multipliée par a.
Propriété 3 : Si on ajoute à chaque valeur de la série statistique le réel b,
alors la moyenne augmente de b.
Propriété 4 : Si une série est partagée en deux séries d’effectifs N et P, de
moyenne ! et !, alors la moyenne de la série totale est ! =
! × ! !! × ! !!!
.
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PROBABILITES
Calcul de probabilités
Propriété : Dans une expérience aléatoire :
•
•
•
La probabilité p(A) d’un évènement A vérifie : 0 ≤ p(A) ≤ 1
La somme des probabilités des évènements élémentaires vaut 1.
La probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des évènements
élémentaires qui le constituent.
Remarques : La probabilité de l’évènement vide vaut 0 : p(∅) =0
La probabilité de l’évènement certain vaut 1 : p(Ω) =1
Définition : Lorsque, dans une expérience aléatoire, toutes les issues ont la même
probabilité de se réaliser, on dit que l’expérience est équiprobable.
Propriété : Lors d’une expérience aléatoire ayant n issues équiprobables :
!
• La probabilité de chaque évènement élémentaire est !
• La probabilité d’un évènement A est : p(A) = !"#$%& !" !"# !"#$%"&'()
!"#$%& !" !"# !"##$%&'#
= !" !" !"# !é!"#$!%& ! !
Évènement contraire
Définition : On appelle évènement contraire d’un évènement A, l’évènement noté A qui contient l’ensemble des évènements élémentaires n’appartenant pas à A. Propriété : La probabilité de l’évènement contraire d’un évènement A est : p(A) = 1 – p(A) 3
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CALCUL LITTERAL
Identités remarquables :
Elles permettent de développer ou factoriser plus rapidement une expression littérale :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b) (a – b) = a² – b²
Solution d’une équation :
Un nombre est solution d’une équation, si en remplaçant l’inconnue par ce nombre l’égalité
est vérifiée.
Exemple :
On considère l’équation : 2!² + 5! − 3 = 0.
Montrons que - 3 est solution de cette équation.
2! ! + 5! − 3 = 2 −3
!
+ 5× −3 − 3
= 2×9 − 15 − 3
= 18 − 18 = 0
L’égalité est bien vérifiée donc (-3) est bien solution de l’équation 2!² + 5! − 3 = 0.
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TRIGONOMETRIE
La trigonométrie ne peut s’utiliser que dans un triangle rectangle.
Définitions
A
Hypoténuse
B
C
Pour l’angle !"# :
§ le côté adjacent est [AB] § le côté opposé est [BC] Pour l’angle !"# :
§ le côté adjacent est [BC] § le côté opposé est [AB] § Sinus =
!ô!é !""!#é à !!!"#$%
Tangente =
!!"#$é!"#$
Cosinus =
!ô!é !"#!$%&' à !!!"#$%
!!"#$é!"#$
!ô!é !""!#é à !!!"#$%
!ô!é !"#!$%&' à !!!"#$%
Remarques :
1) les longueurs des côtés doivent être exprimées dans la même unité. 2) Pour se souvenir des formules de trigonométrie, on peut se rappeler de SOHCAHTOA ou bien de CAHSOHTOA, où C signifie Cosinus – S signifie Sinus et T signifie Tangente A est le côté Adjacent – O est le côté Opposé et H est l’Hypoténuse
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Utilisation de la calculatrice
Calcul d’une longueur
Exemple :
Soit le triangle ABC rectangle en B, tel que AB = 4 cm et !"# = 32°.
Calculer AC.
Dans le triangle ABC, rectangle en B, d’après les relations de trigonométrie, on
a:
Cos !"# = Cos 32° = AC =
!
!"
!"
!
!"
!"# !"
Sur la calculatrice, on saisit :
« 4 ÷ (cos 32 ) = »
D’où AC ≈ 4,7167 ….
Calcul d’un angle à partir de son cos, sin, tan
Exemple :
Soit le triangle ABC rectangle en B, tel que AB = 4 cm et AC = 6 cm.
Calculer !"#.
Dans le triangle ABC, rectangle en B, d’après les relations de trigonométrie, on
a:
Sin !"# = !"
!"
!
Sin !"# = !"#
!
!! !
= sin
!
Sur la calculatrice, on saisit :
« sin!!
!
!
= »
D’où !"# ≈ 41,81 . .. en degré
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CALCUL D’AIRES ET DE VOLUMES
Unités de mesure
Unités de longueur
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Unités d’aires et unités agraires
1 m² = 100 dm² = 0, 01 dam²
km²
hm²
ha
dam²
a
1 hectare (ha)
1 are (a) = 100 m²
1 centiare (ca)
m²
dm²
cm²
= 1 hm²
= 1 m²
mm²
ca
Unités de volumes et de capacité
3
Les m sont des unités de volume
Les Litres (L) sont des unités de capacité
1 m3 = 1000 dm3
1L
= 1 dm3
3
1m
= 1 000 L
1L
= 100 cL
1 cm3 = 0,1 cL
km3
hm3
dam3
m3
dm3
hL daL
L
cm3
dL cL mL
mm3
Unités de masse
1 tonne (t)
= 1 000 kg
1 quintal (q) = 100 kg
1 kg
= 1 000 g
t
q
.
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
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Formulaire – figures planes
carré
rectangle
Aire = c²
Aire = L×l
losange
Aire =
Périmètre = 4c
Périmètre = 2(L+ l)
parallélogramme
triangle
Aire = b×h
Aire =
b×h
2
! ×!
!
Périmètre = 4c
trapèze
Aire =
(B+b)
×h
2
disque
Aire = πr²
Périmètre= 2 πr
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Formulaire – solides
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