Université Mohammed Premier ENSAO

Université Mohammed Premier
ENSAO
TD Algèbre 3 – Série N° 2
Filière STPI – S3 – Année 2015-16
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−1 0 0
Exercice 1 : Soit dans M3 (R) la matrice 𝐴 = ( 0 0 −1)
1 1 2
a) Exprimer le polynôme caractéristique de A ;
b) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A ;
c) Trigonaliser A et déterminer une matrice P qui trigonalise A. La matrice A est-elle diagonalisable ?
0 −𝑏 𝑐
Exercice 2 : On considère dans M3 (R) la matrice 𝐴 = ( 𝑎
0 −𝑐 )
−𝑎
𝑏
0
Pour quelles valeurs des paramètres a, b et c A est diagonalisable ?.
2
1 −2
Exercice 3 : Pour quelles valeurs du paramètre α la matrice 𝐴 = (1
α −1 ) de M3 (R)
1
1 −1
n’est pas diagonalisable ? Trigonaliser A pour ces valeurs de α .
Exercice 4 : On se propose de déterminer le nombre de solutions dans M3 (K) (K = R ou C ) de
1
3
0
l’équation (E) : X2 = A où 𝐴 = (3
−2 −1)
0 −1
1
a) Déterminer spec(A) ;
b) Montrer qu’il existe une matrice P dans GL3 (K) telle que P-1AP=D où D=diag(spec(A)) ;
c) Montrer que toute matrice de Mn (K) qui commute avec une matrice diagonale, dont les éléments
diagonaux sont distincts deux à deux, est diagonale ;
d) Montrer que si X est une solution de (E), alors P-1XP commute avec D ;
e) Montrer que X est solution de (E) si et seulement si P-1XP est solution de l’équation Y2 =D ;
f) Enumérer les solutions de l’équation (E) dans M3 (R) et dans M3 (C).
Exercice 5 : Soient A et B deux matrices de Mn (R) semblables dans Mn (C), on se propose de
montrer qu’elles sont semblables dans Mn (R).
a) Soit P ϵ GLn (C) telle que : P-1AP=B . Montrer que la partie réelle Q et la partie imaginaire R de P
vérifient : AQ = QB et AR = BR ;
b) Pour z ϵ C, on pose F(z) =det(Q+zR). Montrer que F est une fonction polynomiale non nulle de
degré inférieur ou égal à n. En déduire qu’il existe un réel α tel que la matrice Q+ α R est inversible
et puis que A et B sont semblables dans Mn (R) ;
1 2 3
1 3 2
c) Application : 𝐴 = (3 1 2) et 𝐵 = (2 1 3)
2 3 1
3 2 1
i. Montrer que A et B sont toutes les deux semblables à une matrice diagonale D ϵ M3 (C) et
déterminer D et déduire de ce qui précède que A et B sont semblables dans M3 (R).
ii.
A et B sont-elles diagonalisable dans M3 (R) ?
Exercice 6 : Soient A et B deux matrices de Mn (K). On se propose d’établir l’égalité des polynômes
caractéristiques des matrices AB et BA.
a) Etablir l’égalité si A est inversible.
b) Si A n’est pas inversible, montrer qu’il existe un réel ε >0 tel que la matrice A+tIn est inversible
pour tout t ϵ]0, ε[.
c) En déduire que l’égalité est encore vraie pour A non inversible.
d) Applications :
i. Montrer que pour tout p ϵ N, (AB)p et (BA)p ont le même polynôme caractéristique.
ii. Si K = C, montrer que les coefficients du polynôme caractéristique de 𝐴𝐴̅ sont réels.
3 −1 1
Exercice 7 : On considère dans M3 (R) la matrice 𝐴 = (0
2 0)
1 −1 3
a) Montrer que A est diagonalisable et trouver une matrice P qui diagonalise A ;
b) En déduire An pour un entier n > 1 ;
c) Application : Déterminer les suites (un), (vn) et (wn) de nombres réels définies par :
u 0 = 1, v 0 = 1, w 0 = 2
u
= 3u 𝑛 − v 𝑛 + w 𝑛
{ 𝑛+1
v 𝑛+1 = 2v 𝑛
w 𝑛+1 = u 𝑛 − v 𝑛 + 3w 𝑛
0
1
Exercice 8 : On considère dans Mn (R) la matrice 𝐴𝑛 = (
0
1
0
⋱ ⋱
)
⋱ ⋱ 1
1
0
et on désigne par Pn(X) son polynôme caractéristique.
a) Calculer P1(X) et P2(X) et montrer que Pn(X) = -x Pn-1(X) - Pn-2(X)
b) Montrer que 𝑃𝑛 (−2 cos(𝛼)) =
sin((𝑛+1)𝛼)
sin(𝛼)
pour α ϵ ]0, 𝜋[ .
c) En déduire que Pn(X) admet n racines distinctes, puis que An est diagonalisable.
Exercice 9 : Soient A et B deux matrices de Mn(K) diagonalisables telles que spec(A)∩spec(B)=∅.
On se propose de montrer que pour toute matrice C de Mn(K), les matrices :
𝐴 𝑂𝑛
𝐴 𝐶
𝑉=(
) et 𝑊 = (
) sont semblables dans M2n(K).
𝑂𝑛 𝐵
𝑂𝑛 𝐵
a) Montrer que V est diagonalisable ;
𝐼
𝐷
𝐼
b) Vérifier que ∀ D ϵ Mn(C) , la matrice P=( 𝑛
) est inversible et P-1=( 𝑛
𝑂𝑛 𝐼𝑛
𝑂𝑛
𝐴 𝐸
c) Vérifier que P-1 WP= (
) où E = AD – DB + C ;
𝑂𝑛 𝐵
−𝐷
);
𝐼𝑛
d) Soit L l’endomorphisme de Mn(K) défini par : L(M) =MB-AM. Soit M ϵKer(L), montrer que pour
tout vecteur propre X de B on a MX=0. En déduire que M= On;
e) En déduire que ∀ C ϵ Mn(K), ∃ D ϵ Mn(K) tel que C = DB – AD. Conclure.
1
5
f) Application : diagonaliser la matrice 𝑊 = (
0
0
0
2
0
0
7 9
5 8
)
3 0
6 4