Les séries l et le théorème de Dirichlet

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
G ÉRARD R AUZY
Les séries l et le théorème de Dirichlet
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 2 (1960-1961), exp. no 4,
p. 1-9
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4-01
Séminaire DELANGE-PISOT
(Théorie
nombres)
des
année, 19~4/61 ~
2e
12 décembre 1960
n° 4
LES
SÉRIES
ET LE
L
THÉORÈME
DE DIRICHLET
par Gérard RAUZY
I. Définitions
1: Soit
un
m
nombre entier
positif
et
X
un
prenant le caractère x lui-même ou
(égal à 0 pour
prolongement de ce
o En
peut définir
1
Comme
r
rie
de Riemann
Il
en
d’Euler
en
que soit
~( ~ = ~ 2014 ~
~(s)
ns
la
désignant
résulte,
en
prenant
tout entier
le
la fonction
n
entier,
on
que les sériess
partie réelle
x(n)
voit~
L
de
caractère propre
non
deux séries de Dirichlet dites séries
quel
> 1
pour Rs
On
1
mod m , de conducteur
caractère
premier
avec
L :
comparaison avec la s~absolument convergentess
par
sont
s ).
étant multiplicative, que l’on
a
l’identité
(1)
déduit alors que :
.
n
2e
E p
~
x(a) =
0
donc ~ x(a)
1
positif ;
()
a
ne
il
en
est bornée
quel
résulte que l’abscisse de convergence simple
alb
La condition
divise pas b 0
signifie :
que soit
n
entier
1
a
divise
oc
b . La condition
de
aJb
est
signifia :
inférieure
0
à
égale
ou
xÀc.
quand
ç9
à
Gomme la série
x(a)
1
As >
Donc pour
lytiques
de
0 ,
(limites uniformes,
s
1 ,
s >
forme pour
s z so
et
>
possible
continuité, en prenant
Il est donc
s
s
pour
lim
.
~(p)~ s)-1
produit fl (1 -
fonction continue de
Log
L
Log
de définir la fonction
> 1
(six)
=
s’ annule ja-
étant uni-
1 .
pour limite
a
ne
s
k)
~ , la conver gence de
-
(x)
0 ,
0 .
anaavec x À a sont des fonctions
compact, de fonctions analytiques).
strictement- Le
k)
quand
tout
=
~
étant absolument convergent, Lm(s
mais pour
)x)
OE
Log L (s k ) ,
1
à
supérieur
réel
s
sur
et de
3 . Définition de
supposons
L (s
les fonctions
b 0 . Donc
OE
converge pas,
ne
L
m
(s k)
par
0 .
m .
s-oJ
prenant de même la détermination de Log(1
-1
pour tout s
peut définir Log(1 -
En
on
~(p) s)
p > 2 ). 0n
a
alors
et, en définitive,
évidemment pour
pour
s >
s
> 1 :
+
>
Log
zl ’ qui
s’annule pour z
0 . (Carx(p) ( 6 1 et
L
(s lx)
=
1 Log(1 - ~(p)
II. Le théorème de Dirichlet.
g(p)
On a alors,
=03A32~
103BD 03B1(pp~
03BD) 03BDs .
si
s > 1
o ,
ps)-1 .
1
la série double du deuxième membre étant absolument convergente pour
1. Posons
=
s
> 1 ~
Et par
conséquent
reste bornée
où
De
restant bornée
g(s lx)
même,
quand
égal
est évidemment constant et
2.
premiers
classe de restes
une
On
a
Soit,
donc,
en
vertu du
à
X (A)
on
peut écrire
pour tout
p
pour
E
s > 1
A ~ où
A
est
m.
> 1
s
pour
avec
s ~ 1 ~
quand
principe
de dualité :
S oit finalement
Supposons
3~
que pour tout
soit différent de
> 0 y L (s ~~ -~
précédemment défini
caractère
X distinct du caractère principal
0 .
si
Alors,
Rs
D’autre part,
Enfin
Il
e n
G(s |~)
~~~
quand
en
l’analyticité pour
vers
1 , Log L (s ~X~
vertu de
s > 1
tend
reste borné.
Log
L(sje)
reste
r é sulte a lor s que
=
bornée.
Log
quand
s
E ~
~
1 .
peut montrer aisément que ce résultat reste valable si s -~ 1 de manière
quelconque ; on en déduit alors, par des procédés analytiques, que si n (x ~ A)
On
le nombre de
désigne
Le résultat que
un
borné quand
Si
s
et
m
de la forme
1,
~
premiers
donc aussi
n
sont
premiers
ma
+n
où
conçoit
que,
ainsi calculer
(en
montrer de
du
point
c’est
peut
pas y avoir
1 ps serait
là le théorème de Dirichlet.
(car
A
ne
03A3
alors
infinité de nombres premiers
a une
positifs
L(ljx) ~ 0 si X
)( de conducteur
de
en
utilisant les
explicitement
propriétés
n’est pas
principale
tel que
4
des racines de
L(ljX)
les valeurs de
pour
un
l’unité,
puisse
x quel-
on
caractère
périodicité de x(a) en a ) et que l’on puisse ainsi
manière purement algébrique la propriété fondamentale des séries-L
utilisant la
vue
théorème de
Dirichlet ( ).
procédé étant long à exposer, nous
l’analyse. Plus précisément, posant
Le
~ étant le groupe des caractères modulo
()
qu’il
calculer
peut
conque
Log 1 s - 1) ;
est entier
a
Si l’ on considère le caractère
On
dans la classe
entre eux, il y
III. Démonstration du fait que
on
on a :
x
obtenu montre immédiatement
nous avons
nombre fini de nombres
à
premiers inférieurs
le nombre de nombres
signe
dé-
x ~ et si
inférieurs à
A
dans la classe
p
Voir : HASSE
utiliserons
m ~
(Helmut). - Vorlesungen
Verlag, 1950 (Grundiehren
nous
une
méthode ayant
écrirons pour
über Zablentheorie. -
der mathematischen
s >
recours
à
1
Berlin, SpringerWissenschaften, 59) w
Nous montrerons alors :
o (n)
2- -’201420142014
1
n~
co
1~ que l’abscisse
.201420142014
a
:
a
1
en
en
résulte
calculant
p(m)
2°
pour
qu’il
tout ~ ~
1. Calcul de
a.
nière
algébriquement
a un
est telle que
les coefficients
pôle
s
pour
=
1 ,
donc que
L(1 jx) ~ 0
s *
o (n) .
Remarquons
(n , n’’) = 1 ~
de convergence de la série
tout d’abord que
à toute
biunivoque ,
une
est
décomposition 00’
décomposition de
b. Il suffit donc de calculer
~
une
N.
fonction
on
...
pour tout
multiplicative : si
peut associer,
p-premier
et tout ~
S (x)
=
H
)(~:?
(~
~=0
ma-
entier.
2014201420142014
co
Considérons alors la sér:i.e formelle
de
x~) ;
on a
Nous allons maintenant transformer le
ca
produit
T
(x) = ~Î (1 - xXtp) )
o
x~R
Soit R
l’ensemble des
~ ~ R tels que
Rp
est
conducteur)
p
soit
l’ on
premier
Si
03B603B1
P
soit
AP ,
est
quand
morphisme
p
l’ensemble des
une
en
quand
p
La correspondance
a .
et le groupe
parcourt él
particulier,
(a)
comme
résulte que iorsque
comparant
étant
sous-groupe de R
et
a
P
=
avec:
d’intégrité :
T(x)
x
=
1 .
tl
est
un
P
sous-grou-
indexo
x(p)
la fonction
entre le groupe Rp/Up
x(p)
son
a
-
a une
Ça
valeur ,c.onstante
est évidemment
multiplicatif
des valeurs
un
iso-
prises
o
P
e , élément unité de
parcourt A
fp-ièmes de l’unité. On a donc :
En
un
p
P
classe de
parcourt
x (p)
tels que
f
ordre,
son
g
P
A
e
x
1
En
évidemment
tels que
a :
a
par
a
(c’est-à-dire
p
Soit alors U
pe do
leur
avec
0
S(x) =1 y
/É1 ,
parcourt les
d ’ ordre
f
-racines
il vient l’anneau des séries formelles
il
Il
entiers et que l’on
a s
divise l’ordre de R
index
f
d.
03C6 (m)
à-dire
.
A
étant
a M
(n) 0 ,
ie 03A3n 03C3m(n) n1/03C6(m)
(n)
03B1
de s
pôle
a un
s
pour
b. Si
en
s
>
La
phe
1 .
on a :
c onver ge nte.
absolument
est
simple
d’un nombre fini de séries
convergente.
est donc telle que
de la
pour
déjà
nous avons
L(s)e)
=
vu
s
étaient des fonctions holomorphes
que
03B6(s) .
(1 - 2 p) ç(s)
2
=
03A3
(-1)n p
ns
pour
s >
1,
se
prolonge
deuxième membre, dont la
somme
pour
est
s
> 0
analyti-
> 0 .
fonction 03B6(s)
ne
03C3m(p03BD)
donc
résulte que pour tout
moyen de la série de Dirichlet du
que pour
on a
> 0 ~
~ = ~ ,
La fonction
au
03C6(m) ,
de
1 , 03A3 03C3m(n) ns produit
de convergence
a
)( ~ e ~
Si
il
multiple
c’est-
1 .
2~ ~ (s)
a.
est
pa s êtr e
peut
ne
part, pour tout
absolument convergentes,
L’absoisse
v
qui divise l’ordre de ?
> 1 0
et que
D ’ autre
1 03C6(m)
si
fortiori,
multiplicative)
a
s ér
La
p
p
p
P
J
sont des
résulte alors par identification que les coefficients
en
pouvant avoir
En considérant
est donc
comme
prolongeable
seuls
la fonction
pales
pour
que les
s
> 0
zéros de
par
une
fonction méromor-
1 .. 2 .
fonction qui est
on
que,
Pour
s >
pour
pôle
un
de résidu
fonction ~ (s)
0~
La
me
singularité,
"
03B6(s)
la fonction
ne
cette
par
une
p8le
fonction
de
03B6(s) ,
singularité s
n’a qu’une seule
analyti1 *
est
s
==
le point
s
=1
1 .
peut donc avoir
singularité étant
’
’
0
1 - 2 2s ,
voit facilement que le seul zéro de
s>0
qui est
également prolongeable
"
alors
>0
s
pour
un
point
s=l
com-
pôle.
’°
’
que le
"
"
a
d. Si
une
fonction
f (s)
analytique
se
développe
d~ abscisse de convergence
nuls~ alors f(s)
prolongeable pour
Supposons
f (s)
que
Soit
simple
s ingular ité
a une
en
série de Dirichlet
étant positifs ou
suppose évidemment f (s)
les coefficients
( on
s =a
pour
le contraire : les
p=
a
+ 2014 ;
rie de rayon de
a
n
a ).
(Rs
singularités étant isolées,
singularité pour )s - a} ~D .
n’a pas de
S -~
n~
f (s)
développable
est
conver gence supérieur
ou
en
il existe
série de Taylor
au
D > 0
tel
point 03B2, sé-
égal à 2D 3 .
a
Comme p
mes
> 03B1, on
peut dériver
vergente. Si
R,
)y -
03B2| 2D 3
donc 03A3 03BD=0 ~ 03BD! f03BD(03B2)
B03BD,n =an n03B2 ({03B2 - 03B3} Log n)03BD 03BD! , B03BD,n
famille
série convergente.
B03BD,n
Or,
est
est
sommable,
cette série est
et
par
03A3n’an y ,
(03B3 - 03B2)03BD
s >
fi )
ter-
a
et que
a
est l’abscisse de convergence
est
con-
et B03BD,n)
conséquent
03A3n (03A303BD B03BD,n)
impossible puisque
positif
.st
est
ce
qui
n
Y
pour
à termes. On a donc
Soit alors :
une
(qui représente f (s)
simple.
est
4-09
L(l)x) ~ 0 si ~ ~ ~ .
3.
En effet,
le lemme
d’après
précédent
série de Dirichlet à coefficients positifs
s
=a ~ c’est-à-dire pour
D’après
Si l’une
H
x~~
L(s)x)
le lemme
au
(c)
cette
aurait
un
resterait
tit à
une
==
1 , 03B6m (s)
=
du
L(l ))()
s
==
1 ,
ne
une
par
singularité
peut être qu’un pôle pour
avait
et
holomorphe pour
03B6(s) H L(s)x)
contradiction.
certainement
a
> a
s
pour
une
pour
segment
singularité
zéro pour
~ **
s
point
moins des séries
1 s - 1 03A0X~~L(s|~)
pour
un
représentable
~~(s)
un
vertu de
en
s
zéro pour
==
==
1~
le
==
1 .
produit
l’analyticité
1 . Comme
resterait donc
s
s
03B6(s)
a
holomorphe,
un pôle
ce
qui
simple
abou-