Dérivabilité

Dérivabilité
10 décembre 2016
1
Dans tout ce chapitre f désigne une fonction définie sur un intervalle I et a 2 I.
1. Définitions et premiers résultats
1.1 Définitions
On connait depuis le lycée la définition exacte de fonction dérivable en un point. Un brinde rappel ne fait cependant
pas de mal.
Définition.
1) On dit que la fonction f est dérivable en a si la limite suivante existe :
f (x)
x
f (a)
! l
x!a
a
On appelle f (x)x fa (a) le taux d’accroissement en a et le nombre l la dérivée de f au point a . On le note f 0 (a).
2) On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable
en tout point de I.
(
I! R
3) Lorsque f est dérivable sur I, on note f 0 :
la fonction dérivée.
x 7! f 0 (x)
Remarque. De manière équivalente on montre que f est dérivable au point a si et seulement si :
f (a+h) f (a)
h
a une limite lorsque h tend vers 0.
p
Exemple. On prend f (x) = x et a > 0 :
f (a+h) f (a)
h
=
p
a+h
h
p
a
=
pa+h ap
h( a+h+ a)
=
p
1 p
a+h+ a
!
1
p
2 a
En revanche si on prend a = 0 la limite n’existe pas.
Donc la fonction racine est continue sur R+ mais dérivable seulement sur R⇤+ .
Remarque. Si l’on connait les notations de Landau, il ne s’agira que d’un simple exercice d’écriture que de montrer
que f est dérivable en a si et seulement si f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + o(h).
Définition.
1) On dit que la fonction f est dérivable à gauche en a si la limite suivante existe :
f (x)
x
f (a)
a
! l
x!a
On note cette limite fg0 (a).
2) On dit que la fonction f est dérivable à droite en a si la limite suivante existe :
f (x)
x
f (a)
a
! l
x!a+
On note cette limite fd0 (a).
Remarque. A la lumière du chapitre précédent sur les limites il est évident qu’une fonction est dérivable en un point
et et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en ce point et que les dérivées gauches et droites coincident.
Exemple. x 7!| x |admet une dérivée à gauche (resp à droite) en 0 égale à
0.
1 (resp 1) donc n’est pas dérivable en
2
1.2 Liens avec la continuité
Proposition. Une fonction dérivable en a est continue en a.
Démonstration. Soit f une fonction dérivable en a. Il suffit de voir que f admet une limite en a.
On sait que
f (x) f (a)
!
x a
x!a
f 0 (a) donc
f (x) f (a)
x a
a)f (a) ! 0 .
0
Or (x
f 0 (a) ! 0 et en multiplant par (x
x!a
a) : f (x)
f (a)
(x
x!a
a)f 0 (a) ! 0 donc f (x) ! f (a) et f est continue en a.
x!a
x!a
Example. La réciproque est évidemment fausse car la fonction x 7!| x | est continue mais pas dérivable en 0.
8
>
<R ! R
Exercise. Montrer que la fonction f :
x2 Si x 2Q est dérivable en 0 mais continue sur aucun voisinage
>
:x 7!
0 Si x 2
/Q
de 0.
1.3 Interprétation graphique
On se donne pour x 2 I tel que x 6= a et on considère les points suivants de la courbe de f : A : (a, f (a)) et
M : (x, f (x)). La droite (AM ) a pour pente le taux d’accroissement f (x)x fa (a) . On peut donc voir, s’il existe, le
nombre dérivé en a comme la limite des pentes des cordes du graphe de f partant de a.
La droite passant par A et ayant pour pente f 0 (a) est donc tangente en A à la courbe de f .
Remarque. La droite d’équationy = f 0 (a)(x
a) + f (a) est donc la droite tangente à la courbe de f en a.
3
2. Opérations sur les fonctions dérivables.
Proposition.
(
Da ! R
est une forme linéaire.
f 7!
f 0 (a)
2) Le produit de fonctions dérivables en a est dérivable en a et (f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + g 0 (a)f (a)
1) L’ensemble Da des fonctions dérivables en a est un espace vectoriel et
Démonstration. Soient f et g deux fonctions dérivables en a et soient
et µ 2 R.
1) Il s’agit ici de montrer que toute combinaison linéaire de fonctions dérivables est dérivable et que le nombre
dérivé de la combinaison linéaire est la combinaison linéaire des nombres dérivés.
( f +µg)(a+h) ( f +µg)(a)
h
=
f (a+h) f (a)
h
µ g(a+h)h
g(a)
proposition.
2)
f g(a+h) f g(a)
h
0
=
!
h!0
(f (a+h) f (a))g(a+h) f (a)(g(a) g(a+h))
h
f 0 a) + µg 0 (a) ce qui prouve la première partie de la
= g(a + h) f (a+h)h
f (a)
f (a) g(a)
f (a)g (a)
g(a+h)
!
h
h!0
g(a)f 0 (a) +
Remark. On déduit immédiatement que si f et g sont deux fonctions dérivables sur I alors f g est dérivable sur I
et (f g)0 = f 0 g + f g 0 .
Proposition.
1) Si f est dérivable en a et si f (a) 6= 0 alors
1
f
est dérivable en a et \frac{1}{f}’(a)=\frac{-f ’(a)}{f(a)^2}.
2) Si f et g sont des fonctions dérivables en a alors
f
g
3) Si f et g sont des fonctions dérivables sur I, alors
est dérivable en a et ( fg )0 (a) =
f
g
est dérivable sur I et ( fg )0 =
f 0 (a)g(a) f (a)g 0 (a)
g(a)2
f 0 g f g0
g2
Démonstration.
1) Comme f ne s’annule pas en a et est continue alors f ne s’annule pas sur un voisinage autour de a.
Formons le taux d’accroissement pour h suffisemment petit :
1
f (a+h
h
1
f (a)
=
f (a) f (a+h)
hf (a+h)f (a)
=
0
f (a+h) f (a)
1
! ff(a)(a)
2
h
f (a)f (a+h) h!0
2) C’est une conséquence immédiate de la formule 1) et de la dérivée d’un produit.
3) C’est 2) en tout point de I
Proposition. Soit f : I ! J et g : J ! R telles que f est dérivable en a 2 I et g dérivable en f (a) 2 J.
Alors g f est dérivable en a 2 I et (g f )0 (a) = g 0 (f (a))f 0 (a).
Démonstration. On forme le taux d’accroisement :
(
g(y) g(f (a)
Si f (a) 6= y
y f (a)
⌧f (a) (y) =
qui est continu en f (a).
0
g (f (a))
Si y = f (a)
g f (a+h) g f (a)
h
= ⌧f (a) (f (a + h)) f (a+h)h
f (a)
! g 0 (f (a))f 0 (a).
h!0
Remarque. C’est de cette proposition que viennent toutes les tables de dérivées suivantes :
— (un )0 = nun
1 0
u
4
— (exp(u))0 = exp(u)u0
0
— (ln(u))0 = uu
— etc
Fait. En pratique pour montrer qu’une expression est dérivable, comme pour les fonctions continues, on décomposera
en somme produit et composition de fonctions que l’on sait dérivables.
Proposition. Soit f une application continue et strictement monotone de I à valeurs dans un intervalle J et
dérivable en f 1 (a) 2 I.
Alors la fonction f 1 est dérivable en a si f 0 (f 1 (a)) 6= 0 et alors f 1 (a) = f 0 (f 11 (a)) .
Démonstration. On sait que
continue f
1
(a + h) ! f
h!0
f (f 1 (a+h)) f (f 1 (a))
) !
f 1 (a+h) f 1 (a)
h!0
Or
f (f 1 (a+h)) f (f 1 (a))
f 1 (a+h) f 1 (a)
Et donc
f
1
1
(a+h) f
h
1
(a)
=
f (a+h) f (a)
!
h
h!0
1
est
(a) et donc :
f 0 (f
1
(a)).
h
f
f 0 (a). Le théorème de la bijection monotone nous dit que f
1 (a+h)
f
1 (a)
.
a une limite et c’est f 0 (f 11 (a))
3. Théorèmes généraux
3.1 Extrema et dérivée
Définition.
1) On dit que f admet un minimum local en a si et seulement si il existe ✏ > 0 tel que :
8y 2]x
✏, x + ✏[, f (y)
8y 2]x
✏, x + ✏[, f (y)  f (a)
f (a)
2) On dit que f admet un maximum local en a si et seulement si il existe ✏ > 0 tel que :
3) Un extremum local est un minimum local ou bien un maximum local.
4) On dit que f admet un minimum global en a si et seulement si :
8y 2 Df , f (y)
f (a)
5) On dit que f admet un maximum global en a si et seulement si :
8y 2 Df , f (y)  f (a)
6) Un extremum global est un minimum global ou bien un maximum global.
Remarque. On fera attention a ne pas confondre extremum et point en lequel cet extremum est atteint.
Exemple. La fonction définie sur R x 7! (x
autre extremum local.
1)2 admet 0 pour minimum global au point 1 et n’admet aucun
Remarque. Un extremum global est évidemment un extremum local.
5
La proposition suivante est bien connue depuis le lycée, ici nous voyons une preuve. De plus elle sera fortement utile
pour déterminer des candidats lorsque l’on cherche les points où sont atteints les extrema d’une fonction.
Proposition. Soit f une fonction admettant un extremum en a, point intérieur de son domaine de définition, et
dérivable en a. Alors f 0 (a) = 0.
Démonstration. Supposons que a soit un maximum de f (quitte à changer f en
f ).
Le taux d’accroissament pour h > 0 :
limite se trouve être fd0 (a).
f (a+h) f (a)
h
est négatif et donc sa limite lorsque h ! 0+ est négatif. Cette
Le taux d’accroissament pour h < 0 :
limite se trouve être fg0 (a).
f (a+h) f (a)
h
est positif et donc sa limite lorsque h ! 0
est positif. Cette
Or f est dérivable en a donc f 0 (a) = fg0 (a) = fd0 (a) et f 0 (a) est à la fois positif et négatif.
Donc f 0 (a) = 0.
Remarque. On prendra garde au fait que la réciproque de ce théorème n’est pas vraie.
Exemple. La fonction réelle x 7! x3 est dérivable sur R et sa dérivée est x 7! x2 qui vaut 0 en 0. Or 0 n’est pas
un extremum de x 7! x3 .
3.2 Théorème de Rolle
Dans toute cette partie on se donne deux réels a et b tels que a < b.
Théorème. (Rolle)
Soit f une fonction
— continue sur [a, b]
— dérivable sur ]a, b[
— vérifiant f (a) = f (b)
Alors il existe c 2]a, b[ tel que f 0 (c) = 0.
Démonstration. Dans le cas où f est constante, sa dérivée est nulle (car les taux d’accroissement sont tous nuls) et
le résultat est évident : n’importe quel c marche.
Dans le cas où f est non constante, alors comme f est continue sur un segment, f est bornée et atteint ses bornes.
Une de ces bornes est atteinte en un point c 2]a, b[ (sinon f serait constante).
D’après la proposition précédente f 0 (c) = 0.
Graphiquement une fonction vérifiant les hypothèses du théorème de Rolle admet une tangente horizontale.
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Théorème. (Accroissements finis)
Soit f une fonction
— continue sur [a, b]
— dérivable sur ]a, b[
Alors il existe c 2]a, b[ tel que f 0 (c) =
Démonstration. On pose g(x) = f (x)
f (b) f (a)
.
b a
f (b) f (a)
(x
b a
a).
Il est immédiat de vérifier que g vérifie toutes les hypothèses du théorème de Rolle et alors on a le résultat.
Graphiquement une fonction vérifiant les hypothèses du théorème des accroissements finis admet une tangente
parallèle à la grande corde reliant (a, f (a)) et (b, f (b)).
Théorème. Soit f une fonction
— continue sur [a, b]
— dérivable sur ]a, b[
Alors | f (b) f (a) | (b a) sup | f 0 (x) |.
x2]a,b[
Démonstration. On applique le théorème de Rolle.
9c 2]a, b[ tel que f 0 (c) =
| f (b)
f (a) | (b
f (b) f (a)
b a
0
et donc :
a) sup | f (x) |.
x2]a,b[
On va maintenant présenter un résultat fondamental en analyse réel et que l’on utilise depuis le lycée qui se trouve
être une conséquence du TAF.
Corollaire. Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est constante sur I , f est dérivable sur I et f 0 = 0.
Démonstration. )) Ce sens est facile tous les taux d’accroissement étant nuls.
() Supposons que f est dérivable sur I et que f 0 = 0.
Soient x, y 2 I
Le TAF affirme qu’il existe c 2]x, y[ tel que f (y)
f (x) = (y
x)f 0 (c) = 0 et donc f (x) = f (y).
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3.3 Dérivée et variation.
Dans cette partie nous étudions une autre propriété fondamentale de la fonction dérivée : celle qui nous permet de
tracer des tableaux de variation.
Proposition. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors,
1) f est croissante sur I , f 0 0.
2) f est décroissante sur I , f 0  0.
Démonstration. Quitte à changer f en
f on peut encore ne prouver que le cas 1)
)) Supposons que f est croissante. Soit a 2 I. Alors le taux d’accroissement en x pour h >0 :
f (a+h) f (a)
h
est positif et tend vers fd0 (a) lorsque h ! 0+ .
Or f est dérivable donc fd0 (a) = f 0 (a)
() Supposons que f 0
f (y)
f (x) = (y
0
0.
0. Soient x, y 2 I avec x < y. Le TAF assure qu’il existe c 2]x, y[ tel que :
x)f (c)
0 et donc f (x)  f (y) et f est croissante.
3.4 Prolongement dérivable
Théorème. (Prolongement dérivable)
Soit f une fonction dérivable sur I \ {a} et telle que f 0 (x) ! l. Alors f est dérivable en a et f 0 (a) = l.
x!a
Démonstration. Soit x 2 I \ {a}. Formons le taux d’accroissements
f (x) f (a)
.
x a
f vérifie les hypothèses du théorème des accroissements finis entre x et a et donc il existe cx 2]a, x[ tel que :
f (x)
x
f (a)
= f 0 (cx )
a
Lorsque x ! a, cx tend aussi vers a. Or f 0 admet une limite en a donc
dérivée l.
f (x) f (a)
!
x a
x!a
l et f est dérivable en a de
Corollaire. Soit f une fonction dérivable sur I \ {a} et telle quef 0 (x) ! ±1. Alors f n’est dérivable en a et
x!a
admet une tangente verticale en a.
Démonstration. On fait la même preuve qu’au théorème précédent sauf que le taux d’accroissement tend vers
±1.
8
>
<R ! R
(
Exemple. On considère la fonction f :
exp( x21 ) Si x 6= 0 . Alors f est prolongeable par continuité en
>
x
!
7
:
0
Si x = 0
0 et dérivable sur R⇤ . Pour x 6= 0, f 0 (x) =
0 de dérivée 0.
2 exp( x21 )
x3
qui tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Donc f est dérivable en
8
Remarque. Attention, le théorème précédent n’est pas une équivalence, par exemple si on définit :
8
>
<R ! R
(
f:
x2 sin( x1 ) Si x 6= 0 .
>
x
!
7
:
0
Si x = 0
Alors f est continue en 0 mais aussi dérivable en 0 (il suffit de former le taux d’accroissement). Cependant pour
x 6= 0, f 0 (x) = sin( x1 ) qui n’a pas de limite en 0.
Le théorème du prolongement dérivable est donc un outil fort utile mais qui a ses limites.
4. Dérivées d’ordre supérieur
Définition.
1) On note C 1 (I) l’ensemble des fonctions continues et dérivables sur I dont la dérivée est une fonction continue
sur I.
2) On définit par récurrence C n+1 (I) l’ensemble des fonctions continues et dérivables sur I dont la dérivée appartient
à C n (I).
C’est à dire les fonctions n fois dérivables sur I dont la dérivée n-ème est continue sur I.
3) On note f (n) la dérivée n-ème de f . C’est à dire f (n) = (f (n 1) )0 . Par convention f (0) = f .
Proposition. (Formule de Leibniz)
Soient f et g deux fonctions dans C p (I). Alors f g 2 C p (I) et (f g)(n) =
n
P
k=0
n
k
f (k) g (n
k)
pour tout n  p.
Démonstration. On montre le résultat par récurrence. Le résultat est évidemment vrai pour n = 0.
Supposons le résultat vrai au rang n < p.
(f g)(n+1) = ((f g)(n) )0
n ✓ ◆
X
n (k) (n k) 0
=(
f g
)
k
k=0
n ✓ ◆
X
n
=
(f (k) g (n k) )0
k
k=0
n ✓ ◆
X
n
=
(f (k+1) g (n k) + f (k) g (n k+1) )
k
k=0
n ✓ ◆
n ✓ ◆
X
n (k+1) (n k) X n (k) (n k+1)
=
f
g
+
f g
k
k
k=0
k=0
n+1
n ✓ ◆
X✓ n ◆
X
n (k) (n k+1)
(k) (n+1 k)
=
f g
+
f g
k 1
k
k=1
k=0
◆ ✓ ◆
n ✓
X
n
n
=
(
+
)f (k) g (n+1 k) + f (n+1) g + f g (n+1)
k 1
k
k=1
n+1
X ✓n + 1 ◆
=
f (k) g (n+1 k)
k
k=0
9
Et le résultat est vrai au rang n + 1.
Théorème. (Prolongement C^n)
Soit f une fonction C n sur I \ {a}, C n
1
sur I et telle que f (n) (x) ! l. Alors f est C n sur I.
x!a
Démonstration. Il s’agit d’une conséquence directe du théorème du prolongement dérivable, et du fait qu’une fonction est continue en un point si et seulement si elle admet une limite en ce point.