Examen du cours LMAI

Examen du cours LMAI
Master Informatique et Télécommunications
Université Paul Sabatier
(durée : 2h)
Janvier 2009
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Langage et représentation des connaissances
Utiliser les opérators modaux 21 and 22 , avec la lecture intuitive de 2i A
comme “agent i croit que A”, pour i ∈ {1, 2}.
1. Donner une lecture en langage naturel de la formule 21 (p ∧ ¬21 p).
2. Pouvez-vous imaginer une situation où 21 (p ∧ ¬21 p) est vrai ? (donner
des arguments)
3. Ecrire un schema d’axiome exprimant qu’agent 2 croit tout ce que croit
agent 1.
4. Expliquer la différence entre une formule et un schema de formule à l’aide
de la formule précédente.
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Semantique de K : satisfiabilité
1. Montrer que la formule A = ¬21 p∧¬21 ¬p∧21 (22 p∨22 ¬p) est satisfiable.
2. Trouver le plus petit modèle pour A (ayant le plus petit nombre de mondes
possibles).
3. Est-ce que M, u |= 22 21 (22 p ∨ 22 ¬p) ? Si c’est le cas, modifier M tel que
M, u 6|= 22 21 (22 p ∨ 22 ¬p).
4. Donner une interpretation intuitive A en termes de connaissance.
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Semantique de K : cadres
1. Trouver des K-cadres hW, Ri tels que
(a) hW, Ri |= p → 3p
(b) hW, Ri |= 21 p → 21 21 p
(c) hW, Ri |= 21 p → 22 23 p
(d) hW, Ri |= 21 22 p → 22 21 p
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(e) Question supplémentaire : hW, Ri |= 21 (p → 3p)
Essayer de trouver la plus grande classe de cadres où ces formules sont
valides.
2. Trouver une formule A telle que pour tout K-cadre hW, Ri : hW, Ri |= A
ssi R1 ◦ R1 = ∅
3. Question supplémentaire : Trouver une formule A telle que pour tout Kcadre hW, Ri : hW, Ri |= A ssi card(R1 (w)) ≤ 2 pour tout w ∈ W .
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Logiques modales KT , KT 4
1. Trouver un K-modèle pour 2(p ∧ ¬2p).
2. Montrer que s’il existe un modèle avec une relation d’accessibilité transitive (c.-à-d. un K4-modèle) pour 2(p∧¬2p) alors la relation d’accessibilité
est vide : R(w) = ∅ pour tout monde w.
3. Montrer que 2(p ∧ ¬2p) est KD4-insatisfiable.
4. Montrer que 2(p ∧ ¬2p) est KT -insatisfiable.
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Logique de la connaissance S5n
Il y a deux agents Anne (a) et Ben (b). On tire deux nombres consécutifs au
hasard, et on donne un nombre a Anne et l’autre a Ben. Anne a donc un papier
avec un nombre ai , et Ben a un papier avec un nombre bj , et chacun connait son
nombre, mais pas celui de l’autre. Utilisons un langage avec des atomes ai et bj ,
où i et j sont des entiers naturels. ai signifie “Anne a le nombre i” et bj signifie
“Anne a le nombre j”, et identifions un monde possible avec le couple hai , bj i,
que nous abbrévions i.j ; par exemple le monde ha14 , b15 i sera écrit 14.13. Soit
3.2 le monde actuel.
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Quelles sont les mondes possibles pour Anne ? pour Ben ?
Dans le monde 3.4, quelles sont les mondes possibles pour a ? pour b ?
Dessiner le modèle M pour cette situation.
Montrer que
– M, (3.2) |= Ka a3
– M, (3.2) |= ¬Ka b2 ∧ ¬Ka ¬b2
– M, (3.2) |= Ka ¬Kb a3
– M, (3.2) |= ¬Ka Kb a3 ∧ ¬Ka Kb ¬a3
Est-ce que M, (3.2) |= CKa,b (¬a10 ∧ ¬b10 ) ? (argumenter)
Est-ce qu’il existe un i tel qu’il est connaissance commune entre Anne et
Ben que leurs nombres sont inférieurs à i ? (argumenter)
Quel est le modèle M ¬b4 ! résultant de l’annonce publique de ¬b4 en M ?
Montrer en utilisant les axiomes de la logique des annonces publiques que
– `P AL Ka (b2 ∨ b4 ) → [¬b4 !]Ka b2
– `P AL (Kb ¬b4 ∧ ¬Kb a3 ) → [¬b4 !]¬Kb a3
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