Modélisation des systèmes électroniques de puissance à

Modélisation des systèmes électroniques de puissance
à commande MLI
Application aux actionnements par moteur synchrone à
aimants permanents
Francis Labrique
Sorin Gusia
Université catholique de Louvain
1
Domaines d’application des convertisseurs MLI
Entraînements par machines
à courant continu
Entraînements par machines
électriques triphasées
Hacheur
Réseau
triphasée
Redresseur
MLI
Charge
mécanique
Onduleur
MLI
de tension
Réseau
triphasée
Éoliennes
Redresseur
MLI
Filtres actifs
Charge
mécanique
Onduleur
MLI
de tension
Onduleur
MLI
de tension
Réseau
triphasée
2
Structure d’un système à convertisseur MLI
Fonctionnement en MLI :
Convertisseur
Générateur
Kij
Récepteur
les changements d’état des interrupteurs :
• sont commandés à une cadence élevée par rapport
à la dynamique de variation des grandeurs du
système
Electronique de commande
et de régulation
• s’opèrent d’une manière qui ne dépend pas de
l’évolution des tensions et courants aux accès du
convertisseur
Consignes
3
Contraintes liées au fonctionnement en MLI
Les états et changements d’état des interrupteurs doivent :
• respecter les lois de Kirchhoff
• garantir la continuité des courants dans les inductances et des tensions aux bornes des capacités
• le générateur et le récepteur doivent se comporter comme des sources complémentaires
• les commutations reviennent à modifier le potentiel d’une borne du système à caractère de source
de courant en la connectant d’une borne à l’autre du système à caractère de source de tension
Source de
tension
U1
K11
PG1
K1j
K1m
Convertisseur
U2
Un
PG2
PGn
f11
f21
fn1
K21
K2j
K2m
Kn1
Knj
Knm
PR1
PRj
PRm
I1
Ij
Im
Source de
courant
4
Réglage du point de fonctionnement
Convertisseur
Générateur
Kij
Récepteur
de tension
de courant
Modulateur
MLI
Uref(tk)
Xu_mes
Xi_mes
Régulateurs
Xc
• Le régulateur fixe les potentiels qu’il faut appliquer aux bornes du récepteur Uref(tk)
• Le modulateur MLI transforme ces potentiels en séquences de commande des interrupteurs
5
Principe de la modulation MLI
• Choisir une fréquence de commutation pour les interrupteurs
• Fixer à l’intérieur de chaque période de commutation les intervalles de conduction des interrupteurs
connectées à une borne de la « source de courant » de manière à aligner en moyenne la valeur du
potentiel de cette borne sur un signal de référence qui correspond au potentiel souhaité pour cette borne
Par exemple, pour PR1 , on veut :
U1
U2
PG1
PG2
K11
Kj1
Km1
K12
Kj2
Km2
< PR1 >= u ref _ 1
TMLI
f11
Un
K1n
PGn
Kjn
Km3
uref_1
Modulateur
MLI
f12
f12
f1n
PR1
PRj
Pmn
I1
Ij
Im
PR1 = PG2
T11
T12
f1n
f11
PR1 = PG1
PR1 = PGn
T1n
< PR1 >= (PG1 ⋅ T11 + PG 2 ⋅ T12 + K + PGn ⋅ T1n ) TMLI
6
Exemples de modulation symétrique
TMLI
i
ξ(t)
K11
1) Hacheur :
u
ì1 si K 11 ON
f (t ) = í
î0 si K 12 ON
ia
PR
ul_ref(t)
Uref
fl(t)
t
fl(t)
ua
K12
t
Te = TMLI
f(t)
ξ(t)
ub_ref(tk)
ua_ref(tk)
i
K11
2) Onduleur :
K21
K31
PR1
u
K12
K22
uc_ref(tk)
ia
ic
PR3
tk+1
tk
ib
PR2
t
ì 1 si K l1 ON
, l = a , b, c
f l (t ) = í
0
si
K
ON
l
2
î
Uref
K32
fl(t)
fa(t)
t
t2
t5
fb(t)
t
t3
fa(t)
fb(t)
fc(t)
t4
fc(t)
t
t1
En pratique implantation numérique : les temps de conduction des interrupteurs
sont calculés et imposés par des « timers » (modulation MLI numérique)
t6
7
Implantation numérique de la commande
Convertisseur
Générateur
Kij
Récepteur
de tension
Sur chaque période d’échantillonnage :
de courant
• le régulateur fixe les valeurs des potentiels de
référence Uref(tk) à appliquer aux bornes du
récepteur de courant durant cette période
Modulateur
MLI
Uref(tk)
Xu_mes
Régulateurs
Xi_mes
• le modulateur MLI transforme ces références en
intervalles de conduction des interrupteurs durant
cette période
Xc
8
Suivi de l’évolution du système
Convertisseur
Kij
Générateur
Par des équations de transition d’état
Récepteur
de tension
de courant
Modulateur
MLI
État du système en tk
Uref(tk)
Xu_mes
Xi_mes
X (t k )
Commande du système en tk
U ref (t k )
État du système en tk+1
X (t k +1 )
Régulateurs
Xc
Te
mesure
Xk-1
mesure
calcul
références
Xk
t
tk-1
tk
application
commandes
application
commandes
Uref(tk)
Uref(tk+1)
Commande du système en tk+1
U ref (t k +1 )
Uref(tk+1)
Uref(tk)
t
9
Équations de transition d’état de la partie de puissance (1)
•
•
X u (t ) = Au ⋅ X u (t ) + Bu ⋅ S u (t ) + Gu ⋅ I (t )
Xu
U1
I1
u1
X i (t ) = Ai ⋅ X i (t ) + Bi ⋅ S i (t ) + Gi ⋅ U (t )
I2
U2
u2
K11
PG1
Kj1
K12
PG2
Kj2
Xi
Km1
i1
U1
Km2
i2
U2
iki
Iku
uku
Un
K1n
PGn
f11
f12
f1n
I (t ) = H u [ f l (t )]⋅ X i (t )
Équations
d’évolution :
æ X
çç
è X
X
•
(t )ö
÷÷
i (t ) ø
u
•
p
(t )
Au
æ
= çç
è G i ⋅ H i [ fl (t )]
Kjn
PR1
PRj
Pmn
I1
Ij
Im
Gu ⋅H
A p [ f l (t )]
u
Uki
Km3
U (t ) = H i [ f l (t )]⋅ X u (t )
[ f l ( t ) ]ö
Ai
æ X
÷÷ ⋅ çç
ø è X
X
(t )ö
÷÷
i (t ) ø
u
p
(t )
æB
+ çç u
è 0
B
0
Bi
p
ö
÷÷
ø
æ S (t )ö
÷÷
⋅ çç u
è S i (t ) ø
U
p
(t )
• Les fl(t) sont des fonctions logiques qui caractérisent les intervalles de conduction des interrupteurs
• Leurs valeurs sur l’intervalle [tk , tk+1] sont connues en tk et dépendent des commandes via le
modulateur MLI
10
Équations de transition d’état de la partie de puissance (2)
• On décompose l’intervalle [tk , tk+1] en m sous intervalles
ou les fl(t) sont constantes
Convertisseur
Kij
Générateur
Récepteur
• On intègre les équations sur chaque sous intervalle
( )
( )
X p t 'j +1 = M p _ j ⋅ X p t 'j + N p _ j
Modulateur
MLI
Uref(tk)
• Par itération on obtient :
fa(t)
t
fb(t)
t5
t2
[
]
[
]
X p (t k +1 ) = Φ p U ref (t k ) ⋅ X p (t k ) + Γ p U ref (t k ), U p (t k )
t
t4
t3
fc(t)
t
t1
Ap_0
tk
t6
A p_1
t1
A p_2
t2
A p_3
t3
A p_4
t4
A p_5
t5
A p_6
t6
L’équation de transition dépend de Uref(tk) à
travers le modulateur MLI
tk+1
11
Équations de transition d’état de la partie de commande
Te
Convertisseur
Générateur
mesure
Xk-1
Kij
mesure
Xk
calcul
références
Récepteur
de tension
de courant
t
tk-1
tk
application
commandes
application
commandes
Uref(tk)
Uref(tk+1)
Uref(tk+1)
Uref(tk)
Modulateur
MLI
Uref(tk)
Xu_mes
Régulateurs
Xi_mes
Le régulateur est caractérisé par :
• les commandes qu’il génère
• le contenu de ses intégrateurs
t
æU (t )ö
X r = çç ref k ÷÷
è I (t k ) ø
Xc
X r (t k +1 ) = Φ r ⋅ X p (t k ) + Λ r ⋅ X r (t k ) + Γr ⋅ X c (t k )
12
Équations de transition d’état du système en boucle fermée
[
Convertisseur
Générateur
Kij
Récepteur
]
[
]
ì X p (t k +1 ) = Φ p U ref (t k ) ⋅ X p (t k ) + Γ p U ref (t k ), U p (t k )
ï
ï
í U (t )
ï æç ref k +1 ö÷ = Φ ⋅ X (t ) + Λ ⋅ æç U ref (t k )ö÷ + Γ ⋅ X (t )
r
p
k
r ç
r
c
k
÷
ïî çè I (t k +1 ) ÷ø
è I (t k ) ø
de courant
de tension
Les équations de transition d’état permettent de déterminer :
• S’il existe un point de régime permanent associé à des
valeurs constantes des consigne
Modulateur
MLI
Uref(tk)
Xu_mes
Régulateurs
Xi_mes
[
]
X (t k +1 ) = Gk X (t k ), U p (t k ), X c = X (t k ) = X R
æ Xp
ç
X = çU ref
ç I
è
ö
÷
÷
÷
ø
G ne dépend pas de k
• Si ce point est stable :
Xc
on linéarise autour de XR
∆X (t k +1 ) = Φ ⋅ ∆X (t k )
Stable si ?i racines de :
det[λ ⋅ I − Φ ] = 0
telles que :
λi < 1
13
Simplification par la prise en compte des différences
d’échelle de temps
Existence de variables à variations dynamiques
différentes :
Convertisseur
Générateur
Kij
Récepteur
de courant
de tension
• variables rapides
• variables lentes (quasi constantes à l’échelle de la
période d’échantillonnage Te )
=> régulation par des boucles imbriquées
Modulateur
MLI
Uref(tk)
Rapides
=> permet de simplifier l’étude des boucles
rapides en considèrent les références des
boucles rapides et les variables lentes comme
étant constantes
=> permet de limiter l’étude « en temps
discret » aux boucles rapides
Lentes
Xc
14
Application à l’étude de la régulation du courant d’induit
d’un moteur cc
T11
Ωcons
Régulateur
de vitesse
ia_ cons
Régulateur
de courant
ua_ ref
Modulateur
MLI
D11
ia
σ(t)
T12
Ωmes
Capteur
vitesse
ua
D12
ia_ mes
Ω
i
Rf
is
Lf
T11
+
Udc
Cf
D11
La
ia
u
T12
+
D12
f(t)
Modulateur
MLI
Ra
KΦ. ω
ua
ia_ mes
ua_ ref
Régulateur
de courant
ia_ cons
15
Simplification par approximation des relations introduites
par le convertisseur
Remplacement des fonctions de commutation
par le premier terme du développement en série
Un seul système d’équations de tk à tk+1,
paramétré par les tensions de commande
(modèle d’ordre zéro)
f (t ) =
i
Rf
is
Lf
T11
+
Udc
F0 =
Cf
La
ia
Ra
+
D12
.
KΦ ω
ua
f(t)
Modulateur
MLI
U dc
D11
u
T12
u a _ ref (t k )
ia_ mes
ua_ ref
Régulateur
de courant
Par intégration
analytique sur Te :
æU dc ö
çç
÷÷
è Ea ø
æ − Rf
ç
•
ç L
0
æ i s (t ) ö ç f
ç 0 ÷
1
ç u (t )÷ = ç
ç
C
ç i 0 (t ) ÷
f
è a ø ç
ç 0
ç
è
ia_ cons
−1
Lf
0
u a _ ref (t k )
La ⋅ U dc
ö
÷
æ 1
÷
ç
0
æ
ö
(
)
i
t
− u a _ ref (t k ) ÷ ç s0 ÷ ç L f
÷ ⋅ ç u (t )÷ + ç 0
C f ⋅ U dc ÷ ç 0 ÷ ç
÷ è i a (t ) ø ç 0
− Ra
ç
÷
è
÷
La
ø
0
ua_ref(tk)
Régulateur
æ i s0 (t k +1 ) ö
æ i s0 (t k ) ö
ç 0
÷
ç 0
÷
é
0
ç u (t k +1 )÷ = Φ p u a _ ref (t k ) ⋅ ç u (t k )÷ + Γ p0 êu a _ ref (t k ),
ç 0( )÷
ç 0( )÷
ë
è ia t k +1 ø
è ia t k ø
[
]
ö
0 ÷
÷ æ U
dc ö
÷÷
0 ÷ ⋅ çç
K
− 1÷ è Φ ⋅ ω ø
÷
La ÷
ø
æ is0 (t ) ö
ç 0 ÷
ç u (t )÷
ç i 0 (t ) ÷
è a ø
-
0
+ ia cons
æ U dc öù
çç
÷÷ú
⋅
K
ω
è Φ øû
16
Simplification par élimination de la dynamique de l’un
des systèmes interconnectés par le convertisseur
i
i
is
Rf
Lf
T 11
+
U dc
Cf
T 11
D 11
T 12
Modulateur
MLI
X
p
+
Ra
Régulateur
de courant
D 12
K Φ.ω
ua
f(t)
ia_ mes
u a_ ref
ia_ cons
(t ) = Ap [u a _ ref (t k )]⋅ X p (t ) + B p ⋅ U p
ia_ mes
Modulateur
MLI
f (t ) = F 0 =
KΦ.ω
ua_ref(tk)
•
ia0 (t ) =
Ra
+
T 12
K Φ .ω
ua
La
ia
u
U dc
+
D 12
f(t)
•
La
ia
u
D 11
u a_ ref
Régulateur
de courant
ia_ cons
u a _ ref (t k )
U dc
ia0(t)
− Ra 0
−1
1
⋅ ia (t ) +
⋅ KΦ ⋅ ω +
⋅ u a _ ref (t k )
La
La
La
Régulateur
Passage d’un système à structure commutée à un système à commande commutée
-
0
+ ia cons
17
Régulation des courants statoriques d’un moteur
synchrone à aimants permanents (1)
i
is
Rf
+
Udc
Lf
i
K11
K21
Cf
is
K31
Capteur
vitesse et
position
ib
ic
K12
K22
fa
K32
fb
Lf
Ω
ia
uaM
Rf
+
Udc
ua
K11
K21
Cf
L
ib
K22
fa
R
ea
~
~
ic
Modulateur MLI
~
K32
fb
fc
Modulateur MLI
ua_ref, ub_ref, uc_ref
ua_ref, ub_ref, uc_ref
Park [θ(t)]
θ(t)
ud_ref, uq_ref
id_cons = 0
ia
uaM
K12
fc
K31
Régulateur
id, iq
Park [θ(t)]
ud_ref, uq_ref
ia, ib
id, iq
iq_cons
Park -1[θ(t)]
θ(t)
θ(t)
id_cons = 0
Régulateur
id, iq
ia, ib
id, iq
Park -1[θ(t)]
θ(t)
iq_cons
Régulateur
Ω(t)
Ω
Ωcons
18
Régulation des courants statoriques d’un moteur
synchrone à aimants permanents (2)
i
is
Rf
+
Udc
Lf
abc
(t k ) = P23−1 [θ (t k )] ⋅ U refdq (t k )
U ref
ua
K11
K21
Cf
K31
ia
ib
uaM
ic
K12
K22
fa
L
R
ea
~
~
~
K32
fb
Modulateur MLI
fc
Modulateur MLI
ua_ref, ub_ref, uc_ref
Park [θ(t)]
θ(t)
fa, fb, fc
ud_ref, uq_ref
æ
ç
− R f −1
ç
•
Lf
Lf
ç
æ is (t ) ö
ç
1
ç
÷
0
ç
u
t
(
)
ç
÷
Cf
ç
=
ç i (t )÷
ç
çd ÷
ç0
ç i (t )÷
æ f a (t )ö
èq ø
ç 1
ç
÷
−1
⋅ P23 [θ (t )] ⋅ ç f b (t )÷
ç
ç 0 Ls
ç f (t ) ÷
ç
è c ø
è
0
0
ö
÷
t
æ f a (t )ö
÷
æ 1
÷
−1 ç
ç
÷
⋅ ç f b (t )÷ ⋅ P23 [θ (t )] æ i (t ) ö
ç Lf
s
÷
Cf ç
ç
÷
÷
ç 0
÷ ç u(t ) ÷
è f c (t ) ø
ç
÷⋅ç
+
÷
ç 0
÷ ç id (t )÷
− Rs
ç
÷
ç i (t )÷
ω
q
è
ø
ç 0
÷
Ls
ç
÷
è
− Rs
÷
−ω
÷
Ls
ø
A pdq [ f l (t ),θ (t )]
ö
0÷
÷
0
0 ÷ æç U dc ö÷
÷
−1
0 ÷⋅ç 0 ÷
ç
÷
Ls
÷ è KΦ ⋅ ω ø
−1÷
0
Ls ÷ø
0
ì 1 si Tl1 ON
, l = a , b, c
f l (t ) = í
0
si
T
ON
l2
î
19
Régulation des courants statoriques d’un moteur
synchrone à aimants permanents (3)
i
is
Rf
+
Udc
Lf
ua
K11
K21
Cf
K31
ia
ib
uaM
ic
K12
K22
L
R
ea
fa(t)
~
t
~
fb(t)
~
t2
t
K32
t3
fc(t)
fa
fb
t4
fc
t
t1
Modulateur MLI
Ap_0
ua_ref, ub_ref, uc_ref
Park [θ(t)]
t5
θ(t)
tk
t6
A p_1
t1
A p_2
t2
A p_3
t3
A p_4
t4
A p_5
t5
A p_6
t6
tk+1
ud_ref, uq_ref
intégration numérique
sur 7 sous intervalles
[
]
dq
Φ dq
p U ref (t k ), θ (t k )
æ i s (t k +1 ) ö
æ i s (t k ) ö
ç
÷
ç
÷
é
æ U dc öù
(
)
(
)
u
t
u
t
÷ú
ç
ç k +1 ÷
ç
÷
k
ê
dq
dq
dq
dq
(
)
(
)
(
)
(
)
,
,
,
0
θ
U
t
θ
t
=
Φ
⋅
U
t
t
+
Γ
÷ú
p
ref
k
k
p ê ref
k
k ç
ç i (t )÷
ç i (t )÷
d k +1
d k
ç K ⋅ ω ÷ú
ç
÷
ç
÷
êë
è Φ øû
ç i (t ) ÷
ç i (t ) ÷
è q k +1 ø
è q k ø
[
]
dq
dépend de manière complexe de U ref (t k ) et de la période d’échantillonnage via ?(tk)
20
Régulation des courants statoriques d’un moteur
synchrone à aimants permanents (4)
Passage au modèle d’ordre zéro
i
is
Rf
+
Lf
ua
K11
K21
Cf
Udc
K31
ia
ib
uaM
ic
K12
K22
fa
L
R
ea
f l (t ) =
~
Fl 0 = 0.5 +
~
K32
fb
[
Park [θ(t)]
]
[
]
abc
(t k ), θ (t )
A pdq [ f l (t ), θ (t )] = A pdq Fl 0 , θ (t ) = A pdq _ 0 U ref
fc
abc
U ref
(t k ) = P23−1 [θ (t k )]⋅ U refdq (t k )
ua_ref, ub_ref, uc_ref
θ(t)
[
]
[
]
abc
(t k ), θ (t ) = A pdq _ 0 U refdq (t k ), θ (t ) − θ (t k )
A pdq _ 0 U ref
ud_ref, uq_ref
æ i s0 (t ) ö
æ i (t ) ö
ç 0 ÷
ç
÷
ç u (t )÷
ç u (t )÷
dq _ 0
dq
dq
A
U
t
t
t
(
)
(
)
(
)
,
θ
θ
=
−
⋅
p
ref
k
k
ç i 0 (t ) ÷ + B p
ç i 0 (t ) ÷
ç d ÷
ç d ÷
0
0
ç i (t ) ÷
ω ⋅ (t − t k ) çè iq (t ) ÷ø
è q ø
[
U dc
~
Modulateur MLI
•
0
s
0
u a _ ref (t k )
]
æ U dc ö
ç
÷
⋅ç 0 ÷
ç K ⋅ω ÷
è Φ ø
Les équations d’évolution ne
dépendent plus de le période
d’échantillonnage considérée
21
Régulation des courants statoriques d’un moteur
synchrone à aimants permanents (5)
Modèle d’ordre zéro + Élimination de la dynamique du générateur
ua
is
K11
K21
K31
ia
+
ib
uaM
Udc
ic
K12
K22
fa
K32
fb
ua_ref, ub_ref, uc_ref
ud_ref, uq_ref
R
ea
~
~
~
æi
ç
çi
è
0
d
0
q
æ − Rs
(t )ö÷ çç Ls
=
(t )÷ø ç − ω
ç
è
•
ö
ω ÷ 0
0
æ
æ
ö
(
)
(t )ö÷
i
t
u
0
ö
æ
1
1
−
d
d
÷⋅ç
ç
÷
÷
ç
+
⋅
+
⋅
− Rs ÷ ç iq0 (t )÷ Ls çè K Φ ⋅ ω ÷ø Ls ç u q0 (t )÷
è
è
ø
ø
Ls ÷ø
fc
Modulateur MLI
Park [θ(t)]
L
θ(t)
dq
(t ) = P23 [θ (t )] ⋅ P23−1 [θ (t k )] ⋅ U refdq (t k )
U ref
dq
U ref
(t ) = P22 [ω ⋅ (t − t k )] ⋅ U refdq (t k )
0
æ id0 (t k +1 )ö
æ
æu
(t )ö
(t )ö
i
d
ç 0
÷ = Φ idq _ 0 ⋅ ç 0 k ÷ + Ψidq _ 0 ⋅ ç d _ ref k ÷ + Γidq _ 0 [K Φ ⋅ ω ]
ç i (t )÷
ç i (t )÷
çu
÷
è q k +1 ø
èq k ø
è q _ ref (t k ) ø
22
Régulation des courants statoriques d’un moteur
synchrone à aimants permanents (6)
1) Sans simplification de la dynamique du générateur => système à commutation de structure
Modèle détaillé :
Te =TMLI
æ i s (t k ) ö
æ i s (t k +1 ) ö
÷
ç
÷
ç
é
æ U dc öù
÷ú
ç
ç u (t k ) ÷
ç u (t k +1 ) ÷
dq
dq
dq ê dq
(
)
(
)
(
)
(
)
U
t
t
,
,
,
0
U
t
θ
t
θ
+
Γ
=
Φ
⋅
÷ú
ç
p
ref
k
k
p
ref
k
k
ç i (t )÷
ç i (t )÷
ê
÷
ç
ç d k ÷
ç d k +1 ÷
êë
è K Φ ⋅ ω øúû
ç iq (t k ) ÷
ç i q (t k +1 ) ÷
ø
è
ø
è
[
[
]
abc
Φ dq
p U ref (t k ), θ (t k )
]
Xk
tk
Xk+1 t
t1 …. tj
tk+1
Modèle d’ordre zéro :
æ i s0 (t k +1 ) ö
ç 0
÷
ç u (t k +1 )÷
dq _ 0
dq
U ref
(t k
ç i 0 (t ) ÷ = Φ p
1
d
k
+
ç
÷
ç i 0 (t ) ÷
è q k +1 ø
[
)]
æ i s0 (t k ) ö
ç 0
÷
é
æ U dc ö ù
÷ú
ç
ç u (t k )÷
dq _ 0 ê
dq
,
0
(
)
U
t
+ Γp
⋅ç 0
÷ú
ç
ref
k
÷
ê
ç K ⋅ ω ÷ú
ç i d (t k ) ÷
ê
øû
è Φ
ë
ç i 0 (t ) ÷
è q k ø
Te =TMLI
[
]
dq
_0
(t k )
Φ dq
U ref
p
Xk
Xk+1 t
tk
tk+1
2) Avec simplification de la dynamique du générateur => système à commande commutée
æ i d0 (t k + 1 )ö
÷
ç 0
ç i (t )÷ = Φ
1
+
q
k
ø
è
dq _ 0
i
æ i d0 (t k
⋅ çç 0
è i q (t k
)ö÷
+
)÷ø
Ψ idq
_0
æu
(t
⋅ çç d _ ref k
è u q _ ref (t k
)ö÷
+
) ÷ø
Γ idq
_0
[K Φ
⋅ω ]
23
Régulation des courants statoriques d’un moteur
synchrone à aimants permanents (7)
Boucle fermée
La loi de récurrence est non linéaire et varie de période de commutation en période de commutation
Modèle
détaillé :
ìæ i s (t k +1 ) ö
æ i s (t k ) ö
÷
÷
ç
é
æ U dc öù
ïç
(
)
(
)
u
t
u
t
ç
÷ú
÷
ç
÷
ç
ê
1
+
k
k
dq
dq
dq
dq
ï
+
Γ
=
Φ
⋅
,
,
,
0
U
t
t
U
t
t
θ
θ
(
)
(
)
(
)
(
)
÷ú
p ê ref
k
k ç
p
ref
k
k
ç i (t )÷
ïç id (t k +1 )÷
d k
ç
÷
÷
ç
÷
ç
ê
ïç
è K Φ ⋅ ω øúû
ë
÷
ç
÷
(
)
(
)
i
t
i
t
ïè q k +1 ø
è q k ø
í
æ i s (t k ) ö
ï
ç
÷
ï dq
0 ö ç u (t k ) ÷
æ i d _ cons (t k )ö
æ0
÷ + Γr [ω ]
÷÷ ⋅ ç
+ Λ r ⋅ çç
ïU ref (t k +1 ) = çç
÷
÷
(
)
i
t
_
q
cons
k
è 0 Θ r [ω ]ø ç id (t k )÷
ï
è
ø
ç i (t )÷
ï
è q k ø
î
[
]
• Même type d’équations pour le modèle d’ordre zéro mais la matrice de transition d’état est indépendante de
l’angle θ(tk)
• Si en plus on supprime la dynamique du générateur on obtient un système à commande commutée
æ id0 (t k +1 ) ö
æ i d0 (t k +1 ) ö
ç 0
÷
ç 0
÷
i
(t )
i
t
(
)
ç id (t k +1 ) ÷
ç
÷
d k +1
dq _ 0
dq _ 0 æ d _ cons k ö
dq _ 0
÷ + ΓBF
ç
=
Φ
⋅
+
Λ
⋅
BF
BF
çu
÷
ç
÷
÷
ç
è i q _ cons (t k ) ø
ç d _ ref (t k +1 )÷
ç u d _ ref (t k +1 )÷
çu
÷
çu
÷
è q _ ref (t k +1 ) ø
è q _ ref (t k +1 ) ø
24
Régulation des courants statoriques d’un moteur
synchrone à aimants permanents (8)
Procédure proposée pour l’étude de la régulation
• Approximer le modèle détaillé par :
• le modèle d’ordre zéro
+
• un modèle approché des ondulations introduit par la MLI
• Synthétiser le régulateur et analyser sa stabilité par le modèle d’ordre zéro
+
Vérifier que les ondulations ne déstabilisent pas le fonctionnement
25
Ondulations dues à la découpe MLI
Définition d’un modèle simplifié capable de reproduire approximativement les ondulations dues
à la découpe MLI
X εp (t ) = X p (t ) − X p0 (t )
•
Xεp représente l’influence de la découpe MLI
[ ]}
{
X εp (t ) = A p [ f l (t )] ⋅ X εp (t ) + A p [ f l (t )] − A p Fl 0 ⋅ X p0 (t )
é +∞ j ù
B p êå f l (t )ú
ë j =1
û
≈
Équations approchées d’évolution de Xεp
éh j ù
X (t ) = A p Fl ⋅ X (t ) + B p êå f l (t )ú ⋅ X p0 (t )
ë j =1
û
•
εh
p
[ ]
0
εh
p
≈
26
Ondulations dues à la découpe MLI
X(t)
-
Xcons
Rég
+
Uref(tk)
X0(t)
•
X i0 (t ) = Ai ⋅ X i0 (t ) + Bi ⋅ S i (t ) + Ci ⋅ U ref (t k )
+
+
•
≈ é h
ù
X εph (t ) = Ap Fl 0 ⋅ X εph (t ) + B p êå f l j (t )ú ⋅ X p0 (t )
ë j =1
û
[ ]
Xε(t)
Si on néglige la dynamique du générateur :
X(t)
-
Xcons
+
Rég
Uref(tk)
0
X (t)
•
X i0 (t ) = Ai ⋅ X i0 (t ) + Bi ⋅ S i (t ) + C i ⋅ U ref (t k )
•
h
[
]
X iεh (t ) = Ai ⋅ X iεh (t ) + C i ⋅ å f l j U ref (t k ), t ⋅ U u (t )
j =1
+
+
Xε(t)
27
Influence des ondulations dues à la découpe MLI sur la
stabilité du système (1)
Cas ou on néglige la dynamique du générateur
X(t)
Évolution autour du point de régime
permanent XR (déterminé par le modèle
d’ordre zéro)
-
Xcons
Rég
+
Uref(tk)
0
X (t)
•
X i0 (t ) = Ai ⋅ X i0 (t ) + Bi ⋅ S i (t ) + C i ⋅ U ref (t k )
•
h
[
]
ref _ R
+
X iεh (t ) = Ai ⋅ X iεh (t ) + C i ⋅ å f l j U ref (t k ), t ⋅ U u (t )
j =1
∆ X i0_ R (t k
)
X iε_h R (t k )
∆ X i _ R (t k
∆ U ref
∆ I (t k
∆X
_R
)
r_R
)
(t k )
→
(t k )
→
∆ X i0_ R (t k + 1 )
→
X iε_h R (t k + 1 )
→
∆ X i _ R (t k + 1 )
→
∆ U ref
∆ I (t k + 1 )
→
∆X
r_R
_R
(t k + 1 ) = Φ i ⋅ ∆ X i0_ R (t k )
X iε_h R (t k + 1 ) = Φ i ⋅ X iε_h R (t k )
∆X
0
i_R
∆ X i _ R (t k + 1 ) = Φ i ⋅ ∆ X i _ R (t k
+
[
Ψ iε h U
+
)
Ψ i0 ⋅ ∆ U
+
[
ref _ R
Ψi U
, ∆U
ref _ R
ref _ R
, ∆U
+
+
Xε(t)
Γ i [S i (t k
,Uu
ref _ R
]
)]
, U u , Si
]
(t k +1 )
(t k +1 )
∆X
r_ R
(t k + 1 ) =
Φ r ⋅ ∆X
i_ R
(t k )
+
Λ r ⋅ ∆X
r_ R
(t k )
28
Influence des ondulations dues à la découpe MLI sur la
stabilité du système (2)
Cas ou on néglige la dynamique du générateur
Linéarisation des équations
de transition d’état du
modèle d’écart de la partie
de puissance
∆ X i _ R (t k + 1 ) = Φ i ⋅ ∆ X
i_ R
[
X iε_h R (t k +1 ) = Φ i ⋅ X iε_h R (t k ) + Ψiεh U ref _ R , ∆U ref _ R , U u
[
]
]
[
X iε_h R (t k +1 ) = Φ i ⋅ X iε_h R (t k ) + Ψiεh U ref _ R , U u ⋅ ∆U ref _ R + Γiεh U ref _ R , U u
(t k ) + {Ψ i0
[
+ Ψ iε h U
ref _ R
,Uu
]}⋅ ∆ U
ref _ R
{
+ Γ i [S i (t k
)] + Γ iε h [U ref
_ R
]
, Uu
]}
Équations de transition d’état du système en boucle fermée :
æ ∆ X i _ R (t k + 1 ) ö æ Φ i
ç
÷= ç
ç ∆X
÷ çΦ
(
)
t
r_ R
k +1 ø
è r
è
[
Ψ i0 + Ψ iε h U
0
ref _ R
]
, U u ö æ ∆ X i _ R (t k ) ö æ Γ i [S i (t k
÷+ç
÷⋅ç
÷ ç ∆X
÷ ç
t
(
)
r_R
k ø
è
ø è
)] + Γ iε h [U ref
0
_ R
]
, Uu ö
÷
÷
ø
Φ ∆BF
Étude des valeurs propres de la matrice de transition d’état en boucle fermée
29
Application à la régulation des courants statoriques d’une machine
synchrone à aimants permanents tournant à vitesse constante
Équations de transition d’état du modèle d’ordre zéro :
æ id0 (t k +1 ) ö
ç 0
÷
ç id (t k +1 ) ÷ æ Φ idq _ 0
çu
÷ = çç
(
)
t
ç d _ ref k +1 ÷ è Θ r
çu
÷
è q _ ref (t k +1 ) ø
æ id0 (t k +1 ) ö
ç 0
÷
dq _ 0
(
)
i
t
ö
ç
÷ æ 0 ö æ id _ cons (t k )ö æ Γidq _ 0 [E 0 ]ö
Ψi
d k +1
÷
÷⋅ç
÷+ç
÷ + ç ÷⋅ç
÷
0 ÷ø ç u d _ ref (t k +1 )÷ çè Λ r ÷ø çè iq _ cons (t k )÷ø çè Γr
ø
çu
÷
è q _ ref (t k +1 )ø
æ −T
Φ idq _ 0 = expç MLI
è τ
Ψidq _ 0 =
1
Rs
ö −1
÷ ⋅ P22 [ω ⋅ TMLI ]
ø
é
æ −T
⋅ ê1 − expç MLI
è τ
ë
öù −1
÷ú ⋅ P22 [ω ⋅ TMLI ]
øû
Équations de transition d’état de l’écart par rapport au point de régime permanent :
æ idε 2 (t k +1 ) ö
ç ε2
÷
ç iq (t k +1 ) ÷ æ Φ idq _ ε 2
ç ∆u
÷ = çç
(
)
t
ç d _ ref k +1 ÷ è Θ r
ç ∆u
÷
è q _ ref (t k +1 )ø
dq _ ε 2
i
Ψ
[U
abc
ref
(t k ), θ (t k +1 )]
æ idε 2 (t k ) ö
ç
÷
abc
(t k ), θ (t k +1 ) ö÷ ç iqε 2 (t k ) ÷ æç Γidq _ ∆ U refabc (t k ), θ (t k +1 ),U dc
Ψi0 + Ψidq _ ε 2 U ref
÷+ç
÷ ⋅ ç ∆u
(
)
t
0 2×2
02
d
_
ref
k
ø ç
÷ è
ç ∆u
÷
è q _ ref (t k ) ø
[
é
æ T
= 2 ⋅ ê1 − expç − MLI
è τ
ë
]
[
( )
( )
]ö÷
÷
ø
ü
ì − cos ϕ ε 1
cos ϕ ε 2
öù −1
abc
abc
⋅ W2 U ref _ R +
⋅ W4 U ref
÷ú ⋅ P23 [θ (t k +1 )] ⋅ í
_ R ý ⋅ P23 [θ (t k )]
ε1
ε2
Z
øû
þ
î Z
æω ⋅ L
ϕ ε 1 = a tançç MLI a
è Ra
ö
÷÷
ø
[
]
æ 2 ⋅ ω MLI ⋅ La
ϕ ε 2 = a tançç
Ra
è
ö
÷÷
ø
[
]
30
Conclusions
Dans ce travail :
• On a traité de manière précise la modélisation dynamique et
l’étude du fonctionnement en boucle fermée des systèmes à
convertisseurs électroniques de puissance fonctionnant en MLI
• On a montré comment des simplifications peuvent être
apportées pour faciliter l’étude du fonctionnement de ces
systèmes
31
32
Choix du nombre de termes harmoniques h
Onduleur monophasé de tension commandé par MLI
K11
! Hypothèses :
• régime permanent
Ls
Udc
• électronique de commande analogique
Rs
ua
U
u ref (t ) = dc ⋅ r ⋅ cos(θ )
2
ìθ = ω ⋅ t
ï
2 ⋅U 0
í
r
=
∈ [0 → 1]
ï
U
dc
î
ea
~
-0.5.Udc
K12
Onde de référence
sinusoïdale :
+0.5.Udc
ua
coefficient de
réglage en tension
Tension au bornes de la charge :
+∞
u (t ) = U 0 (t ) + å u j (t )
j =1
avec :
valeur moyenne
r ⋅ U dc
ì 0
(
)
(
)
=
⋅
sin
θ
U
t
ïï
2
í
ïu j (t ) = 2 ⋅ U dc ⋅ cos( j ⋅ ω MLI ⋅ t ) ⋅ sin é j ⋅ π + j ⋅ π ⋅ r ⋅ sin (θ )ù
êë 2
úû
ïî
2
j ⋅π
harmonique j
33
Choix du nombre de termes harmoniques h
Onduleur monophasé de tension commandé par MLI
u ji (t ) = U ji m ⋅ cos( ji ⋅ m ⋅ ωt )
+ U ji m ± 2 ⋅ cos[( ji ⋅ m − 2 ) ⋅ ωt ] + U ji m ± 2 ⋅ cos[( ji ⋅ m + 2) ⋅ ωt ] +
Harmoniques de la tension
de sortie de l’onduleur:
+ U ji m ± 4 ⋅ cos[( ji ⋅ m − 4 ) ⋅ ωt ] + U ji m ± 4 ⋅ cos[( ji ⋅ m + 4) ⋅ ωt ] + ...
[
⋅ sin [( j
⋅ sin [( j
]
⋅ m − 3) ⋅ ωt ] + U
⋅ m − 5 ) ⋅ ωt ] + U
[
⋅ sin [( j
⋅ sin [( j
]
⋅ m + 3) ⋅ ω t ] +
⋅ m + 5) ⋅ ωt ] + ...
impaires
u j p (t ) = U j p m ±1 ⋅ sin ( j p ⋅ m − 1) ⋅ ωt + U j p m ±1 ⋅ sin ( j p ⋅ m + 1) ⋅ ωt +
+ U j p m ±3
+ U j p m ±5
p
p
j p m ±3
j p m ±5
p
p
paires
familles d’harmoniques centrées sur des fréquences multiples entiers de la fréquence de commutation
Évolution des amplitudes
d’harmoniques de tension :
ìïU ji m , U ji m ± 2 , U ji m ± 4 ...
í
ïîU j p m ±1 , U j p m ±3 , U j p m± 5 ...
L’harmonique à la fréquence
de commutation est
prépondérante pour toutes
les valeurs de r
34
Choix du nombre de termes harmoniques h
Onduleur triphasé de tension commandé par MLI
! Tensions de phase de la machine
différentes de tensions de sortie de
l’onduleur :
i
ua
2 . Cf
+
æ + 2 −1 −1ö
æ u a 0 (t )ö
æ u a (t )ö
÷
÷
ç
÷
ç
1 ç
(
)
(
)
u
t
S
u
t
S
=
⋅
−
+
−
=
⋅
,
1
2
1
÷
ç
ç b0 ÷
ç b ÷
3 ç
÷
ç u (t ) ÷
ç u (t ) ÷
è −1 −1 + 2ø
è c0 ø
è c ø
Udc
u
+0.5.u
K11
K31
ua0
uc0
-0.5.u
K12
ia
L
ea
R
~
ib
ub0
O
2 . Cf
K21
K22
~
ic
~
K32
! Même forme des tensions de sortie de l’onduleur que l’onduleur monophasé
Mêmes harmoniques des tensions de sortie :
ìæ u aji0 (t )ö
cos[( ji ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ] ö
cos[( ji ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ] ö
æ
æ
æ1ö
÷
ç
÷
ç
ç ÷
ïç ji ÷
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
[
]
u
t
U
j
m
t
U
j
m
t
U
j
m
t
1
cos
cos
2
2
3
cos
4
2
3
ω
m
ω
π
m
ω
π
+
⋅
⋅
⋅
±
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
±
=
⋅
÷
ç
÷ + ...
ç
÷
ç
÷
ç
ji m
i
ji m ± 2
i
ji m ± 4
i
ï b0
÷
ç
j
ç cos[( j ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ± 4π 3]÷
ç cos[( j ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ± 4π 3]÷
ç1÷
ï u i (t )
i
i
ø
è
ø
è
è ø
ïè c 0 ø
í jp
ö
æ
ö
æ
æ
sin ( j p ⋅ m m 5) ⋅ ωt
sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt
sin ( j p ⋅ m m 1) ⋅ ωt
ïæç u a 0 (t )ö÷
÷
ç
÷
ç
ç
j
ïç u p (t )÷ = U
j p m ±1 ⋅ ç sin ( j p ⋅ m m 1) ⋅ ωt ± 2π 3 ÷ + U j p m ± 3 ⋅ ç sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt ± 2π 3 ÷ + U j p m ± 5 ⋅ ç sin ( j p ⋅ m m 5) ⋅ ωt ± 2π 3
ïç bj0 ÷
ç sin ( j ⋅ m m 5) ⋅ ω ± 2π 3 t
ç sin ( j ⋅ m m 3) ⋅ ω ± 2π 3 t ÷
ç sin ( j ⋅ m m 1) ⋅ ω ± 2π 3 t ÷
ïçè u c 0p (t )÷ø
p
p
p
ø
è
ø
è
è
î
[
[
[
]
]
]
[
[
[
]
]
]
[
[
[
]
ö
÷
÷ + ...
÷
ø
35
]
]
Choix du nombre de termes harmoniques h
Onduleur triphasé de tension commandé par MLI
Le terme harmonique d’ordre j des tensions de phase de la machine s’exprime en appliquant la
transformation S au même terme harmonique des tensions de sortie de l’onduleur :
ìæ u aji (t )ö
cos[( ji ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ]
æ
ïç ji ÷ U ji m ± 2 ç
⋅ ç cos[( ji ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ± 2π
ïç u b (t )÷ =
3
ç cos[( j ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ± 4π
ïç u ji (t )÷
i
è
ïè c ø
í jp
æ
sin ( j p ⋅ m m 1) ⋅ ωt
ïæç u a (t )ö÷ U
ç
j
m
±
1
j
p
ïç u p (t )÷ =
⋅ ç sin ( j p ⋅ m m 1) ⋅ ωt ± 2π
ïç bj ÷
3
ç sin ( j ⋅ m m 1) ⋅ ωt ± 4π
ïçè u c p (t )÷ø
p
è
î
[
[
[
]
ö
÷ U j m±4
3]÷ + i
3
3]÷ø
ö
÷ U j m ±3
3 ÷+ p
3
3 ÷ø
]
]
cos[( ji ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ] ö
æ
÷
ç
⋅ ç cos[( ji ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ± 2π 3]÷ + ...
ç cos[( j ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ± 4π 3]÷
i
ø
è
[
]
ö
æ
sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt
÷ U j m±5
ç
⋅ ç sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt ± 2π 3 ÷ + p
3
ç sin ( j ⋅ m m 3) ⋅ ωt ± 4π 3 ÷
p
ø
è
La transformation S élimine les composants
de type homo polaire en laissant inchangées
celles équilibrées
[
[
]
]
[
]
ö
æ
sin ( j p ⋅ m m 5) ⋅ ωt
÷
ç
⋅ ç sin ( j p ⋅ m m 5) ⋅ ωt ± 2π 3 ÷ + ...
ç sin ( j ⋅ m m 5) ⋅ ωt ± 4π 3 ÷
p
ø
è
[
[
]
]
La composante harmonique à la fréquence
de commutation est éliminée du spectre
harmonique des tensions de phase.
Il faut considérer la somme des termes harmoniques à la fréquence
de commutation et à deux fois cette fréquence : h = 2
36