les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à
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Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? LES ÉLÈVES DU PREMIER DEGRÉ SECONDAIRE SONT-ILS PRÊTS À DÉMONTRER EN GÉOMÉTRIE ? Synthèse de la recherche en pédagogie n°02/97 BURTON, R. et DETHEUX-JEHIN, M. Tél. : 04/366.20.51 04/366.20.75 Fax : 04/366.28.55 Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 Service de Pédagogie expérimentale Université de Liège (Sart-Tilman) Sart Tilman - Bât. B32 4000 Liège 2 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? Introduction L' enseignement de la géométrie du début secondaire se caractérise par le passage d'une géométrie intuitive (caractéristique de l'enseignement primaire) à une géométrie axiomatique qui recourt aux définitions et aux propriétés des objets géométriques. Les élèves du premier degré sont-ils prêts à aborder cette transition vers l'abstraction et le raisonnement déductif ? Quelles compétences sont-ils réellement capables de maîtriser à ce niveau d'étude ? Une analyse des évaluations d'enseignants du premier degré de l'enseignement secondaire montre qu'effectivement l'élaboration de démonstrations constitue l'une des préoccupations principales de l'enseignement de la géométrie en fin du 1er cycle (BURTON, DETHEUX, FAGNANT, 1997). Cependant, ce type de raisonnement apparaît soudainement à cette étape du cursus scolaire, et constitue une réelle source de difficultés pour la majorité des élèves. Une étude menée à large échelle (BURTON, DEMONTY, DETHEUX, à paraître) indique que résoudre et rédiger une démonstration même simple ou une justification raisonnée est une compétence que seule maîtrise une proportion faible d'élèves. Il convient dès lors de s'interroger sur les limites d'une telle finalité assignée à l'enseignement des mathématiques au premier degré secondaire en s'appuyant, d'une part, sur les apports de la psychologie cognitive en ce qui concerne le développement du raisonnement géométrique et, d'autre part, sur les constats du terrain scolaire. 1. Le point de vue piagetien L'approche génétique de INHELDER & PIAGET (1955) situe l'apparition du raisonnement hypothético-déductif au stade des opérations formelles. Les premières manifestations de ces raisonnements apparaissent généralement vers 11-12 ans et se construisent jusqu'à la stabilisation vers 14-15 ans. Selon eux, il existerait des niveaux relatifs au développement des notions de justification et de preuve. Les élèves du degré d'observation seraient donc en pleine phase de construction de la pensée hypothético-déductive. Niveau 1 A ce premier niveau, la détermination de la véracité d'une proposition s'effectue empiriquement. Chaque exemple est traité séparément et les conclusions locales peuInformations Pédagogiques n° 45 Février 1999 3 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? vent être contradictoires. Bien que les modèles soient établis empiriquement, cela se réalise sans tentative de compréhension. Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 4 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? Exemple : Les élèves sont capables de déterminer que la somme des amplitudes des angles d'un triangle particulier est égale à celle d'un angle plat en découpant et en assemblant les angles d'un triangle de carton, tout en ignorant le concept d'amplitude des angles, et sans comprendre pourquoi le phénomène se produit. Niveau 2 A la fin de ce niveau, les généralisations inductives deviennent systématiques. Malgré que les élèves soient capables d'élaborer des implications, leur pensée reste encore empirique par nature. Exemple : Les élèves sont capables, à partir d'une série de triangles donnés, d'induire que la somme des amplitudes de tout triangle est égale à 180° : cette découverte devient universelle. Niveau 3 Les élèves utilisent des raisonnements logiques pour justifier leurs propositions. Cependant, ces raisonnements ne sont pas nécessairement basés sur des mathématiques formelles. Exemple : Les élève sont capables de démontrer que la somme des amplitudes des angles d'un triangle est égale à 180° en utilisant la propriété des angles extérieurs à un triangle. 2. Le point de vue de P. et D. VAN HIELE Selon la théorie de Pierre et Dina VAN HIELE, les élèves progressent à travers cinq niveaux de pensée géométrique (VAN HIELE, 1959; VAN HIELE, 1986; VAN HIELE - GELDOF, 1984) depuis un niveau visuel «gestaliste» jusqu'à des niveaux de plus en plus sophistiqués d'analyse, d'abstraction, de déduction et de rigueur mathématique. Le tableau ci-après reprend la description de chacun de ces niveaux. Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 5 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? Tableau 1 : Les niveaux de VAN HIELE NIVEAU DESCRIPTION EXEMPLE Niveau 1 de la visualisation Les élèves perçoivent les objets géométriques en fonction de leur apparence physique. Ils raisonnent au moyen de considérations visuelles (prototypes visuels) sans utiliser explicitement les propriétés de ces objets. Les élèves considèrent qu'un losange est un losange "parce qu'il est sur pointe" ou qu'une hauteur est une hauteur "parce qu'elle est verticale". Niveau 2 de l'analyse Les élèves sont capables d'associer les objets géométriques à leurs propriétés. Cependant, ils utilisent une litanie de propriétés nécessaires pour l'identification et la description de ces objets. Les élèves considèrent qu'un carré est un carré parce qu'il possède 4 côtés de même longueur, 4 angles droits et que ses côtés opposés sont parallèles. Niveau 3 de l'abstraction Les élèves sont capables d'ordonner les propriétés des objets géométriques, de construire des définitions abstraites, de distinguer les propriétés nécessaires des propriétés suffisantes pour la détermination d'un concept et de comprendre les déductions simples. Cependant, les démonstrations ne sont pas comprises. Les élèves considèrent qu'un carré est un carré parce que c'est un rectangle ayant les 4 côtés de même longueur. Niveau 4 de la déduction Les élèves sont capables de comprendre le rôle des différents éléments d'une structure déductive et d'élaborer des démonstrations originales ou du moins de les comprendre. Les élèves sont capables de démontrer qu'un parallélogramme ayant 2 côtés consécutifs de même longueur est un losange. Niveau 5 de la rigueur Les élèves sont capables de tra- Les élèves sont capables de comvailler dans des systèmes axioma- prendre des géométries nontiques différents et d'étudier des euclidiennes. géométries variées en l'absence de modèle concrets. Source : Clements et Battista. Geometry and spatial reasoning. In Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York : MacMillan Publishing Company, 1992, 420-463. Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 6 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? Bien que Pierre et Dina VAN HIELE considèrent que ces niveaux soient discrets et hiérarchisés, attribuant ainsi un seul niveau à chaque élève, BURGER & SHAUGHNESSY (1986), d'une part, et FUYS, GEDDES & TISCHLER (1988) d'autre part, ont constaté que beaucoup d'élèves faisaient référence à des niveaux différents en fonction du problème abordé, et que certaines réponses reflétaient simultanément deux niveaux dominants consécutifs. Ceci a amené GUTIERREZ, JAIME et FORTUNY (1989) à conclure que pour avoir une vue complète de l'état de raisonnement d'un élève, il fallait tenir compte de sa capacité à utiliser plusieurs niveaux à la fois au lieu de lui en attribuer un seul. De plus, comme la maîtrise totale d'un niveau spécifique ne s'installe qu'après un temps assez long (plusieurs mois, voire plusieurs années), ces chercheurs proposent d'introduire des degrés d'acquisition d'un niveau allant d'une basse acquisition à une acquisition complète. La détermination du degré d'acquisition s'effectue en fonction de la justesse des réponses des élèves et de la qualité de leurs justifications. 3. Les constats du terrain 3.1. Méthode A partir d'une étude menée auprès de 329 élèves du premier degré de l'enseignement secondaire, nous avons tenté de déterminer le degré d'acquisition de ces élèves aux différents niveaux de raisonnement selon la classification des VAN HIELE et les travaux de GUTIERREZ. Quelques résultats de cette enquête sont présentés ci-dessous. A travers l'analyse de questions, nous tenterons de dégager quelques caractéristiques des démarches de raisonnement des élèves. 3.2. Échantillon Afin de brosser un tableau complet du développement du raisonnement géométrique des élèves au premier degré de l'enseignement secondaire, il est apparu opportun de mesurer également les acquis des élèves à l'entrée du cycle, c'est-à-dire en fin de sixième primaire. L'échantillon se compose donc comme suit : Tableau 2 : Description de l'échantillon Nombre de classes Nombre total d'élèves Sixième primaire Première secondaire Deuxième secondaire 8 8 9 165 149 180 Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 7 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? 3.3. L'épreuve Les tests de sixième primaire, d'une part, et de première et de deuxième secondaires, d'autre part, se composent de questions relatives aux figures géométriques (voir en annexe les trois exemples de questions qui font l'objet des analyses ci-après). L'épreuve a été administrée aux élèves fin février 1997. Une interview de trente-six élèves du premier cycle secondaire a complété l'épreuve écrite. 3.4. Les résultats Pour chaque niveau des VAN HIELE, un tableau présente la répartition des élèves aux différents degrés d'acquisition (5 degrés allant de la non acquisition jusqu'à l'acquisition complète). A travers ces analyses, il a été possible de dégager une image du niveau de raisonnement géométrique des élèves testés. Niveau 1 de la visualisation Ce niveau n'a pas été mesuré directement. Les élèves du premier degré secondaire devraient avoir dépassé ce stade et acquis le niveau 2 de l'analyse. Cependant, les élèves qui se situent encore à des degrés bas du niveau 2 sont très probablement encore fortement ancrés dans le niveau 1. Ils ont des difficultés à se détacher de l'aspect visuel d'une forme construite et restent influencés par l'apparence physique des figures. Ainsi, dans les justifications du classement de figures (voir en annexe question 1), trouve-t-on des réponses telles que : ce sont des parallélogrammes « parce qu'ils sont étirés » « parce que les côtés sont obliques » ce sont des losanges « parce qu'ils sont pointus » « parce qu'ils ont quatre côtés et sont sur une pointe » Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 8 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? Niveau 2 de l'analyse Il s'agit à ce niveau de déterminer dans quelle mesure l'élève utilise les propriétés des figures géométriques pour justifier une réponse (voir en annexe question 1). Tableau 3 : Répartition des élèves aux différents degrés d'acquisition du niveau 2 (en pourcentages) Sixième primaire Première secondaire Deuxième secondaire Pas d'acquisition(0-20) 11 6 2 Basse acquisition(20-40) 18 24 8 Acquisition intermédiaire(40-60) 22 15 16 Haute acquisition(60-80) 19 26 27 Acquisition complète(80-100) 30 29 47 En sixième primaire, 30 % des élèves interrogés maîtrisent complètement le niveau 2. Ces élèves sont capables d'associer les figures géométriques à leurs propriétés. Par contre, 29 % d'entre eux sont encore fortement influencés par des prototypes visuels puisque leur degré d'acquisition de ce niveau ne dépasse pas 40. Un élève sur deux a acquis un degré suffisant du niveau 2 pour aborder une géométrie raisonnée. En première secondaire, 29 % possèdent un degré d'acquisition supérieur à 80, et 30 % ont toujours un degré inférieur à 40. On n'observe donc aucune augmentation vraiment significative du pourcentage d'élèves qui maîtrisent le niveau 2. Par contre, en deuxième secondaire, le pourcentage de maîtrise totale de niveau 2 augmente fortement pour atteindre 47 %, et 74 % des élèves ont un niveau 2 satisfaisant. Il reste, néanmoins, 10 % d'élèves qui restent encore à un niveau faible d'acquisition. Il est intéressant de relever que le pourcentage de réponses correctes varie en fonction de la figure : il est élevé pour les carrés et les rectangles, beaucoup plus faible pour les losanges et les parallélogrammes. Un certain nombre d'élèves classe le carré sur pointe dans les losanges (sans le classer dans les carrés) ainsi que la figure quelconque n° 5. Les réponses de ces élèves sont influencées par l'apparence des figures plutôt que par leurs propriétés. Une analyse plus qualitative des justifications fournies montre que : • les élèves ont tendance à utiliser une litanie de propriétés pour décrire une figure plus qu'à s'en tenir aux propriétés nécessaires et suffisantes; • beaucoup de définitions restent très marquées par l'aspect visuel des figures; • le vocabulaire géométrique utilisé est souvent imprécis (des coins pour les angles, des lignes pour des droites ou segments de droite, etc.). Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 9 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? Niveau 3 de l'abstraction A travers la question n° 2 notamment (voir annexe), il est possible d'approcher le niveau de l'abstraction. Elle vérifie si l'élève est capable de distinguer si une proposition donnée représente ou non une condition nécessaire et suffisante définissant de manière univoque un objet géométrique. Tableau 4 : Répartition des élèves aux différents degrés d'acquisition du niveau 3 Première secondaire Pas d'acquisition (0-20) Deuxième secondaire 65 39 Basse acquisition (20-40) 3 5 Acquisition intermédiaire (40-60) 0 0 Haute acquisition (60-80) 4 3 28 53 Acquisition complète (80-100) En première secondaire, si 28 % des élèves interrogés ont un degré d'acquisition du niveau 3 supérieur à 80, 68 % d'entre eux ne maîtrisent pas du tout ce niveau : ces derniers éprouvent d'énormes difficultés à ordonner les propriétés des objets géométriques, à construire des définitions abstraites, à distinguer les propriétés nécessaires des propriétés suffisantes et à comprendre des déductions simples. En deuxième année, la proportion d'élèves qui ont un degré d'acquisition compris entre 80 et 100 passe de 28 % à 53 % de la population totale. En fait, les élèves ont tendance à recourir à toute une série de propriétés superflues pour définir une figure géométrique. En effet, lorsque la proposition est une condition nécessaire et suffisante (rectangle, losange), plus de 37 % des élèves considèrent qu'elle ne contient pas assez d'éléments caractéristiques et qu'il conviendrait par conséquent d'en ajouter. Lorsque la proposition contient trop d'éléments caractéristiques pour pouvoir déterminer si un quadrilatère est de la nature considérée, plus de 80 % des élèves estiment que cette proposition ne contient pas de propriétés superflues. Tout se passe donc comme si les élèves considéraient que toutes les caractéristiques d'un concept étaient nécessaires à sa définition. Le niveau 3 a pu également être évalué (voir en annexe question 1). Les élèves qui font des inclusions correctes se situent à un haut degré de maîtrise de ce niveau. Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 10 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? Tableau 5 Sixième primaire Première secondaire Deuxième secondaire 1 seul cas d'inclusions complètes 3 cas d'inclusions complètes - 16 % d'inclusions partielles 13 % d'inclusions partielles 29 % d'inclusions partielles Niveau 4 de la déduction A ce niveau, l'élève est capable d'établir un enchaînement simple de justifications ou d'élaborer une démonstration. Tableau 6 : Répartition des élèves aux différents degrés d'acquisition du niveau 4 Première secondaire Pas d'acquisition (0-20) Deuxième secondaire 89 82 Basse acquisition (20-40) 5 7 Acquisition intermédiaire (40-60) 0 0 Haute acquisition (60-80) 0 0 Acquisition complète (80-100) 6 11 La question n° 3 notamment (voir annexe) permet de déterminer le niveau de preuve atteint par l'élève, et, si l'élève passe par la démonstration, d'en mesurer le degré de maîtrise. Que ce soit en première ou deuxième année secondaire, la grande majorité des élèves (respectivement 89 % et 82 %) ne maîtrise pas du tout le niveau 4. Les élèves sont incapables de comprendre les différents éléments d'une structure déductive et d'élaborer des démonstrations originales ou du moins de les comprendre. Plus de 60 % des élèves interrogés en première et en deuxième ne ressentent pas le besoin de recourir à la démonstration (même sous des formes non conventionnelles) pour prouver la véracité d'une proposition, mais se contentent d'observer si le dessin donné vérifie certaines propriétés par la mesure ou le "coup d'oeil". Beaucoup d'élèves énumèrent des propriétés du losange pensant ainsi avoir fourni une preuve : « Il a 4 côtés égaux ». « Il a les 4 côtés de même longueur et les angles opposés ont la même amplitude ». « Il a 4 côtés de même mesure et ses diagonales se coupent en leur milieu ». Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 11 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? En deuxième année, 11,4 % des étudiants ont fait une tentative d'élaboration d'une démonstration dont aucune ne s'est révélée être correcte et complète. De plus, uniquement 0,6 % ont été capables de rédiger une thèse correcte (c'est-à-dire environ 5 % des élèves qui ont fait une tentative de démonstration). Aucun n'a produit d'hypothèse correcte. 5. Conclusions Même si cette étude reste exploratoire, à travers l'analyse des réponses d'élèves, apparaissent quelques constats interpellants : 1. La difficulté pour les élèves de quitter une vision prototypique des figures et d'utiliser les propriétés pour définir, vérifier, démontrer. En deuxième secondaire, 10 % d'élèves sont encore influencés par les images prototypiques (30 % en sixième primaire et en première secondaire). Les pratiques d'enseignement ont un rôle important à jouer par rapport à ce type de difficultés. Permettre plus aux élèves de manipuler, de construire, d'expérimenter, leur proposer des dessins de figures géométriques dans des contextes variés, dans une position non figée peut aider à dépasser ce niveau et peut favoriser le recours aux propriétés. 2. L'hétérogénéité des niveaux de raisonnement dans une même année scolaire. Le niveau de conceptualisation atteint par les élèves à un même niveau scolaire varie fortement. On constate une disparité importante entre les degrés d'acquisition des élèves. Certains restent encore influencés à des degrés divers par les images prototypes alors que d'autres sont capables de faire référence aux propriétés des figures. Dans l'apprentissage, il faut prendre en compte cette hétérogénéité, proposer des situations diversifiées où chacun pourra fournir ses explications, utiliser ses procédures personnelles. L'enseignant aura alors comme tâche d'élargir ces notions, de les préciser, de les structurer, pour amener tous les élèves à des niveaux de conceptualisation plus élaborés. Un enseignement "en spirale", tel que le préconise le programme, se justifie pleinement. 3. Le niveau de l'abstraction et surtout de la déduction ne sont qu'en construction au premier degré secondaire. Aussi, il nous semble pertinent, dès à présent, de poser la question de la légitimité d'introduire dans les évaluations certificatives la mesure de compétences dont les structures mentales sous-jacentes sont en pleine construction. Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 12 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? Il s'agira donc d'amener progressivement les élèves à exercer le raisonnement déductif. Les résultats montrent la nécessité de créer des situations d 'apprentissage favorables tout au long du cycle. Les élèves auront l'occasion de découvrir des propriétés, de les organiser logiquement et d'en arriver petit à petit à une vraie déduction qui permet d'établir une vérité géométrique. Ainsi se fera une préparation efficace à la démonstration formelle du deuxième degré. Ces observations montrent à quel point la construction du raisonnement géométrique est lente, et qu'il est essentiel de faire acquérir progressivement et solidement des compétences intermédiaires en proposant des activités d'apprentissage diversifiées, et non de plonger les élèves brusquement sans transition dans le monde du raisonnement déductif formel. v v v v Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 13 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? Bibliographie • BURTON, R., DETHEUX-JEHIN, M., FAGNANT, A. (1997). Comment les enseignants évaluent-ils la géométrie au premier degré secondaire ? Liège : Service de Pédagogie expérimentale de l'Université. • BURTON, R., DEMONTY, I, DETHEUX-JEHIN, M. (à paraître). Construction d'épreuves d'évaluation : mesure du raisonnement en géométrie. Liège : Service de Pédagogie expérimentale de l'Université. • BURGER, W; & SHAUGHNESSY, J.-M. (1986). Characterizing the VAN HIELE levels of development in geometry. Journal for Research in Mathematics Education, 17, 41-48. • FUYS, D., GEDDES, D. & TISCHLER, R. (1988). The VAN HIELE model of thinking in geometry among adolescents. Journal for Research in Mathematics Education. Monograph 3. • GUTIERREZ, A., JAIME, A. & FORTUNY (1991). Alternative paradigm to evaluate the acquisition of the VAN HIELE levels. Journal for Research in Mathematics Education, 22, 237-251. • INHELDER, B. & PIAGET, J. (1955). De la logique de l'enfant à la logique de l'adolescent. Paris : PUF. • SENK, S.L. (1989). VAN HIELE levels and achievement in writing geometry proofs. 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Annexe QUESTION 1 Objectif 2 1 3 Cette question permet de détermi5 ner le degré d'acquisition du ni- 6 4 veau 2 (l'analyse) : l'élève utilise-t-il les propriétés des 8 figures géométriques pour les iden- 10 7 9 11 tifier et justifier sa réponse ? Elle permet, en outre, de repérer les élèves capables de faire des inclu- 12 sions correctes et qui, de ce fait, 14 13 15 atteignent le niveau 3 de l'abstraction. Écris le numéro de toutes les figures qui sont : a) des carrés : .................................................................................... .................................................................................... .................................................................................... b) des losanges : .................................................................................... .................................................................................... .................................................................................... c) des parallélogrammes : .................................................................................... .................................................................................... .................................................................................... d) des rectangles : .................................................................................... e) des trapèzes : .................................................................................... Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 16 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 17 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? QUESTION 2 Dans les propositions suivantes, y a-t-il pas assez, assez ou trop de renseignements pour dire que le quadrilatère considéré est : a) un rectangle ? Transforme, si nécessaire, la définition pour qu'elle contienne juste assez d'éléments. Pas assez Assez Trop J'ai 4 angles droits et mes côtés opposés ont la même longueur. Nouvelle définition : ................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... b) un rectangle ? Transforme, si nécessaire, la définition pour qu’elle contienne juste assez d’éléments. Pas assez Trop Mes diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur. Nouvelle définition : ................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... c) un losange ? Transforme, si nécessaire, la définition pour qu’elle contienne juste assez d’éléments. Pas assez Trop Mes diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires entre elles. Nouvelle définition : ................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 18 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? Objectif La deuxième question mesure un aspect particulier du niveau 3. Elle vérifie si l'élève est capable de distinguer si une proposition donnée représente ou non une condition nécessaire et suffisante définissant de manière univoque un objet géométrique. Cette question comporte quatre items relatifs à la définition du rectangle, du losange et du parallélogramme. De plus, dans le cas où la proposition donnée ne représente pas une condition nécessaire et suffisante, l'élève est invité à la corriger. Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 19 Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ? d) un parallélogramme ? Transforme, si nécessaire, la définition pour qu’elle contienne juste assez d’éléments. Pas assez Trop Mes côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur. Nouvelle définition : ................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... QUESTION 3 ABCD est un trapèze tel que [AD] // [BC] = CD. Objectif La parallèle à [CD] passant par B coupe [AD] en E. Prouve que le quadrilatère BCDE est un losange. La troisième question détermine le degré d'acquisition du niveau 4 (la déduction). Elle permet, dans un premier temps, de déterminer le niveau de preuve atteint par l'élève et, lorsque l'élève prouve sa réponse par une démonstration, d'en mesurer le degré de maîtrise v v v v Informations Pédagogiques n° 45 Février 1999 20
