Nouvelles fonctions usuelles () Nouvelles fonctions usuelles 1 / 48 1 Injections, surjections, bijections 2 Fonctions trigonométriques réciproques 3 Résolution d’équations trigonométriques 4 Fonctions Hyperboliques 5 Complément de formules de trigonométrie () Nouvelles fonctions usuelles 2 / 48 Plan 1 Injections, surjections, bijections 2 Fonctions trigonométriques réciproques 3 Résolution d’équations trigonométriques 4 Fonctions Hyperboliques 5 Complément de formules de trigonométrie () Nouvelles fonctions usuelles 3 / 48 Injections Définition Soit D et F deux sous-ensembles de R. Soit f une fonction définie sur D à valeurs dans F . On dit que f est une injection (ou que f est injective) si et seulement si l’une des conditions équivalentes suivantes est réalisée : tout élément de F admet au plus un antécédent dans D par f . pour tout élément y ∈ F , l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ D admet au plus une solution. ∀x ∈ D, ∀x 0 ∈ D, x 6= x 0 ⇒ f (x) 6= f (x 0 ) . ∀x ∈ D, ∀x 0 ∈ D, f (x) = f (x 0 ) ⇒ x = x 0 . Exemples: Remarque: f est une injection si et seulement si toute droite horizontale coupe son graphe en au plus un point. () Nouvelles fonctions usuelles 4 / 48 Proposition Soit I un intervalle de R et f une fonction réelle définie sur I . Si f est strictement monotone sur I , alors f est une injection. Exemple: () Nouvelles fonctions usuelles 5 / 48 Surjections Rappel : Soit D un sous-ensemble de R. Soit f une fonction réelle définie sur D. On appelle ensemble image de f le sous-ensemble de R, noté f (D), constitué des images par f de tous les éléments de D : f (D) = f (x) x ∈ D . L’ensemble image de f est l’ensemble des éléments de R qui ont au moins un antécédent dans D par f : f (D) = y ∈ R ∃x ∈ D, f (x) = y . () Nouvelles fonctions usuelles 6 / 48 Définition Soit D et F deux sous-ensembles de R. Soit f une fonction définie sur D à valeurs dans F . On dit que f est une surjection (ou que f est surjective) si et seulement si l’une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : tout élément de F admet au moins un antécédent dans D par f . pour tout élément y ∈ F , l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ D admet au moins une solution. ∀y ∈ F , ∃x ∈ D, f (x) = y . f (D) = F . Exemple: Remarque: f est une surjection si et seulement si pour tout α ∈ F , la droite horizontale d’équation y = α coupe le graphe de f en au moins un point. () Nouvelles fonctions usuelles 7 / 48 Proposition Soit D un sous-ensemble de R. Soit f une fonction réelle définie sur D. La fonction g : D → f (D) est une surjection. x 7→ f (x) Exemple: () Nouvelles fonctions usuelles 8 / 48 Bijections et bijections réciproques Définition Soit D et F deux sous-ensembles de R. Soit f une fonction définie sur D à valeurs dans F . On dit que f est une bijection (ou que f est bijective) de D sur F si et seulement si l’une des conditions équivalentes suivantes est réalisée : f est injective et surjective. tout élément de F admet exactement un antécédent dans D par f . pour tout élément y ∈ F , l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ D admet exactement une solution. ∀y ∈ F , ∃!x ∈ D, f (x) = y . Exemple: Remarque: f est une bijection si et seulement si pour tout α ∈ F , la droite horizontale d’équation y = α coupe une et une seule fois le graphe de f . () Nouvelles fonctions usuelles 9 / 48 Définition Soit D et F deux sous-ensembles de R et soit f une bijection de D sur F . L’application définie sur F à valeurs dans D qui à tout élément y de F associe l’unique antécédent de y par f (le seul x ∈ D tel que f (x) = y ) est une bijection qu’on appelle la bijection réciproque de f , et que l’on note f −1 . Autrement dit, pour tout y ∈ F , le réel f −1 (y ) est l’unique élément de D tel que f f −1 (y ) = y c’est-à-dire l’unique solution de l’équation f (x) = y . Remarque: 1 2 Si f est une bijection, f −1 désigne la bijection réciproque de f et pas la fonction 1/f . La bijection réciproque de f −1 est la fonction f , autrement dit −1 f −1 =f. () Nouvelles fonctions usuelles 10 / 48 Exemples: Remarque: Les graphes de f et f −1 sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x appelée première bissectrice du plan. Proposition Soit D et F deux sous-ensembles de R et f une bijection de D sur F . ∀x ∈ D, f −1 f (x) = x et ∀y ∈ F , f f −1 (y ) = y . () Nouvelles fonctions usuelles 11 / 48 Définition Soit D et F deux sous-ensembles de R. Soit f une fonction définie sur D à e un sous-ensemble de D et Fe un sous-ensemble de valeurs dans F . Soit D F. On dit que e e → f : D x 7→ e sur Fe si et seulement si la fonction f réalise une bijection de D Fe est une bijection. f (x) Remarque: Attention : dans la définition précédente, ce n’est pas la fonction f qui est une bijection ! Exemples: () Nouvelles fonctions usuelles 12 / 48 Lemme Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I . Si f est continue sur I , alors son ensemble image f (I ) est un intervalle. () Nouvelles fonctions usuelles 13 / 48 Théorème (Théorème de la bijection) Soit I un intervalle de R et f : I → R une fonction réelle définie sur I . Si f est continue et strictement monotone sur I , alors : f (I ) est un intervalle, la fonction f réalise une bijection de I sur f (I ), autrement dit, la fonction e f : I → f (I ) est une bijection, x 7→ f (x) la bijection réciproque e f −1 : f (I ) → I y 7→ x, tel que f (x) = y est strictement monotone sur f (I ) de même sens de variation de f , et continue sur f (I ). () Nouvelles fonctions usuelles 14 / 48 Théorème (Dérivabilité de la bijection réciproque) Soit I un intervalle de R, et f une bijection continue de l’intervalle I sur l’intervalle J = f (I ). Soit x un point de I en lequel f est dérivable. Si f 0 (x) = 0, alors f −1 n’est pas dérivable en y = f (x) et le graphe de f −1 présente une tangente verticale au point d’abscisse y = f (x). 0 1 Si f 0 (x) 6= 0, alors f −1 est dérivable en f (x) et f −1 f (x) = 0 . f (x) Exemples: () Nouvelles fonctions usuelles 15 / 48 Corollaire Soit I et J deux intervalles de R, et f une bijection continue de I sur J. Soit K un intervalle inclus dans I . Si f est dérivable sur K et si sa dérivée f 0 ne s’annule pas sur K alors f −1 est dérivable sur f (K ) et pour tout y ∈ f (K ), 0 1 f −1 (y ) = 0 −1 . f (f (y )) () Nouvelles fonctions usuelles 16 / 48 Exercice 1 Soit f : [0, +∞[ → R x 7→ x 2 + 1. 1 Après avoir étudié la dérivabilité de f , dresser son tableau de variations. 2 3 Montrer que f réalise une bijection de [0, +∞[ sur [1, +∞[. On considère la bijection e f : [0, +∞[ → [1, +∞[ . x 7→ x 2 + 1 1 2 3 4 5 Quels sont les intervalles de départ et d’arrivée de e f −1 ? −1 e Quel est le sens de variation de f ? Déterminer sur quel ensemble e f −1 est dérivable. Que se passe-t-il pour −1 e f au point d’abscisse 1 ? Déterminer l’expression de e f −1 (y ) pour tout y ∈ [1, +∞[. −1 0 Calculer (e f ) de deux façons. () Nouvelles fonctions usuelles 17 / 48 Proposition Soit I1 , I2 deux intervalles de R tels que I1 ∩ I2 = ∅. Soit f : I1 ∪ I2 → R une fonction réelle. Si les trois conditions suivantes sont vérifiées : la fonction f1 : I1 → f (I1 ) est une bijection, x 7→ f (x) la fonction f2 : I2 → f (I2 ) est une bijection, x 7→ f (x) f (I1 ) ∩ f (I2 ) = ∅, alors la fonction e f : I1 ∪ I2 → f (I1 ) ∪ f (I2 ) est une bijection. x 7→ f (x) Exemple: () Nouvelles fonctions usuelles 18 / 48 Plan 1 Injections, surjections, bijections 2 Fonctions trigonométriques réciproques 3 Résolution d’équations trigonométriques 4 Fonctions Hyperboliques 5 Complément de formules de trigonométrie () Nouvelles fonctions usuelles 19 / 48 Les fonctions arcsin et arccos La sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle πfonction − 2 , π2 . L’image par la fonction de cet intervalle est [−1; 1]. Elle π sinus π réalise donc une bijection de − 2 , 2 sur [−1; 1], on note cette fonction f sin f admet donc une bijection réciproque. sin. Définition La fonction arcsin est la bijection réciproque de la fonction f : − π , π → [−1; 1] : sin 2 2 arcsin : [−1; 1] → − π2 , π2 y → arcsin y Pour tout y ∈ [−1, 1], arcsin y est l’unique angle de l’intervalle − π2 , π2 dont le sinus vaut y . () Nouvelles fonctions usuelles 20 / 48 Théorème La fonction arcsin a les propriétés suivantes : 1 arcsin est continue et strictement croissante sur [−1, 1] 2 arcsin est impaire 3 Pour tout x ∈ [−π/2, π/2], on a arcsin(sin(x)) = x et pour tout y ∈ [−1, 1], on a sin(arcsin(y )) = y . 4 La fonction arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[. Pour tout y ∈] − 1, 1[, on a 1 arcsin0 (y ) = p 1 − y2 () Nouvelles fonctions usuelles 21 / 48 Démonstration du théorème. f : [−π/2, π/2] → [−1, 1] étant continue et La fonction sin x 7→ sin(x) strictement croissante, sa bijection réciproque Arcsin est aussi continue et strictement croissante d’après le théorème de la bijection. En tant que bijection réciproque d’une fonction impaire (la fonction f la fonction Arcsin est impaire. sin), Pour tout x ∈ [−π/2, π/2], on a f Arcsin(sin(x)) = Arcsin(sin(x)) =x et pour tout y ∈ [−1, 1], on a f y = sin(Arcsin(y )) = sin(Arcsin(y )). () Nouvelles fonctions usuelles 22 / 48 f : [−π/2, π/2] → [−1, 1] est dérivable sur [−π/2, π/2] La fonction sin x 7→ sin(x) et sa dérivée est la fonction f 0 : [−π/2, π/2] → R sin x 7→ cos(x). f 0 ne s’annule que pour x = −π/2 et x = π/2. La fonction sin ( ( f 0 (−π/2) = 0 f 0 (π/2) = 0 sin sin et f f sin(−π/2) = −1 = y sin(π/2) =1=y donc Arcsin n’est dérivable ni en 1, ni en −1 et son graphe présente une tangente verticale aux points d’abscisses 1 et −1. () Nouvelles fonctions usuelles 23 / 48 f 0 (x) 6= 0 et sin(] f − π/2, π/2[) =] − 1, 1[ Pour tout x ∈] − π/2, π/2[, sin donc Arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[. Soit y ∈] − 1, 1[. On a Arcsin0 (y ) = 1 1 = . 0 f cos(Arcsin(y )) sin (Arcsin(y )) Comme Arcsin(y ) ∈] − π/2, π/2[, on a cos(Arcsin(y )) > 0 donc q cos(Arcsin(y )) = cos(Arcsin(y )) = cos2 (Arcsin(y )). Or cos2 (Arcsin(y )) = 1 − sin2 (Arcsin(y )) = 1 − y 2 donc p cos(Arcsin(y )) = 1 − y 2 . 1 Finalement, Arcsin0 (y ) = p . 1 − y2 () Nouvelles fonctions usuelles 24 / 48 La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0, π]. L’image par la fonction cosinus de cet intervalle est [−1; 1]. Elle réalise donc une bijection de [0, π] sur [−1; 1]. Elle admet donc une bijection réciproque. Définition La fonction arccos est la bijection réciproque de la fonction f : [0, π] → [−1; 1] : cos arccos : [−1; 1] → [0, π] y → arccos y Pour tout y ∈ [−1, 1], arccos y est l’unique angle de l’intervalle [0, π] dont le cosinus vaut y . () Nouvelles fonctions usuelles 25 / 48 Théorème La fonction arccos a les propriétés suivantes : 1 arccos est continue et strictement décroissante sur [−1, 1] 2 Pour tout x ∈ [0, π], on a arccos(cos(x)) = x et pour tout y ∈ [−1, 1], on a cos(arccos(y )) = y . 3 La fonction arccos est dérivable sur ] − 1, 1[. Pour tout y ∈] − 1, 1[, on a −1 arccos0 (y ) = p 1 − y2 () Nouvelles fonctions usuelles 26 / 48 On a les graphes suivants pour les fonction Arccos et Arcsin : () Nouvelles fonctions usuelles 27 / 48 La fonction arctan. La tangent est continue et strictement croissante sur l’intervalle πfonction − 2 , π2 . L’image par la fonction tangente cet de intervalle est R tout π π entier. Elle réalise donc une bijection de − 2 , 2 sur R. Elle admet donc une bijection réciproque. Définition La fonction est la bijection réciproque de la fonction π πarctan f tan : − 2 , 2 → R : arctan : R → − π2 , π2 y → arctan y Pour tout y réel, arctan y est l’unique angle de l’intervalle − π2 , π2 dont la tangente vaut y . () Nouvelles fonctions usuelles 28 / 48 Théorème La fonction arctan a les propriétés suivantes : 1 arctan est continue et strictement croissante sur R 2 arctan est impaire. 3 La limite de la fonction arctan en +∞ est π2 , la courbe admet la droite y = π2 comme asymptote horizontale en +∞. 4 Pour tout x ∈] − π2 , π2 [, on a arctan(tan(x)) = x. 5 Pour tout y ∈ R, on a tan(arctan(y )) = y . 6 La fonction arctan est dérivable sur R. Pour tout y ∈ R, on a arctan0 (y ) = () 1 1 + y2 Nouvelles fonctions usuelles 29 / 48 La fonction arctan a le graphe suivant : () Nouvelles fonctions usuelles 30 / 48 Plan 1 Injections, surjections, bijections 2 Fonctions trigonométriques réciproques 3 Résolution d’équations trigonométriques 4 Fonctions Hyperboliques 5 Complément de formules de trigonométrie () Nouvelles fonctions usuelles 31 / 48 L’équation cos(x) = a d’inconnue réelle x On doit faire des cas selon la valeur de a : Si a ∈ / [−1; 1], l’équation cos(x) = a n’a pas de solution. Si a ∈ [−1; 1], l’équation cos(x) = a a une infinité de solutions : I Si on connait θ tel que cos θ = a, alors l’équation peut s’écrire cos(x) = cos θ. L’ensemble des solutions de cette équation est x = θ + 2kπ , k ∈ Z ou x = −θ + 2kπ , k ∈ Z. I Sinon, on utilise θ = Arccos(a). L’ ensemble des solutions de l’équation est alors x = Arccos(a) + 2kπ , k ∈ Z ou x = − Arccos(a) + 2kπ , k ∈ Z. Remarque: En particulier, cos(x) = cos(y ) ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x = y + 2kπ ou x = −y + 2kπ . Exemple : Résoudre sur R l’équation cos(2x) = () Nouvelles fonctions usuelles √ 3 2 . 32 / 48 L’équation sin(x) = b d’inconnue réelle x On distingue deux cas : Si b ∈ / [−1; 1], l’équation sin(x) = b n’a pas de solution. Si b ∈ [−1; 1], l’équation sin(x) = b a une infinité de solutions : I Si on connait θ tel que sin θ = b, alors l’équation peut s’écrire sin(x) = sin θ. L’ensemble des solutions de cette équation est x = θ + 2kπ , k ∈ Z ou x = π − θ + 2kπ , k ∈ Z. I Sinon, on prend θ = Arcsin(b). L’ensemble des solutions de cette équation peut alors s’écrire x = Arcsin(b) + 2kπ , k ∈ Z ou x = π − Arcsin(b) + 2kπ , k ∈ Z. Remarque: En particulier, sin(x) = sin(y ) ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x = y + 2kπ ou x = π − y + 2kπ . Exemple: Résoudre sur R l’équation sin(π/3 − 4x) = sin(3x). () Nouvelles fonctions usuelles 33 / 48 Le système d’inconnue réelle x : cos x = a sin x = b Le système ne possède pas de solution si a2 + b 2 6= 1. Si la condition a2 + b 2 = 1 est vérifiée, le système possède une infinité de solutions. Si on connait un angle θ particulier solution de ce système, alors l’ensemble de ses solutions est x = θ + 2kπ, avec k ∈ Z. En particulier, ce système possède une unique solution dans l’intervalle [0, 2π[. Remarque: En particulier, pour tout x, y ∈ R, on a cos x = cos(y ) ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x = y + 2kπ. sin x = sin(y ) () Nouvelles fonctions usuelles 34 / 48 L’équation tan(x) = c d’inconnue réelle x Pour tout nombre réel c, l’équation tan(x) = c a une infinité de solutions : Si on connait θ tel que tan(θ) = c, alors l’équation devient tan x = tan θ. L’ensemble des solutions de cette équation est x = θ + kπ , k ∈ Z. Sinon, on prend θ = Arctan(c), l’ensemble des solutions de cette équation peut alors s’écrire x = Arctan(c) + kπ , k ∈ Z. Remarque: En particulier, pour tout x, y ∈ R r {π/2 + kπ | k ∈ Z}, on a tan(x) = tan(y ) ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x = y + kπ. Exemple : Résoudre l’équation tan(x − π/3) = 1 en commençant par déterminer son ensemble de définition. () Nouvelles fonctions usuelles 35 / 48 L’équation A cos(x) + B sin(x) = C où A et B sont non nuls Pour résoudre ce type d’équation, on commence par la transformer en une équation de la forme cos(x − ϕ) = a et ainsi on est ramené au premier cas. (On peut également la transformer en une équation du type sin(x + ϕ) = a) () Nouvelles fonctions usuelles 36 / 48 Pour transformer la quantité A cos(x) + B sin(x) en une expression de la forme r cos(x − ϕ), on effectue les étapes suivantes : √ On factorise l’expression par r = A2 + B 2 6= 0 : A cos(x) + B sin(x) = r ( B A cos(x) + sin(x)) = r (α cos(x) + β sin(x)) r r avec α = A/r et β = B/r ; Puisque α2 + β 2 = 1, il existe un nombre réel ϕ tel que cos(ϕ) = α et sin(ϕ) = β, ce qui donne A cos(x) + B sin(x) = r (cos(ϕ) cos(x) + sin(ϕ) sin(x)) = r cos(x − ϕ). On notera que ϕ est un argument du nombre complexe A + iB. () Nouvelles fonctions usuelles 37 / 48 Cette transformation permet, en physique, de déterminer l’amplitude et la phase d’un signal de la forme A cos(x) + B sin(x) (électromagnétique, sonore, . . . ). √ √ Exemple: Résoudre l’équation 3 cos(x) − sin(x) = 2. () Nouvelles fonctions usuelles 38 / 48 Plan 1 Injections, surjections, bijections 2 Fonctions trigonométriques réciproques 3 Résolution d’équations trigonométriques 4 Fonctions Hyperboliques 5 Complément de formules de trigonométrie () Nouvelles fonctions usuelles 39 / 48 Fonctions Hyperboliques Définition On définit la fonction cosinus hyperbolique ch : R → R par ∀x ∈ R, ch(x) = e x + e −x 2 On définit la fonction sinus hyperbolique sh : R → R par ∀x ∈ R, sh(x) = e x − e −x 2 On définit la fonction tangente hyperbolique th : R → R par ∀x ∈ R, () th(x) = sh(x) e x − e −x = x ch(x) e + e −x Nouvelles fonctions usuelles 40 / 48 Proposition Pour tout x réel, on a ch(x) > 0 et [ch(x)]2 − [sh(x)]2 = 1 Démonstration. Remarque: Les fonction ch et sh servent à paramétrer une branche de l’hyperbole d’équation x 2 − y 2 = 1, d’où le nom de cosinus et sinus hyperboliques ( par analogie avec les cosinus et sinus trigonométriques, ou fonctions circulaires, qui servent à paramétrer le cercle de centre O et de rayon 1). () Nouvelles fonctions usuelles 41 / 48 Etude des fonctions ch et sh Théorème La fonction ch est paire, continue et dérivable sur R et ∀x ∈ R, ch0 (x) = sh(x) La fonction sh est impaire, continue et dérivable sur R et ∀x ∈ R, () sh0 (x) = ch(x) Nouvelles fonctions usuelles 42 / 48 De plus, pour tout x réél, ch(x) − sh(x) = e −x > 0, donc la courbe du cosinus hyperpolique est au-dessus de la courbe du sinus hyperbolique, et leur différence tend vers 0 en +∞. On obtient la représentation graphique suivante : () Nouvelles fonctions usuelles 43 / 48 Etude de la fonction th Théorème La fonction th est impaire La fonction th est continue et dérivable sur R et ∀x ∈ R, th0 (x) = 1 = 1 − (th(x))2 (ch(x))2 Pour tout x ∈ R, on a −1 < th(x) < 1. la fonction th est strictement croissante sur R, sa limite vaut 1 en +∞. () Nouvelles fonctions usuelles 44 / 48 La courbe représentative de la fonction tangente hyperbolique est : () Nouvelles fonctions usuelles 45 / 48 Plan 1 Injections, surjections, bijections 2 Fonctions trigonométriques réciproques 3 Résolution d’équations trigonométriques 4 Fonctions Hyperboliques 5 Complément de formules de trigonométrie () Nouvelles fonctions usuelles 46 / 48 Formules de trigonométrie hyperboliques Pour tout a, b ∈ R, on a : ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b, ch(a − b) = ch a ch b − sh a sh b sh(a + b) = sh a ch b + sh b ch a, sh(a − b) = sh a ch b − sh b ch a. () Nouvelles fonctions usuelles 47 / 48 Formule avec l’Arctan π 1 = , ∀x > 0 x 2 1 π arctan x + arctan = − , ∀x < 0 x 2 arctan x + arctan () Nouvelles fonctions usuelles 48 / 48