Géométrie au cycle 2 - ia94.ac

Enseigner la géométrie
au cycle 2
Le Kremlin-Bicêtre
Samedi 17 novembre 2012
1. A quoi bon enseigner la
géométrie ?
2. Quelques éléments d’histoire
des mathématiques
3. Maîtrise de la langue et
géométrie
4. Les filles, le cerveau et la
géométrie
5. La géométrie dans l’espace
6. La géométrie plane
A quoi bon enseigner la
géométrie ?
1- Déterminer longueurs, angles, aires,
volumes….parallélisme, orthogonalité,
alignement
2- Travailler sur des représentations (d’objets
réels…ou d’objets mathématiques)
3- Apprendre à raisonner, à démontrer
4- Fournir des outils utiles aux
mathématiques, mais pas seulement!!!!
1- Déterminer des mesures
de grandeurs
étymologie du mot « géométrie »
γη (terre) μετρον (mesure)
Que mesure-t-on?
- longueurs, distances,
- angles,
- aires, superficies,
- volumes…
Longueurs et distances 1
La détermination de la mesure peut
être directe, grâce aux instruments
Longueurs et distances 2
Et si la mesure directe n’est pas possible, ou
n’est pas assez précise?
Quelques exemples:
- La distance, à vol d’oiseau, entre Lille et
Marseille
- La hauteur d’un arbre
- La distance de Paris à New York
Ou comment calculer la hauteur
d’un arbre, façon Thalès
Distance loxodromique
Distance loxodromique ?
Distance orthodromique
Distances orthodromique et loxodromique
Déterminer un angle, mesure ou calcul ?
- Mesurer un angle avec un
rapporteur : exercice d’école,
pas facile….
voire impossible, comme
l’angle que font deux rayons
de la terre (distance
orthodromique)….on calcule!
- La règle des 3, 4 ,5 pour
déterminer si un angle est
droit…
Une pratique des bâtisseurs!!!
5
3
4
Magique?
» L
Calculer une aire, un volume
Des formules en pagaille
b×h
2
1
L×l× h
3
π× r × h
2
l× L
2(l + L )
Encore faut-il connaître la nature de
l’objet et ses « dimensions » pour les
utiliser…
2- Travailler sur des
représentations d’objets
mathématiques ou d’objets
réels
Lire un plan
Construire ou reproduire une figure,
Ecrire un programme de construction
Mais alors qu’est-ce?
Quelques représentations….
3 - Apprendre à raisonner,
à démontrer
- Dans les manuels de CM2 on commence à lire :
« justifie la solution adoptée », « explique
comment tu as fait », dans des problèmes de
construction.
- Le raisonnement déductif est l’enjeu principal de
la formation mathématique au collège.
- Progressivement la démonstration se met en
place en fin de collège, puis au lycée.
- Les élèves développent ainsi des capacités
transférables à bien d’autres domaines que
les mathématiques
4- Fournir des outils utiles
aux mathématiques ….
Représentations géométriques
• pour justifier la
distributivité
• pour représenter en
statistique descriptive : des
disques, des camemberts,
• pour justifier en
probabilité : exemple de la
loi normale
Mais pas seulement …
- en sciences physiques,
plus précisément en
optique géométrique
- en histoire des arts
Quelques éléments
d’histoire des
mathématiques
LES BABYLONIENS
- 3700 Naissance de
l’écriture
- 2500 Calculs d’aires
- 2000 Numération
sexagésimale
- 2000 à -1000
Nombreuses tablettes
d’argiles, calculs divers,
traités d’astronomie…
LES BABYLONIENS
La tablette YBC 7289
=1
= 10
30
30²+30² = 1800
√1800 ≈ 42,42640687
4 x 10 + 2 = 42
2 x 10 + 5 = 25
3 x 10 + 5 = 35
42 + 25/60 + 35/3600
≈ 42,426388888
1
24
1+24/60+51/3600+10/216000 ≈ 1.414212963
51
√2 ≈ 1.414213562
10
LES BABYLONIENS
LES EGYPTIENS
Extrait du Papyrus de Rhind
Extrait du Papyrus de Moscou
LES GRECS
L'École d'Athènes, fresque de Raphaël
Pythagore
Archimède
Platon
Aristote
LES GRECS
Trisection d’un angle :
Diviser un angle en trois parties égales, à l'aide d'une règle et d'un compas.
Problème sans solution, démontré par Pierre-Laurent Wantzel en 1837.
La duplication du cube :
Construire un cube, dont le volume est deux fois plus grand qu'un cube donné,
à l'aide d'une règle et d'un compas.
Problème sans solution, démontré par Pierre-Laurent Wantzel en 1837.
La quadrature du cercle :
Construire un carré de même aire qu'un cercle donné à l'aide d'une règle et
d'un compas.
Problème sans solution, démontré par Ferdinand von Lindemann en
1882, en démontrant la transcendance de π pour appliquer le
théorème de Wantzel.
EUCLIDE
Fragments des Eléments
d’Euclide datant sans doute du
premier siècle de notre ère.
La géométrie EUCLIDIENNE
Les cinq postulats (ou axiomes) d'Euclide :
• Demande 1 : Entre deux points on peut toujours tracer une droite.
• Demande 2 : On peut toujours prolonger indéfiniment une droite
tracée entre deux points.
• Demande 3 : Partant d'un point et d'une longueur donnés, on peut
toujours tracer un cercle.
• Demande 4 : Tous les angles droits sont égaux entre eux.
• Demande 5 : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles
intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites,
prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus
petits que deux droits.
Une géométrie non-euclidienne
2 méridiens
L’équateur
On a un triangle avec
deux angles droits et
dont la somme des
mesures des angles fait
250°.
Il y a d’ailleurs un
théorème qui dit qu’un
triangle ayant deux
angles droits est un
triangle isocèle…
Maîtrise de la langue et
géométrie
Au cycle 2, de façon
concomitante
Mise en place du langage
courant
et
De la langue utilisée en
géométrie
La langage courant
L’école maternelle est le moment de
l’appropriation, par l’enfant, du langage
oral.
Cette acquisition du langage oral se poursuit
à l’école élémentaire. Il est complété par
la mise en place du langage écrit (lecture,
écriture).
La langue mise en place est la base de la
langue utilisée en géométrie. Viennent
s’ajouter cependant des usages
particuliers à la géométrie.
Des activités avec le langage
courant
Activités de repérage,
d’orientation….
Activités sur les formes
de solides
La langue utilisée en géométrie
Les mots de la géométrie
Les phrases, en géométrie
Comment travailler la langue, en géométrie :
comprendre (entendre, lire), dire et écrire
Décrire une figure, réaliser ou produire un
programme de construction
Les mots de la géométrie
Un vocabulaire spécifique
- pour désigner des objets: un carré, un rectangle, un
triangle, une droite…
- pour exprimer des propriétés : aligné, symétrique…
Un vocabulaire emprunté au langage courant
- milieu, sommet, point…
- droit, opposé…
- qui passe par…
Des petits mots lourds de poids
- les articles définis et indéfinis, non+ adjectif, et, ou,
donc, parce que…
Une difficulté pour les élèves : la
polysémie des mots
-
utilisés aussi dans le langage courant ou dans
d’autres domaines :
point, est-ce celui qu’on utilise en ponctuation ?
milieu, de quel milieu s’agit-il?
sommet, quelle différence entre le sens courant
et la signification mathématique?
droit
En mathématiques certaines expressionsont une
signification très précise, beaucoup plus que le langage
courant : une droite passant par un point donné, par
exemple!
Le poids des déterminants
d est une droite et A est un point
n’appartenant pas à la droite d. On appelle D
la droite qui passe par A et qui coupe la droite
d en formant un angle droit. Fais une figure
représentant d, A et D.
d
A
D
La difficulté de l’usage de la négation!!!!
• Lu dans un manuel de CE1: « avec quatre
points non alignés combien peut-on tracer de
droites passant par deux points ? »
• Que signifie, en mathématiques, « quatre points
non alignés »? L’usage courant donne-t-il la
même signification?
Deux cas de figure
• 6 droites
• 3…ou 4 droites
Les mots des consignes
Un exemple :
Réaliser la même figure,
une figure identique, une figure
semblable, une figure similaire…
Qu’est-ce que cela veut dire? Toutes
ces phrases signifient-elles la même
chose ?
Une difficulté pour les professeurs :
l’absence de synonymie en mathématiques
Il n’y a pratiquement pas de synonymie en
mathématiques.
Pour expliquer, pour aider, on a souvent
recours à la reformulation....qui n’est pas
toujours très éclairante pour l’élève et
parfois difficile pour le professeur. Très
souvent cette reformulation fait appel à la
définition ou à des propriétés.
Les mots ne suffisent pas!!!
En géométrie aussi les mots s’organisent en
phrases; on ne peut pas se contenter de
mots qui viennent remplir les trous d’un
fichier!!! Les élèves doivent :
- Comprendre (ce qui est dit, ce qui est
écrit)
- Produire (à l’oral, voire à l’écrit)
des phrases………..et
cela ne va pas de soi!……cela s’apprend!
Que doivent-ils comprendre ???
L’énoncé d’un exercice lu dans un manuel de CE1 :
« Dessiner trois droites qui croisent trois autres droites
en formant des angles droits »
* Comprendre les expressions utilisées et les
informations qu’elles donnent….et ici ce n’est pas clair!!
* Savoir comment utiliser les informations du texte
pour réaliser le tracé.
Pourquoi n’est-ce pas clair?
Pour permettre à l’élève de mieux comprendre on peut
formuler autrement ; pour s’assurer que l’élève a
compris on peut lui faire reformuler.
Deux figures possibles
Comment faire?
- Introduire les mots, en même temps que les notions
qu’ils traitent ;
- Amener les élèves, par des questions, des QCM, des
fiches à trous , à utiliser correctement ces mots ;
- Faire en sorte, en explicitant, en reformulant, que les
élèves comprennent des phrases utilisant ces mots.
- Les amener progressivement à construire des phrases
pour s’exprimer à l’oral en :
•reformulant une partie d’énoncé de problème,
•expliquant ce qu’ils font (lors d’une construction),
•décrivant des figures, des solides,
•commençant à expliquer, à justifier
Lire en géométrie, au cycle 2
• En grande section :
clairement rien
• En CP, l’élève commence
à lire des consignes
courtes, intégrant des
mots de la géométrie et
souvent accompagnées
de figures (ci-contre).
• En CE1 les consignes
peuvent être plus longues
et ne pas être
accompagnées de figures.
• Colorie en respectant les
couleurs de chaque forme :
• rectangle • triangle
• autre forme
La place de l’écrit en géométrie
Les écrits institutionnels : Il y en a très peu à ce
niveau; ils permettent de définir des mots (ex : si
plusieurs points figurent sur la même droite, on dit
qu’ils sont alignés). Le « vocabulaire géométrique »
doit être consigné également. Certains éléments
peuvent faire l’objet d’une copie par les élèves.
Un élève en situation de recherche en géométrie produit
principalement des tracés et peu d’écrits.
Une exception cependant : les programmes de
construction (les lire d’abord, les dire voire les
écrire ensuite).
Décrire une figure géométrique
A
B
+O
C
D
Cela pose la question suivante : qu’est-ce
que décrire une figure?
Décrire : « il s’agit d’une conduite discursive
précise qui suppose des compétences langagières
bien particulières et qui est fortement sollicitée à
l’école. »
« Décrire suppose d’abord un travail minimal de
décentration.….pour décrire à quelqu’un
quelque chose, il faut savoir ce qu’il sait et ce
qu’il ne sait pas, ce qu’il voit et ce qu’il ne voit
pas. Il faut aussi connaître l’enjeu de cette
description : à quoi sert-elle? À faire reproduire à
l’identique? À créer une image mentale? »
Lire un programme de
construction
• On commence à en voir en CE1, dans les
« documents » élève ;
un exemple :
« Sur ton cahier place deux points A et B.
a)Trace la droite qui passe par ces deux points.
b)B) Sur cette droite place un point C, situé entre A
et B.
c) Sur la même droite place ensuite un point D,
situé entre C et B. »
Produire un programme de
construction, à l’oral voire à l’écrit
Trace un rectangle
Trace un segment à
l’intérieur de ce
rectangle.
A éviter : pourquoi ?
Les filles,
le cerveau
et la géométrie.
« Imposer aux femmes le
vaste programme [de
mathématiques] des hommes,
c’est ne tenir aucun compte
de leurs qualités naturelles
[…] Et, c’est, pour un résultat
nul ou mauvais, exiger d’elles,
qui en sont physiologiquement
incapables, un effort plus
grand que celui demandé aux
jeunes gens. »
Henri LEBESGUE (1875-1941)
Comparaisons filles/garçons
Méta-étude portant sur 3 775 188 élèves
Compréhension des concepts mathématiques et résolution de
problèmes complexes
Résultats :
-très légère supériorité des filles en calcul à l’école et au collège ;
-pas de différences en résolution de problèmes au collège ;
-supériorité des garçons en résolution de problèmes au lycée.
Gender differences in mathematics performance: a meta-analysis.
Hyde JS, Fennema E, Lamon SJ
Psychol. Bull., 1990 Mar., 107(2): 139-55
Comparaisons filles/garçons
Orientation en première S à l’issue de la 2nde GT (en juin 2011)
Comparaisons filles/garçons
Counter-stereotypic beliefs in math do not protect school girls from stereotype threat.
Huguet, Pascal et Régner, Isabelle.
Journal of Experimental Social Psychology. 2009, Vol. 45, pp. 1024–1027.
Comparaisons filles/garçons
Performance comparée des filles et des garçons
(Score maximum = 44 points)
Géométrie
Dessin
Autres résultats
Il n’y a pas de différence génétique entre hommes et
femmes, ce qui ne veut pas dire qu’il n’y a pas de
différence génétique entre deux individus.
Des expériences menées montrent qu’il y a plus de
différences aux niveaux des résultats en
mathématiques entre les jumeaux hétérozygotes
qu’entre les jumeaux homozygotes.
De nouvelles recherches
Étude en IRM (imagerie par résonnance magnétique).
Comparaison entre les élèves de deuxième et troisième
années d’école primaire.
Présentation d’additions et soustractions, l’élève doit dire
si les résultats sont vrais ou faux.
Functional dissociations between four basic arithmetic operations in the human posterior
parietal cortex: A cytoarchitectonic mapping study.
Rosenberg-Lee, M., Chang, T.T., Young, C.B., Wu, S. & Menon, V.
Neuropsychologia, 2011, 49(9), 2592-2608
De nouvelles recherches
Résultats :
Les élèves de troisième année ont
obtenu de meilleurs scores de
réussite que les élèves de
deuxième année.
L’activité des cerveaux des élèves
de troisième année était plus
importante dans les régions
spécialisées dans le maniement des
nombres et leur visualisation.
Les connexions de ces régions avec celles impliquées dans la mémoire
étaient plus développées.
Ceci montre le rôle de l’apprentissage scolaire dans la construction du
cerveau et la mise en place de réseaux de neurones qui sous-tendent
les fonctions cognitives en mathématiques.
De nouvelles recherches
Les gènes de l’instituteur…
Teacher Quality Moderates the Genetic Effects on Early Reading
J. Taylor, A. D. Roehrig, B. Soden Hensler, C. M. Connor, C. Schatschneider
Science 23 April 2010 : Vol. 328 no. 5977 pp. 512-514
Étude portant sur 300 paires de vrais jumeaux et 500 paires de faux
jumeaux.
Évaluation du niveau de lecture des élèves et de la « qualité » des
professeurs en mesurant les progrès en lecture des élèves de la classe
en un an.
Résultats :
On évalue à 50% l’impact des prédispositions génétiques et 50% l’impact
de l’environnement (éducation, famille et autres) dans les performances
des élèves.
Si on compare des vrais jumeaux : celui qui progresse le plus est dans la
classe où les élèves progressent le plus. Le potentiel génétique de l’autre
ne s’exprime donc pas pleinement.
L’enseignement de la
géométrie dans l’espace
La géométrie dans l’espace
- L’appropriation de l’espace à l’école
maternelle et premier contact avec les
formes,
- L’appropriation des solides classiques et
premières représentations, à l’école
élémentaire,
- Développer la vision de l’espace au
collège : représenter un solide,
reconnaître un solide à partir d’une
représentation et raisonner sur…le
solide!
L’école maternelle : le programme
• AGIR ET S’EXPRIMER AVEC SON CORPS
À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de :
……………………………………………..
- se repérer et se déplacer dans l’espace ;
- décrire ou représenter un parcours simple.
• DECOUVRIR LE MONDE
À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de :
…………………………………………………..
- se situer dans l’espace et situer les objets par rapport à soi ;
- se repérer dans l’espace d’une page ;
- comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et
des relations dans le temps et dans l’espace.
L’appropriation des formes se fait souvent par des jeux utilisant des
solides qui sont des prismes (ayant une face triangulaire, carrée,
rectangulaire, etc….) et des cylindres
L’école primaire: le programme
CP – CE1:
En géométrie, « Les élèves enrichissent leurs
connaissances en matière d’orientation et de
repérage. Ils apprennent à reconnaître et à
décrire des figures planes et des solides. »
En découverte du monde, « Les élèves découvrent
et commencent à élaborer des
représentations simples de l’espace familier
: la classe, l’école, le quartier, le village, la ville.
……….. Ils découvrent des formes usuelles de
représentation de l’espace (photographies,
cartes, mappemondes, planisphères, globe). »
L’école primaire: le programme
CE2 – CM1 – CM2
Les solides usuels :
cube, pavé droit, cylindre, prismes droits,
pyramide.
- reconnaissance de ces solides et étude
de quelques patrons ;
- vocabulaire spécifique relatif à ces
solides : sommet, arête, face.
Ce que disent les progressions
CP
Situer un objet et utiliser
le vocabulaire
permettant de définir des
positions (devant,
derrière, à gauche de, à
droite de...).
CE1
Reconnaître, décrire,
nommer quelques
solides droits : cube,
pavé...
CE2
Dans l’espace
- Reconnaître, décrire
et nommer : un cube, un
pavé droit.
- Utiliser en situation le
vocabulaire :
face, arête, sommet.
CM1
Dans l’espace
- Reconnaître, décrire
et nommer les solides
droits : cube, pavé,
prisme.
- Reconnaître ou
compléter un patron de
cube ou de pavé.
CM2
Dans l’espace
- Reconnaître, décrire
et nommer les solides
droits : cube, pavé,
cylindre, prisme.
- Reconnaître ou
compléter un patron de
solide droit.
Découvrir l’espace, avec des
objets réels
• Dès la maternelle, l’élève explore son
environnement immédiat : la classe,
l’école, la cour de récréation sont objets
de déplacement, de repérage…etc…on
travaille alors beaucoup avec les mots ;
• Pour découvrir les formes le travail sur des
objets solides est privilégié, au moins
jusqu’au CP.
Pour découvrir les solides
mathématiques
Tri, selon la forme
Jouer avec des solides
Pour découvrir les formes
géométriques
Les jouets d’éveil permettent
de découvrir les formes
(carré, rond, rectangle,
triangle), avec des petits
solides.
Les tangrams permettent de
travailler avec des formes
qu’on décompose, qu’on
recompose, qu’on oriente
différemment…etc…
Les puzzles permettent
d’observer les formes, les
angles droits (les coins), les
côtés droits (les bords)….
A partir de ce moment…
• On a de nouveaux
objets géométriques,
les cubes, les
pavés…..qu’on peut
construire, qu’on peut
décrire, en utilisant
des mots tels que
face, arête,
sommet….
Travailler sur des représentations
Des images d’objets
Des plans : le plan de
l’école, qu’on peut dessiner,
compléter……sur lequel on
peut lire des informations
Travailler sur des représentations
en perspective
En CE1 les représentations
en perspective cavalière
apparaissent dans les
cahiers de géométrie…
Pratique critiquable!!
- Il y a souvent confusion
entre l’objet et sa
représentation:
Ex: retrouve tous les
cubes et tous les
pavés…comment savoir ?
Toujours sur la perspective cavalière…
Quels dessins en
perspective sont
ceux d’un cube?
Que voit-on alors?
Un cube vu de face,
au niveau des yeux,
en dessous, au
dessus…
La géométrie plane
Le matériel ?
Cahier de mathématiques
Cahier du jour
Ardoise
Cahier de brouillon
Feuille volante
Cahier pour les problèmes
Fichier
Manuel
Règle
Équerre
Compas
Gabarits
LES PROGRAMMES – objectifs généraux
École maternelle :
Découvrir les formes et les grandeurs : En manipulant des objets variés, les
enfants repèrent d’abord des propriétés simples (petit/grand ; lourd/léger).
Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à
classer selon la forme, la taille, la masse, la contenance.
Se repérer dans l’espace
[…] Les activités dans lesquelles il faut passer du plan horizontal au plan vertical ou
inversement, et conserver les positions relatives des objets ou des éléments
représentés, font l’objet d’une attention particulière. Elles préparent à l’orientation
dans l’espace graphique. Le repérage dans l’espace d’une page ou d’une feuille de
papier, sur une ligne orientée se fait en lien avec la lecture et l’écriture.
À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de :
- dessiner un rond, un carré, un triangle ;
- se situer dans l’espace et situer les objets par rapport à soi ;
- se repérer dans l’espace d’une page ;
[…]
LES PROGRAMMES – objectifs généraux
Cycle 2 : Les élèves […] apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes
[…]. Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des
figures planes. Ils utilisent un vocabulaire spécifique.
Cycle 3 : Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, l’élève
enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue d’apprendre
à résoudre des problèmes […]. La maîtrise des principaux éléments
mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite d’études
au collège.
L’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de
permettre aux élèves de passer progressivement d’une reconnaissance perceptive
des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de
mesure.
1. Les objets, les relations et les propriétés géométriques
2. L’utilisation d’instruments et de techniques
3. Les figures planes
Les programmes
Les relations et propriétés géométriques : alignement, perpendicularité,
parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment.
CP : S’initier au vocabulaire géométrique.
CE1 : Percevoir et reconnaître quelques relations et propriétés géométriques :
alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs.
Repérer des cases, des nœuds d’un quadrillage.
Connaître et utiliser un vocabulaire géométrique élémentaire approprié.
CE2 : Reconnaître qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par
pliage ou à l’aide du papier calque.
Utiliser en situation le vocabulaire : angle, milieu.
CM1 : Reconnaître que des droites sont parallèles.
Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : points alignés, droite, droites
perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie,
centre d’un cercle, rayon, diamètre.
Points et droites
Points, droites, segments et demi-droites.
-Éviter tout formalisme pour chercher à les définir.
-Les points sont représentés par des petites croix plutôt que par des gros points. Le
point A est donc l’intersection des deux petits traits et non pas la lettre (certains
jeux consistant à relier des points dans l’ordre alphabétique ou numérique peuvent
contribuer à aider à comprendre cela).
-Au cycle 3, utiliser les notations appropriées, en les décodant systématiquement
au début puis en rendant progressivement les élèves autonomes : le segment [RS],
la droite (FG), la demi-droite [HJ). On peut aussi parler de la droite d (sans
parenthèse).
-Au cycle 2, il semble raisonnable de limiter l’utilisation de ces notation.
On peut nommer les droites si nécessaire : parler de la droite d qui passe
par A et B plutôt que de droite (AB).
On ne parle pas de demi-droite.
On a alors uniquement la notation des segments [AB], mais les crochets
sont sans importance à ce niveau.
Points et droites
Points, droites, segments et demi-droites.
-Lorsque l’on travaillera sur des droites et segments on ne se limitera pas à des
constructions sur papier quadrillé et on évitera les tracés systématiquement
horizontaux ou « verticaux ».
B
A
Le segment [AB]
Points et droites
Points, droites, segments et demi-droites – les difficultés à surmonter
-Comprendre qu’une droite n’est pas le trait sur le tableau, mais un objet
mathématique « idéal » sans épaisseur, infini qui est un ensemble de points.
Placer quatre points (F, G, H et I) alignés avec A et B ?
A
B
Dix points ? Peut-on en trouver plus ? Combien ?
Ces deux droites sont elles sécantes ?
L’alignement
L’alignement
-C’est un travail amorcé au cycle 2 et qui sera poursuivi au cycle 3.
-Trois points ou plus sont alignés si ils appartiennent à la même droite et
réciproquement... On utilise donc la règle…
-La difficulté peut être encore dans la compréhension de ce qu’est une droite.
C
A
B
C appartient-il à la droite qui passe par A et B ?
-L’appartenance et l’inclusion, deux notions à ne pas confondre :
- Un élément appartient à un ensemble (C ∈ [AB] ou C∉ [AB]) ;
- Un sous ensemble est inclus dans un ensemble ([AB] ⊂ (AB)).
Il n’est pas souhaitable de parler d’inclusion en géométrie à l’école primaire et il semble raisonnable
de se limiter à la notion d’appartenance.
Les angles
Les angles
-Deux demi-droite de même origine, définissent deux angles.
Les angles
Les angles
-Rappel du vocabulaire associé :
Angle
nul
Angle
saillant
Angle
plat
Angle
rentrant
Angle
plein
0°
0° à 180°
180°
180°à 360°
360°
-Les angles saillants :
Angle aigu
Angle droit
Angle obtus
0° à 90°
90°
90° à 180°
Il n’y a pas d’exigences explicites relativement à ce vocabulaire, mais les élèves peuvent le
rencontrer (voir évaluation nationale de fin de CM2 en 2012).
Les angles
Les angles
-Au cycle 3, les élèves doivent travailler avec des angles comme « grandeur », une
unité et donc une mesure ne seront introduites qu’en sixième (le degré), les élèves
apprendront alors à utiliser le rapporteur, cette unité sera abandonnée au lycée
pour le radian. Comparaison d’angles : plus grand, plus petit, plus grand qu’un
angle droit, etc. Utilisation de gabarit pour comparer des angles ou en construire :
angle trois fois plus grand qu’un autre, etc.
-Comprendre qu’un angle ne dépend pas de la longueur des côtés tracés.
L’angle droit
L’angle droit et la perpendicularité
-Deux difficultés souvent rencontrées au collège :
-
Difficultés dans le maniement de l’équerre (utilisation du mauvais angle) ;
Confusion entre perpendiculaire et vertical.
Médiatrice de [AB] ????
(en 6ème)
A
B
-Apprendre à rejeter qu’un angle est droit à l’œil nu s’il ne
ne mesure pas entre 80° et 100° et à utiliser l’équerre pour
le vérifier et l’affirmer ou non dans le cas contraire (cela
ne se voit pas !).
-Éviter l’utilisation systématique de vertical-horizontal dans
les exercices proposés mais aussi dans les affichages lors
du travail sur les angles droits.
L’angle droit
Le travail de rejet est aussi important que celui de sélection, pour ce genre
d’exercice il serait intéressant d’ajouter « et marque un point bleu au sommet de
chaque angle qui n’est pas un angle droit ».
« ça se voit ! »
C’est assurément un challenge important entre le cycle 2 et le cycle 3.
On affirmait qu’il s’agissait d’un carré, que des angles étaient droits, que des points
étaient alignés car cela se voyaient.
Au cycle 3, on peut toujours affirmer que des angles ne sont pas droits ou que des
points ne sont pas alignés, cela peut « se voir » :
A
B
C
« ça se voit ! »
Par contre, on ne peut plus affirmer le contraire en prétextant que cela se voit, il
faut le vérifier avec les outils ad hoc.
Pour que cela prenne tout son sens et pour que les élèves en prennent conscience,
il faut présenter des situations ou la perception peut prêter à confusion…
Les points A, B et C sont-ils alignés ?
Le quadrilatère RSTU est-il un
rectangle ?
A
R
B
S
C
U
T
Reproduction et symétrie axiale
Reproduis le bateau dans le
deuxième cadre
Que penser de cet exemple ?
Dessiner le symétrique du bateau.
Reproduction et symétrie axiale
-
Utiliser des figures non symétriques.
Pour les reproductions on peut faire varier l’échelle.
On peut faire reproduire le même dessin sur les différentes faces d’un
cube avec un quadrillage
1. Les objets, les relations et les propriétés géométriques
2. L’utilisation d’instruments et de techniques
3. Les figures planes
LES PROGRAMMES
L’utilisation d’instruments et de techniques : règle, équerre, compas, calque,
papier quadrillé, papier pointé, pliage.
GS : Dessiner un rond
CP : Reproduire des figures géométriques simples à l’aide d’instruments ou de
techniques : règle, quadrillage, papier calque.
CE1 : Utiliser des instruments pour réaliser des tracés : règle, équerre ou gabarit
de l’angle droit.
CE2 : Construire un cercle avec un compas. Tracer, sur papier quadrillé, la
figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite donnée. Reproduire
des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d’un modèle. Construire
un carré ou un rectangle de dimensions données.
CM1 : Compléter une figure par symétrie axiale. Tracer une figure simple à partir
d’un programme de construction ou en suivant des consignes.
CM2 : Utiliser les instruments pour vérifier le parallélisme de deux droites (règle et
équerre) et pour tracer des droites parallèles. Construire une hauteur d’un triangle.
Reproduire un triangle à l’aide d’instruments. Tracer une figure (sur papier uni,
quadrillé ou pointé), à partir d’un programme de construction ou d’un dessin à main
levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions).
Le cercle et le disque
Dessiner l’ellipse de foyers A et B et de grand axe 8 cm.
A
B
Le cercle et le disque
Dessiner le cercle de centre A et de rayon 4 cm.
A
Le cercle et le disque
Dessiner le cercle de centre A et de rayon 4 cm.
A
Le cercle et le disque
Dessiner l’ellipse de foyers A et B et de grand axe 8 cm.
A
B
Le cercle et le disque
Le cercle et le disque
Placer quatre points C, D, E et F à 4 cm du point A.
C
A
F
E
D
En placer dix. Peut-on en trouver plus ? Combien ?
Le cercle et le disque
Le vocabulaire du cercle
-Le cycle 3 doit permettre le passage du rond (forme) au cercle objet théorique,
ensemble des points équidistants d’un point appelé centre (cercle de centre A et de
rayon R).
-Même si un travail particulier peut être mené à un moment donné, l’acquisition du
vocabulaire ne peut se faire que par une rencontre régulière des mots spécifique
en contexte, et surtout par une utilisation fréquente, à l’écrit et à l’oral, par les
élèves.
-Quelques obstacles :
-
Différence entre cercle et disque (périmètre du … = longueur du …) ;
Différence entre LE rayon et UN rayon ([OA] est … rayon du cercle, OA est … rayon du cercle, LE
rayon [OA] et UN rayon [OA]), être rigoureux sans « noyer » les élèves…
Utilisation correcte de centre, milieu ou moitié (centre d’une figure (cercle, disque, rectangle,
losange, etc.), milieu d’un segment, moitié d’un nombre ou d’une longueur) ;
1. Les objets, les relations et les propriétés géométriques
2. L’utilisation d’instruments et de techniques
3. Les figures planes
LES PROGRAMMES
Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le
triangle et ses cas particuliers, le cercle. Description, reproduction, construction ;
vocabulaire spécifique relatif à ces figures : côté, sommet, angle, diagonale, axe de
symétrie, centre, rayon, diamètre.
GS : Dessiner un rond, un carré, un triangle
CP : Reconnaître et nommer un carré, un rectangle, un triangle.
S’initier au vocabulaire géométrique.
CE1 : Décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un triangle rectangle.
Connaître et utiliser un vocabulaire géométrique élémentaire approprié.
CE2 : Reconnaître, décrire, nommer et reproduire, tracer des figures géométriques:
carré, rectangle, losange, triangle rectangle.
Vérifier la nature d’une figure plane en utilisant la règle graduée et l’équerre.
Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle.
CM1 : Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée,
l’équerre, le compas.
CM2 : Vérifier la nature d’une figure en ayant recours aux instruments.
Un exemple : le rectangle
Qu’est-ce qu’un rectangle ?
Au cycle 2 ?
Au cycle 3 ?
La figure n’est plus globale, c’est un ensemble de points et on a des côtés, des
sommets et des angles.
Un exemple : le rectangle
Qu’est-ce qu’un rectangle ?
Au cycle 3 ?
Un exemple : le rectangle
Qu’est-ce qu’un rectangle ?
Utiliser les verbes « être » et « avoir ».
« Être », une seule fois pour définir :
Par exemple, au cycle 3 : « Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles
droits »
(cela pourra être remplacé par 3 en sixième)
Le quadrilatère RSTU est-il un
rectangle ?
R
S
U
T
Un exemple : le rectangle
Qu’est-ce qu’un rectangle ?
Par ailleurs on utilise le verbe avoir pour les « propriétés » :
« Un rectangle a ses côtés opposés de même longueur. »
« Un rectangle a ses côtés opposés parallèles. »
« Un rectangle a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur
milieu. »
Il semble raisonnable au cycle 2 de se limiter à l’utilisation du verbe avoir, une
définition et une utilisation de propriétés n’interviendront qu’au cycle 3, pour pouvoir
dire qu’un polygone n’est pas une figure usuelle donnée.
Un exemple : le rectangle
Construire un rectangle de longueur 8 cm et largeur 3 cm.
Un exemple : le rectangle
Un carré est-il un rectangle ?
Au cycle 2 ?
Un exemple : le rectangle
Un carré est-il un rectangle ?
Au cycle 3 ?
« Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits »…
Les polygones
Un polygone est une figure plane délimitée par une ligne brisée fermée.
Littéralement polygones signifie « plusieurs angles ».
Triangles
Triangles rectangles
Triangles isocèles
Triangles isocèles rectangles
Triangles équilatéraux
Quadrilatères
Trapèzes
Trapèzes rectangles
Trapèzes isocèles
Parallélogrammes
Losanges
Rectangles
Carrés
Les polygones
Pentagones
Hexagones
Heptagones
Octogones
Ennéagones
Décagones
Hendécagones
Dodécagones
Points et droites
Points, droites, segments et demi-droites – les difficultés à surmonter
-Passer du monde réel à la modélisation mathématique.
-L’objet réel / l’objet mathématique / l’objet graphique