PGCD et PPCM

PGCD et PPCM
Table des matières
1 PGCD
2
1.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Propriétés ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3.1
Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3.2
Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
2 Nombres premiers entre eux
4
2.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Théorème de Gauss ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.4
Corollaire du théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.5
Théorème de Bezout ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.6
Corollaire du théorème de Bezout
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 PPCM
5
3.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
Théorème : produit du pgcd et ppcm ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4 Applications
6
4.1
Méthode des soustractions successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.2
Calcul du pgcd par l’algorithme de l’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.3
Application du théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.4
Application du théorème de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.5
Équation diophantienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1
pgcd et ppcm
1
Lycée Marie Curie de Tarbes
PGCD
1.1
Définitions
Soient a et b deux entiers naturels.
• On note D(a) l’ensemble des diviseurs de a ; et D(b) celui de b.
• On note D(a; b) l’ensemble des diviseurs communs à a et à b .
• D(a; b) est un ensemble non vide et fini.
Étant fini, il est borné par son plus petit élément qui est 1, et par le plus grand de a et b.
Ce plus grand élément est nommé PGCD de a et de b . Il est aussi noté pgcd (a; b) ou a ∧ b.
Exemple 1
D(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28} ,
1.2
D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} ,
pgcd (28; 24) = 4
Propriétés ROC
1. Si b divise a alors pgcd(a; b) = b.
2. Soit r est le reste de la division de a par b. On a D(a; b) = D(b; r), et donc pgcd (a; b) = pgcd (b; r).
3. D(a; 0) = D(a).
Démonstration 1
1. Si b divise a alors b est un diviseur commun à a et b. De plus b est le plus grand diviseur de b. C’est donc le
pgcd de a et b.
2. • On écrit a = bq + r et donc r = a − bq.
Ainsi tout diviseur de a et de b est un diviseur de r et donc de b et de r . Soit D(a; b) ⊂ D(b; r).
• Réciproquement : si a = bq + r , tout diviseur de b et de r , est un diviseur de a et donc de a et de b .
Soit D(b; r) ⊂ D(a; b).
• La double inclusion D(a; b) ⊂ D(r) et D(b; r) ⊂ D(a; b) nous permet de dire que D(a; b) = D(b; r)
3. Tout nombre non nul divise 0. Et donc les diviseurs commun à 0 et a seront les diviseurs de a.
1.3
1.3.1
Algorithme d’Euclide
Méthode
Soit a et b deux entiers naturels tels que a > b et r0 le reste de la division de a par b.
– a = b q0 + r0
Si r0 = 0 alors b divise a et donc pgcd (a; b) = b
Si r0 6= 0 alors on calcule r1 le reste de la division de b par r0 .
– b = r0 q1 + r1
Si r1 = 0 alors r0 divise b et donc pgcd (a; b) = pgcd (b; r0 ) = r0
Si r1 6= 0 alors on calcule r2 le reste de la division de r0 par r1 .
Arithmétique 5
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pgcd et ppcm
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– r0 = r1 q2 + r2
Si r2 = 0 alors r1 divise r2 et donc pgcd (a; b) = pgcd (b; r0 ) = pgcd (r0 ; r1 ) = r1
Si r2 6= 0 alors on calcule r3 le reste de la division de r2 par r1
..etc, jusqu’au dernier reste non nul et donc le reste précédent rn est le pgcd (a; b).
1.3.2
Algorithme
DEBUT
Lire A, B,
(A > B)
R ←− Reste(A/B)
Tant que
R 6= 0 faire
A ←− B : B ←− R
FTQ
Ecrire ”Le PGCD de ” A ”et” B ”est” R
FIN
Exemple 2
pgcd(936; 164)
1.4
936 = 164 × 5 + 116
pgcd(936; 164) = pgcd(164; 116)
164 = 116 × 1 + 48;
pgcd(164; 116) = pgce(116; 48)
116 = 48 × 2 + 20;
pgcd(116; 48) = pgcd(48; 20)
48 = 20 × 2 + 8;
pgcd(48; 20) = pgcd(20; 8)
20 = 8 × 2 + 4;
pgcd(20; 8) = pgcd(8; 4)
8 = 4 × 2 + 0;
pgcd(8; 4) = 4
Donc pgcd(936; 164) = 4
Théorème
Soit g le pgcd de deux entiers naturels a et b.
1. L’ensemble des diviseurs commun à a et b est égal à l’ensemble des diviseurs de leur pgcd g.
Autrement dit : D(a; b) = D(g).
2. Si l’on multiplie a et b par un entier naturel k, leur pgcd est multiplié par k.
Autrement dit pgcd (ka; kb) = k × pgcd (a; b).
3. Si d est un diviseur commun à a et b alors pgcd
a b
;
d d
=
g
.
d
Démonstration 2
1. Dans les restes successifs de l’algorithme d’Euclide on a vu que
D(a; b) = D(b; r0 ) = ...... = D(rn ; 0) = D(rn ), et rn = g.
2. Si a = bq0 + r0 , alors ka = kbq + kr0 et ceci tout le long de l’algorithme d’Euclide ( kb = kr0 q1 + kr1 ,
kr0 = kr1 q2 + kr2 .....) . D’où le dernier reste non nul qui est le pgcd sera aussi multiplié par k.
3. Si d est un diviseur commun a et b ,c’est aussi un diviseur de leur pgcd
′
′
g.
′ ′
On pose a = a d et b = b d . On a alors pgcd (a; b)= pgcd
(a d; b d) = d × pgcd (a ; b )
g
a b
pgcd(a; b)
= .
, ou encore pgcd
;
Et donc pgcd (a′ ; b′ ) =
d
d d
d
Arithmétique 5
′
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′
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pgcd et ppcm
2
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Nombres premiers entre eux
2.1
Définitions
1. Deux entiers naturels non nuls sont dits premiers entre eux lorsque leur pgcd est 1.
Autrement dit 1 est le seul diviseur commun deux nombres premiers entre eux.
a
2. Une fraction est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
b
2.2
Théorème
b
a
et sont premiers entre eux.
g
g
Autement dit g = pgcd(a; b) équivaut à dire qu’il existe deux entiers a′ et b′ premiers entre eux tels que a = a′ g et
g = pgcd(a; b) équivaut à
b = b′ g.
Démonstration 3
a
b
– Montrons que si g = pgcd (a; b) alors
et
sont premiers entre eux.
g
g
a b
pgcd (a; b)
g
a
b
Nous avons pgcd
=
;
= = 1 . Donc
et
sont premiers entre eux.
g g
g
g
g
g
a
b
– Montrons que si
et
sont premiers entre eux alors g = pgcd(a; b).
g
g
pgcd(a; b)
a b
= 1 d’où
;
= 1 et donc pgcd(a; b) = g.
Nous avons pgcd
g g
g
2.3
Théorème de Gauss ROC
Si un entier naturel divise un produit de deux facteurs et s’il est premier avec l’un d’eux, alors il divise l’autre.
Autrement dit si a divise bc et si a est premier avec b alors il divise c.
Démonstration 4
Si a et b sont premiers entre eux alors pgcd (a; b) = 1 et pgcd(ac; bc) = c.
De plus si a divise bc ,
a divisant aussi ac, c’est un diviseur commun ac et bc, c’est donc un diviseur de leur
pgcd donc de c . (On rappelle que l’ensemble des diviseurs communs deux entiers naturels coı̈ncide avec l’ensemble
des diviseurs de leur pgcd).
2.4
Corollaire du théorème de Gauss
Si a et b premiers entre eux divise c alors ab divise c.
Démonstration 5
Si a divise c alors nous pouvons écrire que c = ac′ .
Et si b divise aussi c ou ac′ tout en étant premier avec a alors d’après le théorème de Gauss il divise c′ .
On a donc c′ = bc′′ .
Finalement on obtient c = ac′ = abc′′ et donc ab divise c.
Arithmétique 5
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pgcd et ppcm
2.5
Lycée Marie Curie de Tarbes
Théorème de Bezout ROC
Les entiers naturels a et b sont premiers entre eux, si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels
que
au + bv = 1
.
Démonstration 6
– Montrons que s’il existent deux entiers relatifs u et v tels que a u + b v = 1 alors a et b sont
premiers entre eux.
Le pgcd de a et b divise a u + b v donc divise 1. Ce pgcd est donc 1 ou encore a et b sont premiers
entre eux.
– Montrons, que si a et b sont premiers entre eux alors il existe deux entiers relatifs u et v
tels que a u + b v = 1.
On note E l’ensemble des entiers a u + b v où u et v sont des éléments de Z . Cet ensemble contient des
éléments strictement positifs puisque a = a × 1 + b × 0 est un élément de E.
Notons m = a u1 + b v1 le plus petit d’entre eux et divisons a par m.
On écrit a = mq + r avec 0 ≤ r < m ou a = (a u1 + b v1 )q + r avec 0 ≤ r < a u1 + b v1 .
Mais si a = (a u1 + b v1 )q + r alors a = a u1 q + bv1 q + r ou a − a u1 q − bv1 q = r .
On obtient a(1 − u1 q) + b(−v1 q) = r . Donc r est un élément de E.
Mais si r , élément de E vérifiant 0 ≤ r < a u1 + b v1 , est non nul alors il est plus petit que a u1 + b v1 ce
qui est contradictoire.
Donc r = 0 . Autrement dit m divise a .
De la même manière on montrerait que m divise b.
Ainsi m est un diviseur commun a et b qui sont premiers entre eux. D’où m = 1.
2.6
Corollaire du théorème de Bezout
g est le pgcd (a; b) signifie qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u; v) tel que a u + b v = g.
Démonstration 7
b
a
et
sont premiers entre eux. Et donc d’après le théoèrme de Bezout il existe un couple d’entiers
On sait que
g
g
a
b
relatifs (u; v) tel que
u + v = 1.
g
g
Autrement dit il existe un couple d’entiers relatifs (u; v) tel que a u + b v = g.
3
PPCM
3.1
Définitions
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
• On note M (a) l’ensemble des multiples de a strictement positifs et M (b) ceux de b.
Les éléments communs ces deux ensembles constitue un ensemble noté M (a; b) , ensemble des multiples communs
Arithmétique 5
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pgcd et ppcm
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a et b.
Cet ensemble est non vide car il contient ab et tous ses multiples.
• Le plus petit élément de M (a; b) est le plus petit commun multiple de a et de b . Il est not ppcm (a; b) ou a ∨ b.
3.2
Théorème : produit du pgcd et ppcm ROC
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
On a pgcd (a; b) × ppcm(a; b) = a × b.
Si l’on note g = pgcd (a; b) et m = ppcm (a; b) . On a alors a × b = m × g .
Démonstration 8
– On sait qu’il existe deux entiers, a′ et b′ , premiers entre eux tels que a = a′ g et b = b′ g
– m est un multiple commun à a et b. On sait alors qu’il existe deux entiers p et q tels que m = pa et
m = qb.
On a alors pa = qb ou bien pa′ g = qb′ g . Autrement dit pa′ = qb′ .
– Si pa′ = qb′ alors a′ divise qb′ tout en étant premier avec b′ .
Et donc d’après le théorème de Gauss a′ divise q . D’où il existe un entier k tel que q = ka′ .
Ainsi l’égalité pa′ = qb′ donne pa′ = ka′ b′ . D’où p = kb′ .
– Nous avons donc m = pa′ g = qb′ g soit m = kb′ a′ g = ka′ b′ g.
Nous avons montré que si m est un multiple commun a et b il est multiple de a′ b′ g.
– Montrons aussi que tout multiple de a′ b′ g est un multiple commun a et b.
Un multiple de a′ b′ g est un multiple de (a′ g)b′ = ab′ ab′ donc multiple de a.
De même un multiple de a′ b′ g est un multiple de a′ (b′ g) = a′ b donc multiple de b.
D’où tout multiple de a′ b′ g est un multiple commun a et b .
– Nous avons montré que l’ensemble des multiples communs a et b est égal à l’ensemble des multiples de a′ b′ g .
Le plus petit élément du premier ensemble est m et celui du second est a′ b′ g.
On a donc m = a′ b′ g . D’où m × g = (a′ × g) × (b′ × g) . Ou bien m × g = a × b.
4
Applications
4.1
Méthode des soustractions successives
1. Soit a et b deux entiers naturels tels que a ≥ b.
Montrons que l’ensemble des diviseurs communs a et b est égal à l’ensemble des diviseurs communs
à a et a − b.
2. Appliquez successivement ce résultat pour déterminer les diviseurs communs à 168 et 264.
1. On doit montrer une double inclusion : D(a; b) ⊂ D(a − b; b) et D(a − b; b) ⊂ D(a; b).
Pour montrer la première inclusion on montre qu’un élément quelconque de D(a; b) est aussi élément de D(a−b; b).
– Soit d un diviseur commun a et b. Alors d divise a − b et donc a et a − b.
D’où D(a; b) ⊂ D(a − b; b)
Arithmétique 5
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pgcd et ppcm
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– Soit d un diviseur commun a et a − b. Alors d divise la somme , soit b et donc d divise a et b.
D’où D(a − b; b) ⊂ D(a; b)
– Conclusion D(a − b; b) = D(a; b)
2. Nous déduisons du résultat précédent que
D(264; 168) = D(168; 96) = D(96; 72) = D(72; 24) = D(48; 24) = D(24; 24) = D(24).
Donc D(264; 168) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.
4.2
Calcul du pgcd par l’algorithme de l’Euclide
Dterminer le pgcd de 138807 et 52089.
138807 = 52089 × 2 + 34629, pgcd(13807; 52089) = pgcd(52089; 34629)
52089 = 34629 × 1 + 17460,
pgcd(52089; 34629) = pgcd(34629; 17460)
34629 = 17460 × 1 + 17169,
pgcd(34629; 17460) = pgcd(17460; 17169)
17460 = 17169 × 1 + 291,
pgcd(17460; 17169) = pgcd(17169; 291)
17169 = 291 × 59 + 0,
pgcd(17169; 291) = 291
Conclusion pgcd(13807; 52089) = 291 dernier reste non nul.
4.3
Application du théorème de Gauss
Déterminer les couples d’entiers (x; y) solutions de l’équation :
55 = 16 × 4 + 7;
16 = 7 × 2 + 4;
55x = 16y.
7=2×3+1
pgcd(55; 16) = pgcd(16; 7) = pgcd(7; 2) = pgcd(2; 1) = 1. Donc 55 et 16 sont premiers entre eux.
D’autre part, si 55x = 16y alors 16 divise 55x et étant premier avec 55 il divise x, d’après le théorème de Gauss.
Donc x = 16k.
Si on remplace dans 55x = 16y on obtient 55 × 16k = 16y. Autrement dit y = 55k.
Les couples solutions sont donc (16k; 55k) où k ∈ Z.
4.4
Application du théorème de Bezout
Dmontrez que pour tout entier naturel n, les nombres a = 2n + 1 et b = 3n + 2 sont premiers entre
eux.
On cherche deux entiers u et v tels que a u + b v = 1.
On a : −3(2n + 1) + 2(3n + 2) = −6n − 3 + 6n + 4 = 1. Donc a et b sont premiers entre eux.
4.5
Équation diophantienne
Résoudre dans Z × Z l’équation 62 x + 43 y = 3
1. On trouve une solution particulière de l’équation 62 x + 43 y = 1 en utilisant l’algorithme d’Euclide. (Il est vident
que 62 et 43 doivent être premiers entre eux)
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pgcd et ppcm
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(1) 62 = 43 × 1 + 19
(2) 43 = 19 × 2 + 5
(3) 19 = 5 × 3 + 4
(4) 5 = 4 × 1 + 1
En remontant on obtient :
(4) ⇔ 5 − 4 = 1
(3) ⇔ 4 = 19 − 5 × 3 ;
5 − 4 = 1 ⇔ 5 − (19 − 5 × 3) × 1 = 1 ⇔ −19 + 5 × 4 = 1
(2) ⇔ 5 = 43 − 19 × 2 ;
−19 + 5 × 4 = 1 ⇔ −19 + (43 − 19 × 2) × 4 = 1 ⇔ −9 × 19 + 43 × 4 = 1
(1) ⇔ 19 = 62 − 43 ;
−9 × 19 + 43 × 4 = 1 ⇔ −9(62 − 43) + 43 × 4 = 1 ⇔ −9 × 62 + 13 × 43 = 1
Une solution particulière de l’équation 62 x + 43 y = 1 est (−9; 13)
2. Une solution particulière de l’équation 62 x + 43 y = 3 est (−27; 39)
3. Recherche
 des solutions de 62 x + 43 y = 3
 62 x + 43 y = 3
On a
 62 × (−27) + 43 × 39 = 3
Par soustraction on obtient 62(x + 27) + 43(y − 39) = 0 ou encore 62(x + 27) = 43(39 − y)
Ainsi 43 divise 62(x + 27) tout en tant premier avec 62. D’où d’après le théorème de Gauss il divise x + 27
Et donc x + 27 = 43k,
k ∈ Z, ou x = −27 + 43k.
Si on remplace dans 62(x + 27) = 43(39 − y),
x + 27 par 43k on obtient 62 × 43k = 43(39 − y).
Autrement dit 62k = 39 − y ou y = 39 − 62k.
4. L’ensemble des solutions de l’équation 62 x + 43 y = 1 est S = {(−27 + 43k ; 39 − 62k); k ∈ Z}.
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