Puissance 1/4 Puissance d’une action mécanique 1. Puissance développée, à un instant t, par des actions mécaniques appliquées sur un ensemble matéri el (E ) dans son mouvement par rappor t à un repèr e R Soit (E) un ensemble matériel et r VP / R le vecteur vitesse du point P de (E) dans son mouvement par rapport à un repère R . Soit {F → E} le torseur représentant certaines actions mécaniques appliquées à l'ensemble matériel (E). r r R F→E = ∫∫∫ dF(P) P∈E {F → E} = r uuur r M A, F→E = ∫∫∫ AP ∧ dF(P) P∈E A Alors la puissance développée par les actions mécaniques R {F → E} sur l'ensemble matériel (E) dans son mouvement par rapport à vaut, par définition : P (F→E / R ) = r r ∫∫∫ VP / R .dF(P) P∈E 2. Cas du solide indéformable 2.1. Puissance développée, à un instant t, par des actions mécaniques appliquées sur un solide (S) dans son mouvement par rapport à un repère R Si (S) est un solide indéformable il est possible d’écrire son torseur cinématique : r Ω S / R {V S / R } = r V A∈S / R r Ω S /R uuur r r = r A VP∈S / R = V A∈S / R + Ω S / R ∧ AP P Alors la puissance des actions mécaniques {F → S} sur le solide (S) en mouvement par rapport à R s'exprime par P (F→S / R ) = r r r r r ∫∫∫ VP∈S / R .dF(P) = ∫∫∫ V A∈S / R .dF(P) + ∫∫∫ (Ω S / R P∈S P∈S uuur r ∧ AP).dF(P) P∈S r r r r r r Or (u ∧ v).w = u.(v ∧ w) (propriété du produit mixte) Donc uuur r r r r P (F→S / R ) = V A∈S / R . ∫∫∫ dF(P) + Ω S / R . ∫∫∫ AP ∧ dF(P) P∈S P∈S r r r r P (F→S / R ) = V A∈S / R .R F→S + Ω S / R .M A,F→S Nous reconnaissons le produit du torseur cinématique et du torseur des actions mécaniques P (F→S / R ) = {F → S} ⊗ {V S / R } Le résultat du produit de deux torseurs est indépendant du point auquel est effectué, donc quel que soit le point A considéré : r r r r P (F→S / R ) = R F→S .V A∈S / R + M A,F→S .Ω S / R Sciences industrielles pour l’ingénieur Puissance 2/4 Cas particuliers Si (S) est fixe dans R , alors ⇒ P (F →S / R ) =0 r r r R F→S r alors ⇒ P (F→S / R ) = R F→S .V A∈S / R 0 A r m.g C’est par exemple le cas de la pesanteur, {pes → S} = r et d’une manière 0 G r Ω S / R générale {V S / R } = r VG∈S / R G r r Alors ⇒ P (pes→S / R ) = m.g.V G∈S / R , la rotation éventuelle du solide (S) Si {F → S} est un glisseur d'axe passant par A, {F → S} = n’intervenant pas dans la puissance développée par la pesanteur. r r Dans l’exemple ci contre P (pes→S / R ) = −m.g. VG∈S / R .z 14243 Composante de la vitesse du centre d'inertie selon rla direction r de g,ici z Si le point A est fixe dans R (c'est-à-dire rotation du solide (S) autour du point A ou autour d’un axe passant par A,) alors r r ⇒ P (F →S / R ) = M A,F →S . Ω S / R Dans le cas de la liaison pivot (non parfaite) ci-contre r r Ω . x ω {V S / R} = Sr / R = S /rR 0 A 0 A Et {0 → S} = A r R 0→S r = M A,0→S X L Y M Z N r r r (x,y,z) A r r ⇒ P ( 0 →S / R ) = M A,0 →S . Ω S / R = r r M A,0 →S . x 14 4244 3 .ωS /R =L, composante du moment selon la direction du vecteur rotation Si {F → S} est un torseur couple, {F → S} = 0 r alors r M = C .u F→S ∀P F→S r r ⇒ P (F →S / R ) = M F →S . Ω S / R = C F→S . r r Ω S / R .u 1424 3 Composante du vecteur rotation selon la direction du vecteur couple C’est par exemple le cas de la puissance développée par un moteur électrique {magnétique → rotor} = ∀P r 0 r C magnétique→rotor r r P (magnétique →rotor / stator) = C magnétique →rotor . Ω rotor / stator , r r Expression que l’on met souvent sous la forme P = C. ω car C magnétique →rotor et Ω rotor / stator sont de même direction Si le mouvement de (S) par rapport à R r 0 est une translation, {V S / R } = r r alors VS / R = v S / R .u ∀P r r ⇒ P (F →S / R ) = R F →S . VS / R = v S / R . r r R F →S .u 1424 3 Composante de la résul tan te selon la direction de la translation Sciences industrielles pour l’ingénieur Puissance 3/4 2.2. Travail développé par des actions mécaniques appliquées sur un solide (S) dans son mouvement par rapport à un repère R , entre les instants t1 et t2 t 1 Par définition : Wt 2(F→S/ R ) = t2 ∫ P (F→S/ R ).dt t1 La quantité dW (F→S / R ) = P (F→S / R ).dt est appelée le travail élémentaire développé par les actions mécaniques {F → S} appliquées au solide (S), dans son mouvement par rapport à R r r r r dW (F→S / R ) = R F→S . V A∈S / R .dt + M A,F→S . Ω S / R .dt 14243 1424 uuuur r 3 dθ dOA Avec uuuur dOA = déplacement élémentaire du point A dans le repère R . r dθ = rotation élémentaire du solide (S) par rapport à R . 3. Puissance développée, à un instant t, par les efforts intérieurs à un ensemble de solides en mouvement par rapport à un repère R 3.1. Cas de deux solides en contact surfacique Considérons deux solides ( S 1 ) et ( S 2 ) en contact sur une surface A . En chaque point P de la surface de contact A , nous pouvons définir un effort élémentaire de liaison r r dF P,1→2 = − dF P,2→1 A La puissance développée par les efforts intérieurs dans le mouvement de (S1) et (S2) par rapport au repère R s'exprime par P (int →(S 1 + S 2 ) / R ) = P (S1→S 2 / R ) + P (S 2 →S 1 / R ) { } { } P (int →(S 1 + S 2 ) / R ) = {S 1 → S 2} . ({V S 2 / R } − {V S 1 / R } ) P (int →(S 1 + S 2 ) / R ) = V S 2 / R .{S 1 → S 2 } + V S1 / R .{S 2 → S 1} Résultat que nous pouvons mettre sous la forme suivante { } { } P (int →(S 1 + S 2 ) / R) = {S 1 → S 2 } . V S 2 / S 1 = {S 2 → S 1} . V S1 / S 2 = P S 1 ↔ S 2 La puissance d’une action mécanique intérieure à un système de solides ne dépend que de la vitesse relative entre les solides Ou, en utilisant la démarche inverse du paragraphe 2.1 r dF P,S1 →S 2 ∫∫ P∈A P (int →(S 1 + S 2 ) / R ) = uuur r . P dF A ∧ ∫∫ P,S1 →S 2 A A P∈A r Ω 2 / 1 r V A∈2 / 1 C’est-à-dire, P (int →(S 1 + S 2 ) / R ) = ∫∫ P∈A r r V P∈2 / 1.dF P,S1→S 2 Sciences industrielles pour l’ingénieur Puissance 4/4 La puissance développée par les efforts intérieurs est nulle si pour chaque point I de contact : r r Exemples : V I∈2 /1 = 0 , c'est à dire qu'il y a non glissement entre non glissement d’une roue ( S 1 ) et ( S 2 ). Remarque 1 : cela ne signifie pas qu’il n’y a pas de frottement aux points de contact. Par exemple il est nécessaire d’avoir adhérence du pneumatique sur la chaussée dans une automobile. Remarque 2 : Le résultat est démontré pour une action entre deux solides indéformables (utilisation du torseur distributeur des vitesses). Dans le cas de solides déformables le non glissement n’est pas une condition suffisante pour avoir une puissance dissipée nulle. r r dF P,1→ 2 .V P∈2 / 1 = 0 , c'est à dire que le contact est sans frottement (la condition de HUNT implique que r r r V P∈2 /1 .n 12 = 0 donc dF P,1→ 2 doit être porté par r n 12 ). Roulements à billes, rouleaux..... Exemples : Liaison réalisée avec une bonne lubrification ou avec un couple de matériaux possédant un faible coefficient de frottement. Palier hydrodynamique ou hydrostatique (interposition d'un mince film d'huile "laminé" entre les surfaces de contact ⇒ suppression du contact métallique). Palier magnétique (guidage asservi au moyen d'électroaimants). Si la puissance développée par les efforts intérieurs est nulle la liaison est dite parfaite. Application Connaissant le torseur cinématique d’une liaison parfaite, on peut en déduire le torseur des actions transmissibles ou inversement car {1 → 2} ⊗ {2 / 1} = 0 . Si la puissance développée par les efforts intérieurs est non nulle, la perte énergétique se traduira par un échauffement du mécanisme et par un rendement différent de 1. Un glissement non nul, associé à des efforts, provoquera également une usure du mécanisme. 3.2. Cas de deux solides en interaction quelconque Si 2 solides sont en interaction on généralise aisément le résultat précédent. C’est notamment le cas entre un rotor et un stator de moteur ( P int = C stator →rotor .ω rotor / stator = C rotor →stator .ω stator / rotor = C.ω ), dans un frein électromagnétique, entre deux solides reliés par un ressort de masse négligeable, entre deux solides reliés par un amortisseur de masse négligeable... 3.3. Cas de plusieurs solides On généralise le résultat précédent en étudiant les solides deux à deux. Sciences industrielles pour l’ingénieur