Équations du 1er degré à une inconnue

Cour 4ème - Équations du 1er degré à une inconnue
Équations du 1er degré à une inconnue
I Équations
A. Définitions
Déf.1 (équation)
Une équation est une égalité dans laquelle apparait un nombre inconnu.
Exemple:
4y+3 = -5y+21
Déf.2 (résoudre une équation)
Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs que peuvent prendre le nombre
inconnu afin que l’égalité soit vérifiée.
Exemple:
On considère l’équation 2x + 4 = 10
On va tester par exemple la valeur 5 pour x pour voir si elle vérifie l’égalité.
2x + 4 = 2 ⇥ 5 + 4 = 10 + 4 = 14
Comme 14 ≠ 10, le nombre 5 ne vérifie pas l’égalité donc 5 n’est pas solution de cette
équation.
Testons l’égalité avec le nombre 3.
2x + 4 = 2 ⇥ 3 + 4 = 6 + 4 = 10
L’égalité est vérifiée.
Donc 3 est une solution de l’équation 2x+4 = 10.
B. Propriétés
Propriété 1 (addition / soustraction)
Une égalité reste vraie si on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chaque membre
de l’égalité.
Autrement dit:
Soit a,b et c trois nombres relatifs.
si a = b alors a + c = b + c
si a = b alors a - c = b - c
Exemples:
1.
x
13 = 8
x
13+13 = 8+13
x = 24
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La solution de l’équation est 24.
2.
y+9=5
y+9 9=5 9
y=
4
La solution de l’équation est - 4
Propriété 2 (mutilplication/ division)
Une égalité reste vraie si on multiplie chaque membre de l’égalité par un même nombre.
Une égalité reste vraie si on divise chaque membre de l’égalité par un même nombre non
nul.( ☃ la division par 0 n’existe pas!)
Autrement dit:
Soit a,b et c trois nombres relatifs.
si a = b alors a × c = b × c
si a = b alors a ÷ c = b ÷ c
Exemples:
1.
x
=8
4
x
4⇥ = 4⇥8
4
x = 32
2.
9 ⇥ z = 27
(9 ⇥ z)÷9 = 27÷9
z=3
C. Méthode de résolution d’une équation du 1er degré à une inconnue
Il faut suivre les étapes suivantes pour résoudre une équation.
1) Regrouper tous les nombres inconnus (x, y , z ,…) du même côté de l’égalité (on utilise
la propriété 1)
2) Supprimer les nombres sans lettre du côté de l’égalité où se trouve les inconnues en
utilisant la propriété 1 (on doit trouver une expression de la forme a ⇥ x = b avec a et b
deux nombres)
3) Isoler l’inconnue en utilisant la propriété 2 (diviser chaque membre de l’égalité par le
nombre qui se trouve devant la lettre).
4) Conclure par une phrase
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Exemple:
Résoudre l’équation 5x
5x
2 = 3x
5x
2 3x = 3x
2x
2=
2x
2+2 =
2 = 3x
4
4
4 3x On regroupe les termes en x
4
4+2 On supprime les termes qui sont à côté des termes en x
2x = 2
2x
2
=
On isole x en divisant par le nombre qui se trouve devant
2
2
x= 1
Conclusion: La solution de l’équation est -1
II Résoudre des problèmes
Pour résoudre des problèmes, il faut suivre les 4 étapes suivantes:
Étape 1: Choix de l’inconnue
Étape 2: Mise en équation du problème
Étape 3 : Résolution du problème
Étape 4 : Conclusion
Exemple:
Un professeur partage sa classe de 24 élèves en deux groupes. Le premier groupe joue
au football et le deuxième groupe fait du saut en hauteur.
15 minutes après le début de la séance, il demande à quatre élèves du deuxième groupe
de passer avec les élèves du premier groupe. À ce moment là, il y a trois fois plus d’élèves
dans le premier groupe que dans le deuxième groupe.
Combien d’élèves étaient au début dans le premier groupe?
Résolution:
1) Choix de l’inconnue
(c’est ce que l’on cherche voir la question posée)
Soit x le nombre d’élèves du premier groupe au début
2) Mise en équation du problème (une bonne lecture de l’énoncé s’impose, il y a
différentes méthodes en fonction du problème: dans les problèmes avant/ après le
mieux est de faire un tableau)
Nombre d’élèves du 1er groupe
Nombre d’élèves du 2ème groupe
Début
x
24 - x (tous moins ceux du groupe1)
15 min
après
x+4 (le groupe 1 gagne 4 élèves)
(24-x)-4 (le groupe 2 moins 4)
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La phrase de l’énoncé: « À ce moment là, il y a trois fois plus d’élèves dans le premier
groupe que dans le deuxième groupe.» veut dire que si on multiplie le nombre d’élèves du
2ème groupe par 3, il y a le même nombre de personnes dans les deux groupes et donc
égalité.
La mise en équation est la suivante:
x + 4 = 3 ⇥ ((24
3) Résolution du problème
x + 4 = 3 ⇥ (20
x + 4 = 60
x)
4)
(c’est ce que l’on a vu au I)
x) on réduit la parenthèse
3x on distribue le 3 à tous les termes de la parenthèse
x + 3x + 4 = 60
4x = 60
4
4x = 56
4x
56
=
4
4
x = 14
4) Conclusion (répondre à la question posée)
Dans le premier groupe il y avait au départ 14 élèves.
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