Chap 3 arithmetiques 3e 1 - Mathématiques à J.Moulin

Chapitre 3
I.
Arithmétique
3e
2016-2017
Les ensembles de nombres
Nom
Définition
Exemples
Les entiers
naturels
Un nombre entier naturel est un nombre entier
positif.
Les entiers
relatifs
Un nombre entier relatif est un nombre entier qui
est positif ou négatif
Les nombres
décimaux
Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d‘un
nombre fini de chiffres après la virgule.
Les nombres
rationnels
Les nombres
irrationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut
a
s’écrire sous la forme
où a et b sont des
b
nombres entiers avec
0 ; 1 ; 3 ; 105
-100 ; -2 ; 5 ; 12
2,33 ;
2
5
; 10 ;
−5
4
1 7 5
2;− ; ;
3 11 6
b≠0
Tous les nombres qui ne sont pas rationnels
√ 2; √ 7 ; π
Tous ces nombres forment l'ensemble des nombres réels.
Mélanie ANDRE
collège J.Moulin 2016- 2017
Dans tout le chapitre nous travaillerons avec des entiers positifs. a et b seront des
entiers strictement positifs, avec
II.
b≠0
Divisibilité
1) Division Euclidienne
Définition
Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres
entiers positifs q et r tels que :
a=b×q+r et r <b
q est le quotient entier et r est le reste
Exemples
Remarque
Avec la calculatrice, on peut trouver le quotient et le reste grâce à la touche
Exemples
Effectuer la division euclidienne de :
Mélanie ANDRE
collège J.Moulin 2016- 2017
147 par 6
Q = 24 ; R = 3
Donc 147=6×24 +3
105 par 13
Donc
Q=8;R=1
105=13×8+1
2) Diviseurs d’un nombre entier
Définition
On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier positif n tel
que : a=b×n
On dit alors que a est un multiple de b.
On dit que « b divise a », « b est un diviseur de a », « a est divisible par b »
Exemples
60=15×4 , donc 15 est un diviseur de 60, de même pour 4.
60 est un multiple de 15 et un multiple de 4.
Les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
3) Critère de divisibilité
Propriétés Soit p un nombre entier
Si p a pour chiffres des unités 0, 2, 4, 6, 8, alors il est divisible par 2.
Si p pour chiffres des unités 0 ou 5, alors il est divisible par 5.
Si la somme des chiffres de p est divisible par 3, alors p est divisible par 3.
Si la somme des chiffres de p est divisible par 9, alors p est divisible par 9.
Si les nombres formés par les deux derniers chiffres de p est divisible par 4,
alors p est divisible par 4
Exemples
Prenons le nombre 20136
2 + 0+ 1+3+6 = 12, 12 est divisible par 3, donc 20136 est divisible par 3
20136 n'est pas divisible par 5 car il ne se termine pas par 5 ou 0
2+ 0+1+3+6 = 12, 12 n'est pas divisible par 9 donc 20136 n'est pas divisible par 9
36 est divisible par 4, donc 20136 est divisible par 4
III) Nombres premiers
Mélanie ANDRE
collège J.Moulin 2016- 2017
Définition
Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs est un nombre
premier
Exemples
2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… sont des nombres premiers
Tous les nombres pairs supérieurs à 2 ne sont pas premiers (car divisible par 2)
1 n’est pas un nombre premier car il n’admet qu’un seul diviseur (lui-même)
Propriété
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose de manière unique en
produit de facteurs premiers
Exemple
Définition
Exemple
24=12×2=4×6
Mais 12, 4 et 6 ne sont pas des nombres premiers
La décomposition de 24 est
24=2×2×2×3=23 ×3
La décomposition de 28 est
28=2×14=2×2×7=22 ×7
Une fraction est irréductible lorsqu'elle ne peut plus être simplifier.
24 23 ×3 2×3 6
=
=
=
28 22 ×7
7
7
Mélanie ANDRE
(forme irréductible)
collège J.Moulin 2016- 2017