1- Expérience no 4 LE PLAN INCLINE I INTRODUCTION Le

-1Expérience no 4
LE PLAN INCLINE
I
INTRODUCTION
Le dispositif expérimental à votre disposition va vous permettre
de déterminer:
A)
La valeur
Neuchâtel).
de
g,
l'accélération
de
la
pesanteur
(à
B) L'influence du moment d'inertie d'un solide en rotation sur
la masse inerte qui intervient dans la loi de Newton.
C) Le coefficient de frottement µ statique entre deux matériaux.
D)
Le coefficient
matériaux.
de
frottement
µ dynamique entre ces mêmes
A) Mesure de g
On utilise le plan incliné avec la boule de billard (Fig.2)
Fig. 2
g intervient dans l'équation du mouvement puisqu'il s'agit à
l'évidence d'un système mécanique soumis à la pesanteur. Si
donc, on mesure les grandeurs appropriées du mouvement de la
boule roulant sur le plan incliné, on peut espérer en déduire la
valeur de g. L'équation de Newton n'est pas immédiatement
-2applicable car le mobile est un solide rigide et non un point
matériel. Nous allons utiliser la conservation de l'énergie
mécanique dans un champ conservatif, ici le champ de la
pesanteur (les pertes d'énergie dues aux frottements sont
négligées):
Ecin + Epot = constante
(2)
où:
Ecin =
Energie cinétique de translation associée au centre de gravité +
Energie cinétique de rotation.
Epot = Energie potentielle.
En dérivant (2) par rapport au temps:
d
(E + E pot )
dt cin
(3)
En se référant à la Fig.2, on peut écrire:
d
(Ecin + E pot ) = d  1 Ms& 2 + 1 θω 2 − Mgs • sin α  = 0
dt
dt  2
2

(3')
Comme:
ω=
s&
r
où r = rayon de roulement (Fig. 2)
l'équation (3') devient:
s&& =
Mg sin α
= cste = γ
θ
M+ 2
r
(4)
où:
M = masse de
θ = (2/5)MR2
rapport
rayon de
la boule en kg
= moment d'inertie de la boule, homogène, par
à un axe passant par son centre de gravité. R =
la boule.
Mise sous la forme de l'équation de Newton:
Masse inerte x accélération = somme des forces
L’équation (4) s'écrit:
θ 

 M + 2 &s& = Mg • sin α
r 

(5)
-3Remarque que nous utiliserons plus loin:
masse inerte = M+(θ/r2)
(pour ce type de système)
(6)
La masse pesante (gravitationnelle) et la masse inerte sont a priori deux concepts
différents. La masse gravitationnelle équivaut à la force avec laquelle un objet attire ou
est attiré par un autre objet. Sur Terre, elle représente la force avec laquelle l'objet est
attiré vers le sol. Nous mesurons cette masse en pesant l'objet, son poids étant égal à
sa masse multipliée par la constante de gravitation g. La masse inerte de l'objet
correspond quant à elle la résistance que l'objet oppose à tout changement dans son
mouvement.
Les conditions initiales du mouvement sont (Fig.2):
en t = 0, s = O et (ds/dt) = vo
L'intégration de (4) donne:
s = (1/2).γ.t2 + vo.t
(7)
En divisant (7) par t on obtient l'équation d'une droite affine
(s/t) = (1/2).γ.t + vo
(8)
En déterminant expérimentalement la pente de cette droite et
donc γ, on peut obtenir une valeur expérimentale de g.(équ.(4)).
C) La masse inerte d'un solide (avec rotation)
On utilisera
frotteur.
le
dispositif
décrit
Fig. 3
dans
la
fig.
3,
sans
le
-4M
θ
M*
r
∆M
m
=
=
=
=
=
=
masse du chariot
moments d'inertie des quatre roues du chariot
M + θ/r2 (voir équ. (6))
rayon des roues
masse de la surcharge que l'on peut placer sur le chariot
masse du frotteur
Chariot seul:
Le formalisme utilisé pour obtenir (4) reste valable. La seule
différence étant que le moment d'inertie θ ne peut être calculé
facilement en raison de la complexité géométrique des roues.
L'équation horaire (8) est valable également et la mesure
expérimentale de γ permet de déterminer le rapport M*/M le
rapport de la masse inerte à la masse pesante.
D) Le coefficient de frottement statique
En s'aidant de la Fig.3, on établit l'équation différentielle du
mouvement pour le chariot poussant un frotteur sous l'action de
la force de pesanteur:
Soient Mi = M*+∆M+m
et
Mp = M+∆M+m
la masse inerte
la masse pesante
alors:
M i s&& = M p g • sin α − µmg • cos α
(9)
Le problème est statique lorsque l'accélération est nulle c'està-dire lorsque:
Mpg·sinα = µmg·cosα
(10)
où α est l'angle critique d'inclinaison du plan au-delà duquel
le chariot met en mouvement le frotteur. De (10) on tire:
µstat = (Mp/m).tgα
E) Le coefficient de frottement dynamique
Le dispositif expérimental est schématisé à la Fig. 4
Figure 4
(11)
-5O:
F:
R:
S:
La
masse oscillante sur palier à air P (frottement très faible)
frotteur (bois) de masse m = 1.000 g
ressorts de constant total f.
support (Al)
masse totale en oscillation vaut M = 2.4156 kg
L'équation du mouvement (frottement sur le palier P négligé):
x&
(12)
E f = µmg
x&
Fr = - fx
M&x& = − fx − µmg
x&
x&
(13)
Pour un frottement faible, la solution est un mouvement
harmonique avec amortissement linéaire. (Fig.5)
Pour éviter d'intégrer (13): la
perte d'énergie potentielle en
une demi période est égale au
travail
de
la
force
de
frottement:
1
1
fx2i ) −
fx 2i +1 ) = µmg(xi − xi+ 1)
(
(
2
2
(14)
D'où: ∆x =
4µmg
f
(15)
Fig.5
On remarque que:
a) La perte d'amplitude ∆x au cours de chaque période
constante. L'amortissement est donc bien linéaire.
est
b) Les mesures de ∆x, f et m permettent d'obtenir le coefficient
de frottement dynamique µ.
f se détermine à partir de la période T de l'oscillateur non
amorti:
4π M
2
T =2π M / f d'où f =
II
T
2
(16)
EXCERCICES
1) Mesurer la valeur de g au moyen de la boule de billard.
2) Mesurer le rapport M*/M (masse inerte/masse pesante) pour le
chariot sans surcharge.
3) Mesurer les coefficients de frottement statique Bois-Al.
4) Mesurer le coefficient de frottement dynamique Bois-Al.
-6III MANIPULATIONS
1) Positionner le plan horizontalement au moyen du niveau d'eau
et noter le zéro de l'échelle de hauteur. Pour une hauteur h
de 10 cm, choisir 5 distances s entre les portails START et
STOP. Pour chaque distance, mesurer trois fois le temps de
parcours de la boule. Calculer le temps moyen t. Reporter,
sur un graphique, s/t en fonction de t. Déterminer sur le
graphique la pente γ de la droite ainsi obtenue. En déduire la
valeur de g (form.(4)).
2) Positionner successivement le plan aux hauteurs h = 5, 10, 15
et 20 cm. Pour chacune de ces inclinaisons, mesurer (une
fois) le temps t de parcours du chariot seul et sans
surcharge pour quatre distances 40, 60, 80 et 100 cm.
Reporter sur un graphique s/t en fonction de t. Utiliser la
même procédure de mesure que
dans l'exercice 1. Déterminer
alors les pentes P de ces quatre droites. Reporter ensuite P
en fonction de sinα. A partir de la pente de cette dernière
droite déterminer le rapport M*/M, (le rapport de la masse
inerte à la masse pesante). (équ. 4 et 6).
3) Utiliser le chariot et son frotteur en bois. Positionner le
plan proche de l'horizontale et le frotteur à la division 100
du plan. Au moyen de la manivelle et sans secouer l'ensemble,
augmenter l'inclinaison du plan jusqu'à ce que le chariot et
son frotteur se mettent en mouvement. Noter la hauteur h*
correspondante (h*=h+ho).A partir de h, déterminer tgα.
Mesurer ainsi h* trois fois pour chaque surcharge
∆M = 0,
∆M1, ∆M2 et ∆M1+∆M2. Reporter sur un graphique tgα en fonction
de m/Mp (équ. 11) et en déduire la valeur de µstat. Avant
chaque série, nettoyer le plan (kleenex+alcool) et le
frotteur (kleenex sec).
4) Demander
à
un
assistant
de
procéder
au
nettoyage
(kleenex+alcool) et au montage du dispositif expérimental.
Mettre le plan horizontal et ajuster la position de
l'oscillateur pour que au repos le repère soit à la division
100 du plan. (L'ajustement fin se fait en modifiant
légèrement l'horizontalité du plan). La pression de l'air
dans le détendeur doit se trouver dans le secteur vert.
Relever le frotteur en bois et mesurer 3 fois 10 périodes de
l'oscillateur non amorti. Déterminer la constante de ressort f
(formule (16).
Amplitude maximum 5 cm.
Abaisser le frotteur et mesurer (du même côté) les amplitudes
xo, x1,..xi,
xn où i est le numéro d'ordre des périodes
successives. Choisir xo=4cm. Les reporter sur un graphique x
en fonction de i. On remarquera que ces amplitudes xo à xn ne
sont pas parfaitement en ligne droite. La cause en est le
-7frottement visqueux (prop. à la vitesse) du palier à air P.
Tracer une droite sur les cinq ou six dernières amplitudes.
Déterminer la pente P de cette droite. Calculer µ (?x de la
formule 15). En effet à partir d’une amplitude de 2cm environ,
la vitesse de la masse oscillante est suffisamment faible pour
que le frottement visqueux soit négligeable.
Note historique
l) Galilée avait constaté qu'en l'absence de frottement tous les
corps tombaient à la même vitesse. Dans un premier temps, il
a imaginé que leur vitesse était proportionnelle à l'espace
parcouru. Pour diminuer l'effet de la pesanteur dans ses
expériences, il utilisa des boules sur des plans inclinés,
constata que son hypothèse était fausse et réalisa que la
vitesse croît proportionnellement au temps.
2) Pour mesurer le temps, il utilisait une horloge à eau
(clepsydre) dont la précision était heureusement insuffisante
pour mettre en évidence l'effet de l'énergie cinétique de
rotation des boules.
Août 2003_ms
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